B—S模型在可轉換債券定價中的應用研究

【摘要】可轉換債券是集股權與債券于一體，兼具籌資和避險功能的混合性金融工具，隨著我國資本市場的不斷發展，可轉債的交易規模迅速增長，其定價問題也日益受到投資者和企業的關注。由于可轉債價值構成的特殊性，對其定價也相對較為復雜，因此，對可轉債定價進行研究具有重要的理論和實際意義。Black一Scholes期權定價模型作為唯一的解析定價方法有著無法比擬的優勢，是期權定價模型中最為重要的一個模型。本文以燕京轉債（126729）為例，基于B-S模型對可轉債的理論價值和市場價值進行了比較分析，分析B-S期權定價模型在我國可轉債定價中的適用性。

【關鍵詞】可轉換債券 ?一般債券價值 ?期權價值 ?Black一Scholes模型

一、引言

可轉換債券是一種較為新穎的金融衍生工具，是集債權性和股權性于一體、債券與認股權證相結合的中長期混合金融工具。債券持有者可以選擇將債券持有至到期日，從而獲得相應的本金和利息，也可以按照事先約定的條件將債券轉換為公司發行的股票。

近年來，隨著我國資本市場的不斷完善，可轉換債券作為一種新型的融資工具在我國資本市場上取得了較大的發展，它通過發債的形式出售隱含的期權，不僅降低了債券發行者的融資成本，投資者也可以通過選擇是否行使轉換權來有效的規避風險。而債券發行和轉換的成敗在很大程度上則取決于定價的合理性，公司需要制定一個合理的定價策略才能使債券發行很轉換順利進行，投資者則需要制定一個正確的投資決策以規避風險從而使收益最大化。因此，對發行的可轉債進行一個科學定價成為了關鍵問題。國內外學者對可轉債的定價先后進行了一系列的研究，并提出了眾多有價值的定價模型，如違約風險結構模型，單因素模型，雙因素模型，二叉樹模型和B-S期權定價模型等。本文基于B-S期權定價模型對我國可轉債的定價進行實證研究，并通過理論價格與實際價格的比對，分析B-S期權定價模型在我國可轉債定價中的適用性。

二、可轉換債券的價值分析

可轉換債券是一種混合型金融產品，兼有債權性和期權性，是公司債券的特殊形式。可轉換債券的價值由債權部分和期權部分組成，債權部分的價值主要體現在一般債券價值上，期權部分的價值則體現在買入期權的價值上，用公式表達即：可轉換債券價值=一般債券價值+期權價值。

（一）一般債券價值

一般債權價值是指如果不對可轉換債券行使轉換權，則它的價值與普通公司債券的投資價值相同。這部分可以被認為沒有任何風險的，它的價值等于債券持有者在持有債券期間能夠獲得的現金流的貼現值，公式表示：

B=■■+■

其中，B為普通債券部分的價值;I為債券各期的利息;P表示債券的票面金額;r表示市場的無風險利率;T表示債券的期限。

（二）期權價值

期權價值即股票的買權價值，由于可轉換債券中隱含了回售、贖回和轉換等多種期權，所以這一部分價值的確定相對較為復雜。期權的價值分內在價值和時間價值，期權的內在價值是指期權合約本身所具有的價值，如果股票市場價格大于轉股價格，債券持有者就會行使轉換權從而獲得收益，這部分收益即股票價格與轉股價之間的差額，也就是期權的內在價值。反之，債券持有者就不會行使轉換權，此時，期權的內在價值就為0，用公式表述即：

■

其中C0表示單位期權價值，S表示股票價格，X表示轉股價格。

期權的時間價值是指投資者為購買這份期權付出超出期權內在價值的這部分價值，投資者之所以愿意支付這部分價值，是因為他們預期隨著市場價格的波動該期權的內在價值會增加。投資者預期價值增長越大，時間價值就越大。但時間簡直給投資者帶來的收益只是一種期望值，是否真的能轉化為收益還存在著一定的不確定性。

由于期權定價的復雜性，可轉債定價的焦點集中在買入期權的定價上，隨著國內外學者的不懈努力，目前在這方面已經形成了一個比較系統的期權定價理論，其中在國際范圍內被廣泛認可的是Black-Scholes期權定價模型。本文也是基于B-S模型對可轉債期權價值部分進行了估計。

三、基于Black-Scholes方法的可轉債定價模型

（一）可轉債定價理論模型

Black-Scholes模型主要用于歐式看漲期權的定價，是期權定價理論中較為重要的模型。

Black-Shcoles的假設條件：

（1）股票的價格服從隨機過程中的幾何布朗運動：dS=μSdt+σSdz，其中，S為股票價格;μ為股票期望收益率;σ為股票價格的波動率;dz為標準Wiener過程的增量;

（2）市場是無摩擦的，沒有交易費用，期權的標的物可以自由的進行買賣，并可被無限分割;

（3）無風險利率為已知常數;

（4）在權力有效期內，不考慮股票的收益。

基于上述假定，Black和Scholes推導出了一個無套利可能性的歐式看漲期權的定價模型：

C0=SN（d1）-Xe-rtN（d2）

d1=■

d2=d1-σ■

C0表示當前的看漲期權價格，N（x）表示標準正態分布小于x的概率，X表示執行價格。

且可轉債的價格V（S，t）滿足以下控制方程：

■+■σ2S2■+（r-D）S■-rV=0，D表示股票紅利支出。

（二）終端條件和邊界條件

1.終端條件。可轉債在到期日之時，債券持有者可以選擇將債券兌換成相應比例的股票，也可以選則持有債券，從而獲得本金和利息。當其轉換價值大于一般債券價值時，基于理性的投資者而言，可轉債就會發生轉換，當轉換價值小于一般債券價值時，就不會發生轉換。所以終端條件為：

