美國高校商業學科數學教學的現狀及發展趨勢

鐘建媛，魯 斌

（美國加利福尼亞州州立大學 薩克拉門托分校 數學統計系，美國）

美國高校商業學科數學教學的現狀及發展趨勢

鐘建媛，魯 斌

（美國加利福尼亞州州立大學 薩克拉門托分校 數學統計系，美國）

數學課是美國高校商學院學生的必修課．對美國大學中為商業學科而開設的數學課程進行介紹，對幾種有代表性的商業數學及其課程內容做出分析和比較，并且列舉具有代表性的實際應用例題來突出商業數學課程的特點，并對當前科學技術在商業數學教學中的運用做出討論．

商業數學；大學數學；微積分；課程內容

1 引 言

在美國大學中，商學院一般是一個較大的學院．商學院通常設有會計、經濟、金融、市場、管理等不同的專業，擁有很多的專業學生．雖然商學院的學生屬于不同的系，讀不同的專業，但是每個專業都有對普通教育課程（General Education或GE）學分的要求．所要求的數學課就是這樣的GE課程之一，是商學院學生的一門必修課．商學院的學生在通過這門課之前只屬于學院“非正式”學生（pre-majors)，只有修完并考試通過這門課之后，才能正式成為商學院的學生而進入專業學習．可以說，為商學院開設的數學課對許多讀商科的學生是一個“門檻”，就像微積分（高等數學）是工科學生進入專業前必須通過的課程．因此，如何提高商業數學課的教學質量，讓更多的學生順利通過此課程，盡早進入專業學習，常常是學校數學系和商學院共同關心的一個問題．

在美國大學中，商學院學生所修的數學課名通常稱為商業數學，商業微積分，應用微積分等．有的學校開設有限數學，還有些綜合微積分和有限數學內容合并成為一門課．這些課程都有一個顯著的特點，就是通過從商業學科中的實例來強調數學在商業學科中的應用，例如最優值問題，邊緣分析等．

這些課程的學習時間一般都是一學期（3～4學分），而且學生在正式修這些課程之前必須滿足修課的前提要求（prerequisites）：比如學生在此之前是否修過有關代數的課程（如大學代數課程），要通過“診斷”考試等，其目的是評估選課的學生是否具有足夠的預備知識，以最大程度上確保學生能夠通過這門課程．

盡管為商學學科而設置的數學課程名稱比較多，但在內容上大致可以分為幾類．在下文中將較詳細地介紹其內容并列舉幾個實例．

2 課程內容

通常不同大學開設有不同商業數學課程，但是傳統上這些課程可分成：商業微積分和應用數學及其在管理和商業科學中的應用．在以下的討論中，可以了解這些課程的內容及包含在課程中商業、經濟學科中所出現的應用例子．從這些例題中可以看出該課程具有數學在商業科學應用的獨特之處，進而突出該課程是為商學院的學生專門設置而與其它數學課程不同．

2.1 商業微積分課程[3～4]

該課程內容包括傳統一元微積分內容 （但不涉及三角函數）：函數與圖像、極限、導數、導數及應用、極值問題、積分及應用．針對商學院的學生，課程中含有許多微積分在商業科學中的應用．例如導數中的邊緣分析和彈性需求應用，指數增長及衰減模型，等等．下面的例子就是一個積分在商業中的應用，即用定積分來計算消費者的順差額和供應商的順差額．

例1 已知某家生產變速自行車工廠的需求函數是：

這里p代表自行車的單價，x是所需求的數量（單位為千輛）．另外這種自行車的供應函數是：

這里p代表自行車的單價，x是廠家供給市場的數量（單位為千輛）．如果市場的價格是市場的均衡價格，求消費者順差額和制造廠家的順差額．

例題2是導數在邊緣分析中的應用．

例2 某個生產計算器公司的管理部門確定每天生產成本函數是：

這里x代表生產的計算器數量．（1）求邊緣成本函數．（2）求生產200個計算器的邊緣成本，并說明其實際意義．

2.2 應用數學課程[5]

除商業微積分外，另一類商業數學課程是應用數學及其在管理和商業科學中的應用，有些大學也稱此數學課為有限數學．此課程內容一般包括：函數及圖像，指數與對數及應用，金融數學，線性規劃及應用，一元微積分及應用．由于篇幅，僅給出兩個比較典型的應用例子：一個是金融數學中的應用題目，另一個是線性規劃中的應用．

