基于映射的圖像多角度復小波變換*

李峰泉

(西安外事學院 工學院，陜西 西安 710077)

基于映射的圖像多角度復小波變換*

李峰泉

(西安外事學院 工學院，陜西 西安 710077)

摘要：圖像處理已經廣泛應用于諸多領域。信號和圖像處理領域中非常有用的工具——離散小波變換(DWT)只能從水平、垂直和對角3個方向分解圖像，分解的相位信息也相對較少。針對這種情況，提出了基于映射的復小波變換，其展現出了良好的方向性和平移敏感性，相位信息也易于獲取且清晰。試驗分析結果表明，基于映射的復小波變換能夠很好地實現圖像的多角度分解和圖像完全重構，并且設計容易，其應用前景廣泛。

關鍵詞：離散小波變換；映射；復小波變換；多角度

近年來，圖像處理技術在許多領域得到了廣泛應用。圖像變換是圖像處理研究的主要內容之一。1974年，法國工程師J. Morlet首先提出小波變換的概念后，小波變換的研究和應用就在信號處理和圖像變換等領域普及開來。小波變換解決了傅里葉變換存在的時域和頻域不能局部化等諸多問題，被譽為“數學顯微鏡”，它是調和分析發展史上的里程碑，在信號處理、圖像編碼和紋理識別等領域都有深入的研究和應用。離散小波變換是對小波變換的時域和頻域離散化得到的變換技術，是小波變換理論的一個重要發展，但它的每一個尺度空間只能從水平、垂直和對角3個方向進行分解，且得到的相位信息相對有限，從而限制了它在很多領域中的應用。

隨著小波技術應用范圍的不斷擴大，Kingsbury提出了二元樹復小波變換(DT CWT)，克服了離散小波變換的方向性局限的缺陷。二元樹復小波變換具有良好的平移敏感性和方向性，并能獲得清晰的相位信息。然而設計Kingsbury二元樹復小波變換濾波器需要進行反復的迭代運算，非常復雜，并且冗余較大(對于m維信號，它有2m的冗余)[1]。

綜合上述因素，Felix等人提出了基于映射的復小波變換，將映射理論與復小波變換技術相結合，把信號用復值濾波器映射到一個新的復函數空間——Softy空間，使其實部和虛部構成一個Hilbert變換對，再進行小波運算，既可以獲得準確清晰的相位信息，又克服了平移敏感性和弱方向性，且濾波器設計相對簡單。基于映射的復小波變換可以對地震資料進行屬性計算和紋理分析等，具有計算效率高和處理效果好等優點[2]。

1二元樹復小波變換與Softy空間的映射轉換

1.1二元樹復小波變換

復小波變換和普通小波變換的濾波系統在結構上基本相同，不同的是復小波變換的濾波器的系數和輸出結果都是復數。對于單純的復小波變換來說，完全重構的設計十分困難。

二元樹復小波變換(DT CWT)是一種常用的復小波變換。它保留了復小波變換的諸多優良特性：近似的平移不變性、良好的方向選擇性、清楚的相位信息、有限的冗余和高效的計算等，同時還具有完全重構特性。圖1所示為二元樹復小波變換示意圖，它包含2個平行的小波樹，即樹a和樹b。如果濾波器g0和g1的延遲與濾波器h0和h1的延遲之間恰好是一個采樣間隔，那么就可以確保樹b中第1層的向下采樣值取到樹a中因隔點采樣而舍棄的、未保留的采樣值。

圖1　四層二元樹復小波變換示意圖

為了實現二元樹復小波變換的反變換，對圖1中每一棵樹分別使用雙正交濾波器(設計成與對應的分析濾波器具有完全重構特性)進行反變換，最后對2棵樹的輸出結果進行平均，以保證整個系統近似的平移不變[3-4]，這個系統是冗余度為2的小波框架。因為它可以對頻率空間的各個部分進行劃分，將產生6個方向的復系數帶通子圖。

但是，二元樹復小波變換采用奇/偶濾波器會帶來一些問題，例如：采樣的結構不對稱；兩棵樹有輕微不同的頻率響應；線性相位的濾波器只可能是雙正交的，在信號和變換域之間不保能量[5-9]。因此，本文引入Hardy空間。

1.2Hardy空間

Hardy空間的定義：若一個復數域的向量空間，當頻率<0時，其能量為0，則稱這個空間為Hardy空間，即：

(1)

Hardy空間是復數域C中的向量空間，在實際的信號處理和圖像處理等應用中,信號一般都是L2(R)中的函數，為了建立L2(R)與H2(C)的聯系，將Hardy空間定義在實數域中。在實空間中可以證明L2(R)與H2(C)是同構的，可以建立一一映射關系。從而可以將L2(R)內的信號映射到內，然后進行DWT變換，從而可以增強方向性，減少平移敏感性，并可提供清楚的相位信息。這里以FH表示L2(R)內的序列到H2(R)內的映像，則FH可定義為：

(2)

其逆映射定義為：

(3)

圖2　Hardy空間的DWT變換流程

然而不能用數字濾波器實現從L2(R)空間到Hardy空間的一一映射，為此引入了Softy空間的概念。Softy空間可以用數字濾波器來實現L2(R)到Softy空間的一一映射，并且與Hardy空間的特征十分相似。

