三種重力加速度實驗測定方法的比較研究

梁玉娟，鐘友坤，韋蘭香，許敏明，鄧衛娟

(河池學院 物理與機電工程學院，廣西 宜州 546300)

重力加速度是一個重要的地球物理常數，其大小一般由物體所在地區的緯度和海拔高度以及礦藏分布等因素決定，準確測定它的量值，無論在理論上，還是在科研和工程技術等方面都有極其重要的意義，在大學基礎物理中，測定重力加速度是一個重要的必做實驗。2011年，我校新采購了一批實驗設備，測定重力加速度的實驗設備也得到了全面更新，FB327型單擺實驗儀、FB210C型復擺實驗儀、FB210E型自由落體實驗儀分別代替了原有的實驗設備:單擺、鋼板復擺、ZL－A自由落體儀。以下將對這三種新設備測定重力加速度的實驗方法及結果進行比較分析，探討三種測定方法中誤差產生的原理以及如何消除或減小誤差產生的方法，新設備比舊設備有哪些優勢，為實驗操作者對比和選擇測定方法提供依據，為實驗教學者提供教學參考。

1 單擺法原理及測量結果

1.1 實驗原理

把一個金屬小球掛在一根細長的線上，如圖1所示，如果細線的質量比小球的質量小得多，而小球的直徑又比細線的長度小得多，那么，這個裝置可以看作無質量的細長線系住一個質點，這樣的裝置就是單擺。在忽略空氣阻力、浮力、細線的質量及伸長等因數，同時在擺角很小的情況下，單擺的振動可看作簡諧振動，它的振動周期T為［1－3］:

式中L是單擺的擺長，其長度為懸掛點O到小球球心的距離，g是重力加速度，因此，只要測量出擺長L和振動周期T值，就可以計算出重力加速度g。在實驗中測量連續擺動n個周期的時間t，T=t/n，代入(1)式得重力加速度的計算公式［2］

圖1 FB327型單擺實驗儀

1.2 實驗方法及結果

本實驗采用FB327型單擺實驗儀，如圖1所示［3］，調節擺線長度，并根據擺球位置將光電門固定在下方適當位置，使小球正好能啟動光電門。采用FB213A光電計時計數毫秒儀自動計時，調節計時器，預置計時周期次數為15個周期。調節好小球限位裝置，使擺角θ≤15°。由于小球放手時的不一致性，因此在同一擺角處多次測量取平均值。實驗中固定擺長，取L=58.6 cm(擺線+球半徑)，用FB213A光電計時計數毫秒儀測量連續擺動15個周期的時間t，見表1。

表1 單擺連續擺動15個周期的時間

將L=58.6 cm、n=15、t=22.936 6 s代入(2)式得g=989.42 cm/s2。

以往單擺實驗都限于小角度(θ＜5°)內做近似等周期擺動，用秒表測量小球振動周期［2］。本實驗擺角可取θ≤15°的范圍，而且有水平直尺及小球限位裝置，能保證每次實驗小球在鉛垂面內擺動且擺角相同，而使用舊設備不能達到這一點;計時器精度為0.001 s，每次測量不確定度小于0.001 s，精確度比以往用秒表測時間精確得多;又由于空氣阻尼的存在，擺角隨時間的延長而衰減，以往單擺實驗法無法精確測得大角下擺動周期的準確值，現采用光電傳感器和電子計時器實現自動計時之后，能夠在很短幾個振動周期內準確測得單擺在大角下的周期，這樣可以忽略空氣阻尼對擺角的影響。

2 復擺法原理及測量結果

2.1 實驗原理

圖2 復擺示意圖

復擺是一個剛體繞固定的水平軸在重力作用下作微小擺動的動力運動體系。如圖2所示，質量為m的剛體繞固定軸O在豎直平面內做左右擺動，剛體的質心C與軸O的距離為h，擺動角度為θ(θ＜10°)。若規定右轉角為正，則剛體所受重力矩M與角位移 θ方向相反，即有［1，4－5］:

根據定軸轉動定律，該復擺又有:

其中I為該剛體的轉動慣量。由(3)式和(4)式可得:

此方程說明該復擺在小角度下作簡諧振動，其周期為:

設IC為過質心C且與O軸平行的轉軸的轉動慣量，由平行軸定理可知:

將(7)式代入(6)式得:

