基于壓電網絡的四邊固支板多階共振抑制

李琳，李俊，易凱軍

(1.北京航空航天大學 能源與動力工程學院，北京 100191;2.北京航空航天大學 先進航空發動機協同創新中心，北京 100191;3.里昂中央理工學院 摩擦和系統動力學實驗室，里昂 69130)

廣泛用于汽車、高速列車、艦船以及航空航天飛行器外殼結構的板殼結構正面臨著由質量輕、剛度大、抗沖擊性能好的結構需求所帶來的越來越嚴酷的振動噪聲問題的挑戰.另一方面，智能材料科學與技術的發展為解決工程中的難題開辟了新的思路.自1956年Olsen提出可以將壓電材料用于結構的振動、噪聲控制之后［1］，該領域的研究得到了迅猛發展.Hagood和von Flotow探索了應用壓電分支電路對結構振動進行被動控制的可能性［2］，緊接著研究人員對分支電路的設計進行了更為深入的探索［3-5］.為實現對結構的多階共振抑制，Hollkamp采取了在分支電路中并聯諧振電路的方法［6］，Park C H和Park H C在分支電路中添加了負電容［7］，劉瑩等采用了壓電阻塞電流分支電路［8］，李琳和劉學則將“選通電路”的思想引入了分支電路［9］.Dell’Isola等提出了壓電網絡的概念并將其應用于梁、板類結構，發現其同樣具有多模態振動控制效果，并且結構簡單，能在被動控制的基礎上降低對電學元件的要求，同時還不需要引入選通電路，也不需要考慮壓電片的設置位置［10-13］.易凱軍和李琳在研究四邊簡支壓電網絡板機電耦合動力學特性的基礎上，分析了其振動控制的原理和效果［14-15］.然而，在工程應用中，板的固定方式更接近固支.而固支條件下薄板橫向自由振動問題的振型函數封閉解的獲得比簡支板要困難得多，這在很大程度上限制了對壓電網絡板振動控制研究的深入.Xing和Liu［16］采用分離變量法求解了在Hamilton體系下的薄板橫向自由振動的特征值問題，得到了簡支和固支任意組合邊界條件下的振型函數精確解.本文在此基礎上引入壓電網絡，求解了具有壓電網絡的四邊固支板(四邊固支壓電網絡板)的機電耦合動力學方程，進而研究了壓電網絡用于對四邊固支板多階共振的抑制作用.為今后將其應用于工程實際以及開展實驗研究提供理論基礎和設計指導.

1 壓電網絡板的機電耦合動力學方程

本文基于文獻［15］提出的壓電網絡板模型進行分析，該模型包含壓電復合板以及電路網絡兩部分.圖1為壓電網絡板的示意圖，其中壓電片在板上呈周期性分布，各壓電片之間通過相同的電路連接.從圖1可以看出，壓電網絡板是一個周期結構，壓電復合板的一個結構單元(又稱元胞)如圖2所示.

圖1 壓電網絡板Fig.1 Piezo electromechanical-plate

圖2 壓電復合板元胞Fig.2 Cell of piezoelectric composite plate

壓電片(PZT)之間可以通過不同形式的電路相連接，其連接方式如圖3所示.其中:圖3(a)表示元胞之間通過并聯的電感L和電阻R相連接，稱之為電感電阻并聯型壓電網絡板(LR-PEM).圖3(b)為電阻型壓電網絡板(R-PEM)的電路形式，即元胞之間僅通過電阻R相連.

該壓電網絡板的無量綱機電耦合動力學方程組［15］為

圖3 壓電片之間的電路連接方式Fig.3 Circuit between two different PZTs

式中:αm和αe分別為機械系數和電學系數;和分別為板橫向振動位移和板表面的磁通量;τ為無量綱時間;β和γ分別為耦合系數和綜合電學參數;和為無量綱化的板的x和y坐標.這些參數定義為

其中:w為壓電復合板的法向位移;φ為壓電復合板表面的磁通量;φ0為特征磁通量;l0為特征長度(板長);ω0為特征頻率;Ct、Dt和 ρt分別為均勻化板的壓電片電容、抗彎剛度和密度.

其他參數的表達式分別為

2 四邊固支壓電網絡板動力學方程的求解

2.1 壓電網絡板對簡諧激勵的響應解

壓電網絡板的受迫振動響應求解取決于板的邊界條件，四邊固支壓電網絡板的邊界條件為:在和處，

為求解壓電網絡板動力學方程組(方程(1)和方程(2))，設:

根據特征解的性質，易知:

式中:

對應的特征值為

式中:

線性系統(式(12))對簡諧激勵的響應的表達式為

式中:

則在簡諧激勵下壓電網絡板的位移表達式(6)為

式中:H(w)為隨激振力頻率變化的位移空間分布規律表達式.

在式(14)的基礎上，可以分析壓電網絡對結構的多階共振抑制效果.

在進行諧響應分析時，本文采取單點激勵的方式，如圖4所示.

圖4 激勵方式示意圖Fig.4 Excitation pattern schematic

2.2 四邊固支壓電網絡板的模態特性

四邊固支板橫向自由振動的振型函數表達式已由文獻［16］給出.據此，式(6)中的φmr可表示為

式中:

其中:β1r、β2r、α1r、α2r、k1r和 k2r為待定系數.

特征方程組為

通過對式(17)的求解，可以得到四邊固支板的各階固有頻率及振型函數.表1列出了四邊固支壓電網絡板的前10階無量綱固有頻率及振型半波數，半波數代表了振型在空間的分布規律.如第4階振型的半波數為2/2，代表該階振型在x方向有2個半波，y方向有2個半波.圖5為四邊固支板的前4階振型.