例3 一對夫婦計劃為他們已購買的房子再融資．他們現還欠銀行150 000元．銀行提供兩種選擇：

1. 利率7.5%（每月復利），30年的期限．

2. 利率7.25%（每月復利），15年的期限．

應該選哪一個，為什么？

例4 一家水果店為歡度節日而準備出售一些水果籃．他們打算賣兩種果籃：大籃和小籃．店里一共有200個柑橘，400只蘋果．小籃要有6個蘋果2個柑橘，其利潤是3元．大籃有4只蘋果4個柑橘，利潤是4元．假設所有的果籃都會售完，那么這家水果店為了得到最大的利潤應準備多少大籃，多少小籃？

2.3 以商業課題為主的商業數學[1，6～7]

除了上面提到的兩種商業數學課程外，還有些學校開設不同于傳統的商業數學．比如在2000年，美國亞利桑那大學數學系和管理學院教授們合作編寫了一部比較新穎并富有創新的商業數學教材，又稱商業決策中的數學．這本教材不僅僅在內容上有很大的改革，更重要的是其中提出了一個全新的為經濟、管理、商業學科學生講授數學的思路．此教材已由美國數學學會出版，并獲得一系列大獎．這個教材包含有兩個部分，第一部分以兩個商業課題為主導，即以房屋貸款和股票期權定價為主導，通過學習數學工具（概率和模擬），最終對開始提出的課題做出商業決策．第二部分是微積分與優化，這個部分也有兩個商業中的課題：石油平臺租賃投標和電腦硬盤市場化分析．與第一部分類似，通過數學工具（微積分）的學習，來解決此部分的課題．兩部分的特點是通過商業課題為主導，來引出不同的數學內容及工具，用來解決課程中的課題．這里列舉一個課題，可以從中領會整個教材的思路．

商業課題 銀行信貸課題

某家銀行在一年前給一個公司四百萬的商業貸款．這個貸款利息是10%，按規定還有4年結束．三周前，這個公司沒有按規定支付每月所應償還的利息．這家銀行還發現由于公司現在的整體經營狀況，此公司至少下面3個月都沒有能力償還利息．那么擺在這個銀行面前的問題是應該止贖還是與此公司再定一個付貸方案．如果選擇止贖，銀行只能收回兩百一十萬．如選擇重新定付貸方案，就有可能將四百萬的貸款及利息全部收回．但如果這個重新付貸方案最終也不成功，銀行只能收回兩百五十萬．決定要不要同這家公司重定付貸方案，這家銀行需要知道重新付貸的期望值是多少．

銀行現有過去8 000個申請重新付貸成功和失敗的記錄，在記錄中包括老板經營公司的年數，教育背景，及當時經濟狀況的數據．從現已知信息：這家公司老板經營此公司已7年，他具有商業管理的學士學歷，現總體經濟狀況是蕭條，這家銀行應該做出什么樣的決定，即是止贖還是重定付貸方案，為什么？

3 新問題及挑戰

進入21世紀以來，隨著科學技術的發展，特別是計算機應用的普及，運用科學技術（泛指計算器，計算機，軟件等）在數學教學，商業數學教學中是不可避免的．如何更合理更有效地運用科學技術來提高教學質量是教育工作者面對的一個問題．特別是2008年金融危機帶來的教育經費大幅度削減，導致許多像助教這樣的教學輔助工作被裁減，過去小班級授課改成大班級授課，遠程教育也變成可以節省開支的一個措施．這無疑又加快了科學技術在教學中的應用．另外新時代的大學生們生活在數字時代，對科學技術在學習中的益處比較認同，而且比較容易接受其在教學中的運用．從下面兩個實例，可以領略一點使用科學技術在教學的進展．

3.1 大班授課中的Clicker運用[2]