V（S，t）=max（nS，B）

其中n為轉股比例，B為一般債券價值。

由此可見，可轉債價值V（S，t）擁有兩個價值底線，即一般債券價值和轉換價值，在任何情況下，可轉債的價值都要高于一般債券價值，在沒有贖回限制的情況下，可轉債價值應大于等于轉換價值。

2.邊界條件。當股票價格很高時，可轉換債券的持有者就會將債券轉換為股票，反之，當股票價格非常低時，其期權價值也是趨向于零的，此時，可轉債的價值即為一般債券的價值。從而，其邊界條件為：

V（S，t）=nS， ? ? ? S→∞pe■+■I■e■，S→0

四、基于B-S模型的燕京轉債定價的實證研究

燕京轉債（126729）的發行總額為11.3億元，按面值發行，每張面值為100元，發行日期為2010年10月5日，存續期限未5年，票面利率為第一年0.5%、第二年0.7%、第三年0.9%、第四年1.1%、第五年1.4%，每年付息一次;其轉股期限為發行結束之日滿六個月后的第一個交易日起至可轉債到期日止。本文以燕京轉債為例，研究B-S模型在我國可轉債定價中的應用，本文引用的數據均來自國泰安數據庫和wind數據庫。

（一）參數的確定

1.無風險收益率的確定。國際上一般采用國債收益率來作為市場的無風險收益率，具體的選取是以與可轉債發行日期和到期日期均相近的國債收益率為依據。燕京轉債的存續期是從2010年10月15日至2015年10月15日，因此，本文選取了2010年10月21日發行的記賬式附息（三十三期）國債（即10國債33）的收益率作為無風險利率，其票面利率為2.91%，由于國債利息的支付方式為單利，所以燕京轉債的連續復利的無風險收益率為：r=LN（l+5*2.91%）/5=2.71%。

2.股價波動率的確定。股價波動率的確定通常有兩種方式：一種是以歷史數據為依據計算波動率，這是一種比較傳統的方式，但由于我國股市一些特有的制度并不能滿足其假設條件，一次這種方法在我國可轉債定價中的應用是有一定的缺陷的。第二種方法是廣義自回歸條件異方差模型，即GARCH模型，這是一種動態模型，對股價的波動率有很好的預測作用。本文選取2012年6月1日到2014年5月30日之間的480個建議日的數據，利用eviews軟件，采用GARCH模型來估算股價的波動率，得到股價波動率的方程為：

σ2t=3.11E-0.5+0.232319ε2t-1+0.745247σ2t-1 （1）

R2=0.919041 DW=1.848227

則，通過GARCH（1，1）模型估計出來的燕京啤酒的股價波動率σ=0.580403。

方程（1）中的ARCH項和GARCH項的系數都是統計顯著的，擬合優度R2=0.919041，說明模型的擬合效果很好，并且α+β=0.97756<1，滿足GRACH（1，1）模型中參數的約束條件。且系數之和接近于1，表明條件方差受到的沖擊是持久的，且這種沖擊對未來的有著重要的預測作用。

（二）實證分析

將參數r與σ帶入上述貼現模型和BS期權定價模型，對可轉換債券的純債券部分的價值和期權部分的價值分別進行了計算，然后再根據公式可轉債券價值=純債券價值+單位期權價值×轉股比例，得到可轉債的理論價格，并將其與市場價格進行對比。如圖1，可以看出理論價值與市場價格的變化趨勢基本上是一致的，說明模型的理論價值能較為準確地反映市場價格的走向，對可轉債未來的市場價格有著很好的預測作用。

圖1 燕京轉債理論價格與市場價格趨勢圖

為了更好地解釋模型理論價值與市場價格之間的相關性，本文還對兩個變量進行了回歸分析，回歸結果如下：

表1 燕京轉債回歸結果

從表1可以看出，模型估算的理論價值較好的市場價格，雖然模型理論價值要略高于市場價格，但平均偏離率僅為12.33%，相對于其他研究成果來說算是較為準確的了。而且在回歸分析中，燕京轉債的市場價格和理論價值的相關系數為0.880163，且P值=0<0.01，說明該模型的參數在0.01的水平上顯著，置信度達到99%以上。因此，該回歸模型屬于高度顯著的，反映了模型估算的理論價值對市場價格有很好的解釋作用。

五、結論

本文基于B-S期權定價模型對可轉債的定價進行了研究，在股價波動率估算的過程中，為了提高估算的準確率，采用了GARCH（1，1）動態模型。實證的結果反映了理論價值對市場價格具有較好的解釋作用，并且能較為準確地反映市場價格的走向，對理性投資者的投資決策有著好好的指引作用。

同時，B-S模型估算出來的理論價值偏離了市場價格，究其原因主要與模型本身以及我國目前證券市場的有效性不足有關：

一是模型中并沒有考慮到諸多附加條款，如贖回權、回售權和轉換權，這些都是內嵌的期權，也需要被合理定價，而B-S模型并沒有考慮到這些條款對可轉債價格的影響。

二是布萊克—斯科爾斯（B-S）期權定價模型要求證券市場是弱勢有效的，股票的市價能夠充分的反映歷史上交易價格和交易量中所隱含的一切信息，而我國目前金融市場的效率低下，金融市場的監管嚴格，自由化程度低，一旦買入可轉債，就很難再套現。使得可轉債流動性降低，影響了可轉債的價值。

三是我國證券市場上缺乏做空機制，可轉換債券的套利難以實現，市場無法通過套利的方法使市場價格處于一個無套利均衡點附近，從而使可轉債的理論價值與市場價格之間出現了偏離。

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作者簡介：湯潔（1990-），女，漢族，安徽安慶人，畢業于南京師范大學，研究方向：金融學。