根據(8)式，可以間接測量得當地重力加速度g。

對于固定剛體而言，過質心軸的轉動慣量IC是固定的，因而實驗時，只要改變質心到轉軸的距離如h1、h2，則剛體擺動周期分別為:

為了使計算公式簡化，取h2=2h1，合并(9)式和(10)式得［5］:

這樣只要測出周期和高度就可以計算出當地的重力加速度了。

2.2 實驗方法及結果

如圖3所示，采用FB210C型復擺實驗儀［5］，擺桿長60 cm，直徑0.6 cm，質量0.132 kg，桿上有上、下二條標記刻線，h1=27.5 cm，h2=55 cm;兩個質量相同的圓環形砝碼塊mA=mB=0.256 kg，外徑4.4 cm，內孔徑0.6 cm，高度2.2 cm，根據實驗需要可以分別固定在桿上不同位置。計時器采用FB213B智能型數顯計時計數微秒儀，精度為0.000 1 s。利用水平儀，調節復擺實驗儀底座底腳螺釘使儀器底座處于水平狀態;根據擺桿位置將光電門固定在下方適當位置，使擺桿能啟動光電門;調節計時器并預置計時周期次數為10。按圖3(a)、(b)所示安裝好砝碼，然后把復擺沿水平方向拉開一個角度θ＜10°，使擺桿的下端偏離平衡位置約5 cm，待復擺左右擺動平穩后，啟動計時器測量復擺連續擺動10個周期的時間t10，并獲得相應的周期T1、T2，見表2。

圖3 FB210C型復擺實驗儀

表2 復擺的振動周期

將h1以及周期T1、T2的平均值代入(11)式得g=1 040.03 cm/s2。

以往實驗所用復擺是一均勻鋼板，它上面從中心向兩端對稱地開一些小孔，測量時分別將復擺通過小圓孔懸掛在刀刃上，便可用秒表、直尺測出復擺繞不同回轉軸擺動的周期和回轉軸到重心的距離，然后通過作圖法或最小二乘法求得重力加速度［4］。而使用新設備，距離不用測量，計時器精度又很高，顯然測得結果精度更高，而且操作簡單。

3 自由落體法原理及測量結果

3.1 實驗原理

自由落體運動是初速度為零的勻變速直線運動，其運動方程為［1－2，6］:

其中h表示t時間內物體下落的高度，因此，只要測出h和t，就可求出重力加速度g。

3.2 實驗方法及結果

圖4 自由落體法示意圖

當不考慮空氣阻力和小鋼球直徑影響時，重力加速度的測量誤差主要來自初速度ν0、路程h及相應時間t的測量誤差。在實驗中h和t一般是容易準確測量的，但精確測量瞬時初速度ν0比較困難，要嚴格滿足ν0=0也不容易做到，因此，要設法消除ν0對實驗結果的影響，具體的測量方案如圖4所示［2，6］。將光電門E1、E2固定在A、B位置處，兩點之間的距離為h1。設小鋼球沿豎直方向從“0”點開始自由下落，設它到達A點的速度為ν0，從A點起，經過時間t1后到達B點，有

若保持上述條件不變，A點光電門E1位置不變，將光電門E2下移至C處，經過時間t2后小鋼球到達C點，令A、C兩點之間的距離為h2，則有

由(13)、(14)兩式可得:

因此，實驗中只要測出h1、t1、h2、t2，就可以算出重力加速度。本實驗采用FB210E型自由落體實驗儀［6］，計時器采用FB213B型數顯計時計數微秒儀，取h1=40 cm，h2=60 cm，測出對應時間t1和t2，如表3所示。

表3 小球經過不同位移的時間

將高度差h1、h2以及時間t1、t2的平均值代入(15)式得g=988.15 cm/s2。與ZL－A自由落體儀相比較，兩者都是測量高度差，電腦計時，準確度都比較高，操作都比較簡單，沒有特別的優勢。

4 三種方法測量結果對比與分析

地球表面重力加速度理論值可由下式計算得出［2］:

式中φ為緯度角，由經緯度GPS定位測量儀測得力學實驗室位置海拔高度約150 m，經度108°39'24.0″，緯度24°30'3.6″?，F不考慮地質狀況及海拔高度的影響，僅考慮緯度的影響，將緯度角代入(16)式即得力學實驗室所處位置重力加速度的理論值g理論=981.95 cm/s2。因此，三種測量方法所得結果的百分誤差分別為:

由上可知，三種新設備測得的結果誤差都不大，單擺法、自由落體法測得的結果誤差相對較小，而復擺法測得的結果誤差相對較大，三種方法測得的重力加速度值與當地的重力加速度理論值還是很相近的。這三種方法都是采用光電傳感器和計時計數毫秒儀測定時間，精度很高，不會像以前那樣，用秒表測定時間，因個體差異而產生較大的誤差，因此，時間測量誤差可以排除。對FB327型單擺實驗儀，公式(1)實際上是一個為簡化實驗操作以及數據處理的近似公式，實際實驗時，空氣浮力、空氣阻力、懸線的質量、擺球的質量、擺角等因素都會給測量帶來系統誤差［7］;實驗儀水平直尺上裝有小球限位裝置，可以減小擺角誤差的影響，同時能保證小球在一個豎直平面內左右擺動，因此，測量誤差主要來源于擺長的準確測定。對于FB210C型復擺實驗儀，公式(3)也是一個近似公式，實際實驗時，空氣阻力、擺桿質量、砝碼質量、刻度線位置等因素都會產生系統誤差，但研究表明:當懸掛點到質心的距離較小且運動速度不大的情況下，復擺所受空氣阻力可以忽略不計［8］;而當砝碼在下刻度線時，懸掛點到質心的距離較大，擺動速度相應較大，此時空氣阻力影響較大;本實驗儀沒有水平直尺，也沒有擺桿限位裝置，因此，不能保證每次實驗時擺角一致，也不能保證擺桿在傳感器所在鉛垂面內擺動，擺角的不一致性以及擺桿發生一定的扭轉擺動是誤差的主要來源。對于FB210E型自由落體實驗儀，小鋼珠直徑很小約7.8 mm，在有機玻璃管中自由落下，空氣浮力和阻力對實驗影響很小，在理論方法上排除了初速度ν0的影響，因此，測量誤差主要來源于兩光電門高度差的測定，文獻［9］表明:實驗時取較大的h2可以提高實驗精度。復擺實驗儀擺桿的質量及體積、砝碼的質量及體積分別比單擺懸線和小鋼球的大(小鋼球直徑約14 mm)，空氣浮力和阻力影響相對較大，所以復擺法測量誤差比單擺法的大;相對于擺長的測量，高度差更容易精確測定，因此，自由落體法測得的結果比單擺法測得的結果精度更高一些，是目前我校力學實驗室重力加速度測量最簡單、最佳方法。

5 結論

(1)三種測量重力加速度的新儀器，實驗操作都比較簡單，測得的結果都比較準確，在實驗精度要求不太高的情況下，使用哪種方法均可以，但當實驗精度要求較高時，最好是使用自由落體法測量。

(2)由上述對結果誤差的分析可知，若這三種設備做如下一些小改進，將會進一步減小實驗誤差:對FB327型單擺實驗儀、FB210E型自由落體實驗儀，在豎直鐵桿上附加一根豎直的刻度尺，可以減小測量擺長以及兩光電門間距的誤差;對于FB210C型復擺實驗儀，像圖1那樣，增加一個水平直尺及擺桿的限位裝置，可以減弱擺角誤差以及防止擺桿發生扭轉擺動。

(3)這三種設備都配備了光電傳感器和高精度的計時計數毫秒儀，智能化程度高，掌握這兩種新技術在自動測量和自動控制中的應用，有利于擴大學生視野，激發學生學習興趣，提高教學效果。

［1］漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程·力學(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2012:225－226，288.

［2］覃以威.大學物理實驗(Ⅰ)［M］.桂林:廣西師范大學出版社，2010:28－31.

［3］杭州精科儀器有限公司.研究單擺的運動特性實驗講義［Z］.1－5.

［4］覃以威.大學物理實驗(Ⅱ)［M］.桂林:廣西師范大學出版社，2010:26－27.

［5］杭州精科儀器有限公司.復擺的特性研究實驗講義［Z］.1－3.

［6］杭州精科儀器有限公司.重力加速度的測定實驗講義［Z］.1－2.

［7］游艷琳，熊建文.單擺測重力加速度實驗近似處理的誤差分析［J］.物理通報，2013(5):92.

［8］張天洋，王艷輝，曲光偉，等.空氣阻力對復擺振動周期的影響［J］.物理實驗，2008，28(11):42－45.

［9］張兵，程洋，趙經博，等.用自由落體法測量重力加速度的實驗誤差分析［J］.物理與工程，2014(7):54－56.