等價無窮小的巧用

陳金濤

【摘要】靈活使用等價無窮小可以在很多問題的解決上起到意想不到的效果，本文通過巧妙使用等價無窮小解決未定式極限、正項級數(shù)斂散性等方面的問題.

【關(guān)鍵詞】等價無窮小;未定式極限;斂散性

等價無窮小是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很重要的一個內(nèi)容，它為解決一些比較棘手的問題提供了解決的思路，本文通過靈活使用等價無窮小另辟蹊徑找到解決未定式極限、正項級數(shù)斂散性等方面的問題.

一、巧用無窮小等價替換定理

定理1?（無窮小等價替換定理）在同一變化趨勢下，α，α′，β，β′都是無窮小，且α～α′，β～β′，則有

limαβ=limα′β′.

此定理易理解，主要用于在同一變化趨勢下，分子、分母中乘積因子是無窮小時，可用其等價無窮小替換.

例1?求極限 limx→0cosx-e-x22x2[2x+ln（1-2x）].

分析?本題的難點在于對2x+ln（1-2x）的處理上，因為該式是當(dāng)x→0時的無窮小，因此，如能找到它的等價無窮小，問題就變得簡單了，故大膽假設(shè)該式與x2是當(dāng)x→0時的同階無窮小，則有

limx→02x+ln（1-2x）x2=limx→02+-21-2x2x

=limx→02-4x-22x（1-2x）

=limx→0-21-2x

=-2，

故當(dāng)x→0時，2x+ln（1-2x）～-2x2，則

原式= limx→0cosx-e-x22x2·（-2x2）

=limx→0-sinx-e-x22·（-x）-8x3

=limx→0sinx-xe-x228x3

=limx→0cosx-e-x22-xe-x22·（-x）24x2

=limx→0-sinx-e-x22·（-x）+2xe-x22+x2e-x22·（-x）48x

=limx→0-sinx+3xe-x22-x3e-x2248x

=limx→0-sinx48x+limx→0e-x2216-limx→0x2e-x2248

=-148+116+0

=124.

二、巧將等價無窮小與麥克勞林級數(shù)相結(jié)合

在例1中我們發(fā)現(xiàn)，雖然處理的過程很巧妙，但依然過于煩瑣，沒有進(jìn)行系統(tǒng)的規(guī)律總結(jié)，題型進(jìn)行變化時，又需要重新尋找等價無窮小，不易掌握，為此我們給出解決這類問題的第二種思路.首先給出一個定理：

定理2?如果函數(shù)f（x）在點x=0的某鄰域內(nèi)有定義，且在點x=0處任意次可導(dǎo)，則有

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+o（xn）（x→0），

且當(dāng)x→0時，∑nk=0f（k）（0）k！xk+o（xn）～∑nk=0f（k）（0）k！xk.

下面我們使用定理2的思想來解例1.

解?因為cosx=1-12x2+124x4+o（x4），

e-x22=1-12x2+18x4+o（x4）.

又ln（1-2x）=-2x-2x2+o（x2），

2x+ln（1-2x）=-2x2+o（x2），

故有x2[2x+ln（1-2x）]=-2x4+o（x4），因此，

原式= limx→ 01-12x2+124x4+o（x4）-1-12x2+18x4+o（x4）-2x4+o（x4）

=limx→0-112x4+o（x4）-2x4+o（x4）

=limx→0-112x4-2x4

=124.

三、巧用無窮小等價替換定理的變形

定理3?在同一變化趨勢下，若α，α′，β，β′都是無窮小，且α～α′，β～β′，則有：

（1）若α與β不是等價無窮小，則α-β～α′-β′;

（2）若α與β是等價無窮小，則α-β與α′-β′未必等價.

推論?在同一變化趨勢下，若α，α′，β，β′，γ，γ′都是無窮小，且α～α′，β～β′，γ～γ′則有：

（1）若α與β是等價無窮小或α與γ是等價無窮小，則α-β-γ～α′-β′-γ′;

（2）若α與β不是等價無窮小，α-β與γ不是等價無窮小或α與γ不是等價無窮小，α-γ與β不是等價無窮小，則α-β-γ～α′-β′-γ′;

（3）若α與β不是等價無窮小，α-β與γ是等價無窮小或α與γ不是等價無窮小，α-γ與β是等價無窮小，但α-β-γ與α′-β′-γ′未必等價.

證明?（1）若α與β是等價無窮小，則有

limαβ=limα′β=1，故

limα-β-γα′-β′-γ′=limαβ-1-γβα′β-β′β-γ′β

=lim1-1-γβ1-1-γ′β

=limγβγ′β

=1，

即α-β-γ～α′-β′-γ′.

類似地，當(dāng)α與γ是等價無窮小時，命題也成立.

（2）由題意可設(shè)：若limα-βγ=c（c≠1且是常數(shù)），則

limα-β-γα′-β′-γ′=limα-βγ-1α′-β′γ-γ′γ

=limα-βγ-1α-βγ-1

=c-1c-1

=1.

若limα-βγ=∞，則limγα-β=0，故有

limα-β-γα′-β′-γ′=lim1-γα-βα′-β′α-β-γ′α-β

=lim1-γα-β1-γα-β

=1-01-0

=1.

即α-β-γ～α′-β′-γ′.

類似地，當(dāng)α與γ不是等價無窮小，α-γ與β不是等價無窮小時，命題也成立.

（3）（反證舉例法）當(dāng)x→0時，sin3x，sin2x，sinx都是等價無窮小，顯然

sin3x-sin2x-sinx與3x-2x-x=0不是等價無窮小.

故命題得證.

例2?求極限 limx→0sin5x-sin3x-sinxtanx+tan3x+tan5x.

解?原式=limx→0sin5x-sin3x-sinxtanx-tan（-3x）-tan（-5x）

=limx→05x-3x-xx-（-3x）-（-5x）

=limx→0x9x

=19.

四、巧用等價無窮小判斷正項級數(shù)的斂散性

定理4?設(shè)∑∞n=1un和∑∞n=1vn是兩個正項級數(shù)，當(dāng)n→∞時，un與vn都是無窮小，且un～kvn（k≠0，k為常數(shù)），則∑∞n=1un與∑∞n=1vn有相同的斂散性.

例3?判定級數(shù)∑∞n=112n2+1的斂散性.

解?當(dāng)n→∞時，12n2+1～12n.

又級數(shù)∑∞n=11n發(fā)散，

由定理4知，級數(shù)∑∞n=112n2+1發(fā)散.

五、結(jié)?論

通過等價無窮小在以上幾方面的運用，可以看出活用等價無窮小確實可以將問題化繁為簡，要掌握好這些知識，需要我們平時一點一點地鉆研與挖掘.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]尤青.無窮小性質(zhì)與應(yīng)用研究[J].連云港職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2010（2）：10-11+57.