1.3Softy空間及映射轉換

Softy空間的內積定義為：

?f+,g+∈S+

(4)

(5)

Hardy空間、Softy空間和空間L2(R)之間的關系如圖3所示。

圖3　L2(R)空間、Hardy空間和Softy空間的關系

2基于映射的復小波變換

如果將映射濾波器設計成復系數，則可以得到一種復小波變換。由于這種復小波變換是在實小波變換前加了1個前置濾波器，可以用最大平滑濾波器和極小極大濾波器設置濾波器，將L2(R)空間的函數映射到Softy空間，再做DWT變換，當然也可以先將信號進行DWT變換，把得到的分量再映射到Softy空間，以這種方式實現的復小波變換可稱為基于映射的復小波變換。

基于映射的復小波變換(Projection CWT)中，CWT的構成有2種方法：一種采用前置濾波器的(Pre-Projection CWT)，就是在DWT變換前先通過映射濾波器，圖4所示即是前置濾波器的無冗余復小波變換；另一種是后置濾波器的CWT(Post-Projection CWT)，就是先進行DWT變換，然后通過映射波濾器，圖5所示即為后置濾波器的無冗余復小波變換。試驗證明采用前置濾波器的效果更好一些。

圖4　前置映射濾波器的CWT

圖5　后置映射濾波器的CWT

圖6所示為基于映射的復小波變換的頻率響應圖，與Softy空間的DWT流程相似，其首先將待分析信號從時間域映射到Softy空間，然后做DWT變換，在時間尺度域中做必要的處理后，再做IDWT變換，處理完成后再把信號逆映射回時間域。

圖6　映射濾波器的頻率響應

3應用映射的復小波變換進行圖像多角度分解

應用映射濾波器對圖7a所示的Lena圖像進行復小波變換，可以得到如圖7b～圖7g所示的輸出結果，分別為從+75°、+45°、+15°、-15°、-45°和-75°6個方向分解后的圖像。圖8所示為得到的對應6個方向的分量相位。

圖7　對Lena圖像做映射復小波變換的結果

圖8　對Lena圖像做映射復小波變換得到的各分量的相位

試驗證明，可以用6個分量完全重構出Lena圖像。

4結語

本文通過分析描述了離散小波變換、二元樹復小波變換以及基于映射的復小波變換理論發展和各自特點，并應用基于映射的復小波變換設計試驗，證實了其能夠把正垂直、負垂直和正水平、負水平的4個分量分開，增強了圖像分解的方向性，得到6個方向圖像分量和6個方向上的相位。基于映射的復小波變換應用于圖像的多角度分解，可以完全重構原圖像，誤差極小，并且濾波器設計比較容易，是一種很實用、很有效的圖像處理方法，其將會廣泛應用于圖像多角度分析和圖像重構中。

參考文獻

[1] 田豐，于曉明，王晉國，等．基于映射的圖像多角度復小波變換[J]．西北大學學報：自然科學版，2010，40(2)：247-250.

[2] 王爽．基于小波域MRF樣本修補技術的研究與實現[D]．長春：長春理工大學，2011.

[3] 劉蕾，崔麗鴻，李文國．基于多元BKF模型的雙樹復小波圖像去噪[J]．北京化工大學學報：自然科學版，2010，37(5)：139-142.

[4] 王福山．基于復小波的動態紋理分類[D]．哈爾濱：哈爾濱工程大學，2011.

[5] 吳游，張好好．基于二元樹復小波變換的多載波調制系統[J]．科學技術與工程，2013，13(35)：10669-10672.

[6] 雷燕，唐文娟．一種基于小波變換的圖像去噪方法的應用研究[J]．河南科技，2013(1)：66-69.

[7] 吳一全，陶飛翔，曹照清．利用雙樹復小波變換和SURF的圖像配準算法[J]．系統工程與電子技術，2014，36(5)：997-1002.

[8] 杜鵑，劉斌．Q-shift二元樹復小波在圖像融合中的應用[J]．計算機應用與軟件，2011，28(6)：69-72.

[9] 吳游，殷奎喜，趙華．基于正交復小波變換和小波去噪的改進系統De-OCWDM[J]．高技術通訊，2011，21(4)：374-379.

*西安市社科基金資助項目(13IN32)

責任編輯鄭練

Projection-based Multi-angle Complex Wavelet Transform for Image Processing

LI Fengquan

(College of Technolog, Xi′an International University, Xi′an 710077, China)

Abstract:Image processing is widely used in many fields. Discrete wavelet transform is an useful tool in signal and image processing, but because of it’s limit of coefficients reveal only three spatial orientations: horizontal, vertical, and diagonal, phase information cannot be collected fully. In view of this, proposed projection-based complex wavelet transform, it showed good characteristics in directional enhance with shift-insensitive and explicit phase information. It employed projection-based complex wavelet transform to do experiments for image dissection in every direction. The result showed that the method works better in image dissection and image reconstruction completely, which has good application prospect.

Key words:discrete wavelet transform, projection, complex wavelet transform, multi-angle

收稿日期：2015-01-05

作者簡介：李峰泉(1977-)，男，講師，碩士，主要從事圖像處理和計算機網絡技術等方面的研究。

中圖分類號：TP 391

文獻標志碼：A