Clicker泛指為課堂互動的學生應對和反應系統．這個系統可以用在即時反饋、投票、測驗、考勤等一系列互動教學法中．在課堂中的使用可以促進課堂中的討論，活躍課堂學習氣氛，能夠及時地檢查學生對授課內容的理解．特別是對于在大班教學中，由于學生人數多，難以進行像在小班課堂里的互動和討論，Clicker有著明顯的可取之處．要有效的使用Clicker在課堂中，還需要與其相配套的課堂問題．使用Clicker方式教學上的題目在數學和物理教學領域通常稱為概念測試（ConcepTests），又稱Clicker問題．通常是涉及概念的多項選擇問題．下面列舉幾個有代表性的例子．

例5 如給定常數a≠0，下面那個有理函數僅有一個垂直漸近線：

(a)只有(i)；(b)只有(ii)；(c)只有(ii)和(iii)；(d)所有的函數；(e)都沒有

例6 下面的表格是一個指數函數的數值：

(b)不正確（False）

例7 某人拿到一份30個月的工作，此工作有兩種報酬方式：（1）第一個月公司支付5 000元，以后每月加薪500元．（2）第一個月公司支付1元，第二個月公司支付2元，第三個月公司支付4 元，即每月支付金額是上個月的兩倍．

應該選那個方式？為什么？

3.2 網絡習題系統

隨著計算機網絡的普及，網絡在數學教學中的應用也越來越廣泛，像電子版教材、教學錄像、作業、小測驗等都可以在網絡上實現．特別是網絡習題系統逐漸完善，在網絡上布置作業，提交作業，并批改作業也都逐漸成了教學中必不可少的輔助工具．許多出版公司競相推出自己公司出版的教材和特有的網絡習題系統．當然絕大多數網絡上的習題是多項選擇題和填空題．因此，在教學中使用網絡習題系統的同時，充分利用傳統式的題目來評估學生學習效果仍是個有效的教學方式．

自從2010年蘋果公司推出iPad以來，在大學、中學，乃至小學里越來越多的課程已開始使用像iPad一樣的平板電腦在課堂教學當中．隨著更多的用于平板電腦的教學軟件的開發，平板電腦在教學中扮演的角色只會變得越來越大．如何合理并有效地使用iPad等平板電腦在數學教學中是一個全新的課題和挑戰．

這里對美國高校商業學科數學教學的現狀及發展趨勢做一簡介，分析和討論．其它數學課程也面臨著類似在商業數學教學中出現的新問題和挑戰．

[1] Albers, Donald J. A Genuine Interdisciplinary Partnership: MAA Unveils Mathematics for Business Decisions [J]. Focus, 2002, 22(8): 14-16.

[2] Bode. A Clicker Approach to Teaching Calculus [J]. Notices of the AMS, 2009, 56(2): 253-256.

[3] Barnett, Ziegler, Byleen. Calculus for Business, Economics, Life Sciences, and Social Sciences [R]. 12th Edition, USA, Pearson, 2010.

[4] Tan S T. Applied Calculus: For the Managerial Life and Social Sciences [R]. 9th Edition, USA, Brooks/Cole, 2012.

[5] Tan S T. Applied Mathematics for the Managerial, Life, and Social Sciences [R]. 6th Edition, USA, Brooks/Cole, 2010.

[6] Thompson. Mathematics for Business Decisions Part 1: Probability and Simulation w ith Interdisciplinary Multimedia Projects [R]. Mathematical Association of America, 2005.

[7] Thompson. Mathematics for Business Decisions Part 2: Calculus and Optimization w ith Interdisciplinary Multimedia Projects [R]. Mathematical Association of America, 2005.

On Teaching College Business M athematics in the US, Current and Its Trend

ZHONG Jian-yuan, LU Bin
(Department of Mathematics and Statistics, California State University Sacramento, USA)

Mathematics (often called Business Math) is a required course for business majors at universities in the United States. In this article, we describe different mathematics courses offered for business majors, and compare their contents and emphases of such courses. In addition, we provide several examples of mathematical application problems in business and econom ics. At last, we discuss the areas where technology has been used in teaching business math to enhance teaching and learning effectiveness.

business mathematics; college mathematics; calculus; course content

G40-059.3

：A

：1004–9894（2015）01–0051–03

[責任編校：周學智]

2014–09–01

鐘建媛（1972—），女，湖北武漢人，美國加利福尼亞州州立大學薩克拉門托分校數學統計系教授，博士，主要從事低維拓撲、紐結理論和數學教育研究．