表1 四邊固支壓電網絡板無量綱固有頻率及半波數Table 1 Eigenvalues and half wave numbers of clamped piezo electro mechanical-p late

圖5 四邊固支板前4階振型Fig.5 First four mode shapes of clamped plate

本文的分析模型為正方形板，存在重頻的振型，比如第 2、3 階，第 5、6 階，第 7、8 階，第 9、10階，因此在前10階模態中只有6階不同的固有頻率，本文后面提到的共振階數均指的是頻率的階數.對于重頻點，其共振響應的振型圖為兩個重頻振型的線性組合.

3 壓電網絡對四邊固支板的多階共振抑制效果

3.1 電阻型電路的多階共振抑制作用分析

為避開各階振型的節線位置，更好地觀察共振抑制效果，首先在正方形板上選取x=0.4，y=0.3這一點進行拾振分析，同時以前4階共振為例說明四邊固支壓電網絡板的多階共振抑制效果.

對于R-PEM，當電阻值很小或者很大時，電路中耗散的能量均較少，因此每一階共振都存在一個最優電阻值Ropt，使得此時電路耗散的能量最多，共振抑制效果最好.圖6為電阻對共振峰值的影響.圖6(a)～圖6(d)依次為電阻對前4階共振響應峰值的影響，可以看出每一階共振均對應一個最優電阻.

圖6 電阻對共振峰值的影響(R-PEM)Fig.6 Influence of resistance on resonance peak value(R-PEM)

表2給出了對應Δw=5%wmin的最優電阻改變區間以及各階共振峰值對電阻的敏感度.從中可以看出，雖然各階最優電阻不同，但是由于各階的wmin均對電阻不太敏感，即最優電阻區間較寬，因此可以選取這些最優電阻區間的交集作為全局最優電阻區間.

表2 各階共振峰值對電阻的敏感度Table 2 Sensitivity of resonance to resistance peak value

圖7為電阻取8 900Ω時，R-PEM的幅頻特性曲線.從圖中可以看出，電阻型電路對結構的前4階共振均具有較好的抑制效果，即R-PEM具有多模態振動抑制功能.

圖7 R-PEM振動控制效果Fig.7 Vibration control effect of R-PEM

上述分析基于某一確定點的響應，為了研究所得結論的普適性，下面以各階(前4階)共振響應極值點作為分析點，分別計算這些點的最優電學參數，在此基礎上分析其對整個板的多階共振抑制效果，本部分仍采用圖4所示的單點激勵方式.通過對壓電網絡板短路時前4階共振響應幅值的計算可以發現，前4階共振響應極值點的個數分別是 1、2、4 以及 4.

表3顯示了前4階共振響應極值點對應的最優電阻值，其中極值點1至極值點4不代表具體的點，而是表示極值點的序號，不同階的極值點位置也不相同.結合表1可以看出，對于電阻型壓電網絡板，同一階不同點計算出的最優電阻值相差不大，不同階的最優電阻值不相同.下面將以第1階最優電阻為例，說明R-PEM最優電阻對結構多階共振的抑制效果.圖8為R-PEM振動抑制效果云圖.圖8(a)～圖8(d)分別為當系統取第1階最優電阻時，壓電網絡板上各點前4階共振響應幅值與壓電網絡板短路時相比降低值(共振幅值降低值)的云圖.從圖8中可以清楚地看出，由于降低值均為非負值，所以對于整個結構來說，R-PEM均具有多階共振抑制效果.

表3 共振響應極值點最優電阻Table 3 Optimal resistance to extreme point of resonance response Ω

圖8 R-PEM振動抑制效果云圖Fig.8 Contours of vibration suppression effect of R-PEM

3.2 電感電阻并聯型電路的多階共振抑制作用分析

LR-PEM的電路中采用了電感和電阻兩種電學元件.

圖9為LR-PEM的電感及電阻對共振峰值的影響.圖9(a)～圖9(d)分別為LR-PEM的電學參數對前4階共振響應幅值的影響，從中可以發現對應每一階共振存在不止一個最優電學參數(對應曲面谷值).圖9(a)的曲面具有2個極值點;圖9(b)的曲面具有3個極值點;圖9(c)和圖9(d)的曲面均只有1個極值點.

圖9 電感及電阻對共振峰值的影響(LR-PEM)Fig.9 Influence of inductance and resistance on resonance peak value(LR-PEM)

表4為各階共振對應的所有局部最優電學參數.下面以第2階共振為例，從能量耗散的角度分析其存在多組局部最優電學參數的機理.根據其最優電感從小到大排列，將對應第2階共振的3組局部最優電學參數依次記作A、B和C.

表4 各階共振對應的最優電學參數Table 4 Optimal electrical parameters to resonance among different orders

圖10為各階電路系統耗能對比.圖10(a)～圖10(c)顯示了在壓電網絡板的第2階共振頻率范圍內，不同局部最優電學參數下各階電路能量消耗的分布情況，各階電路消耗的能量表達式記為，其中:i=1，2，…，γ 為電路中的電阻，為各階電路模態對應的特征值為各階電路響應的廣義坐標幅值.由于正方形板存在重頻現象，所以每一階電路的耗能是由同一階固有頻率對應的各個電路模態耗能疊加起來的，比如說第5階電路耗能則是第7階和第8階壓電網絡模態耗能的總和.

從圖10中可以看出，這3組最優電學參數分別使壓電網絡系統的第2階、第5階以及第6階電路承擔了大部分消耗結構振動能量的工作，換句話說，合理地選取電學參數可使結構系統中第2階振動能量通過不同的電路通道進行耗散，進而達到減振的效果.

圖11展現了四邊固支壓電網絡板機電耦合矩陣各元素的相對大小，其中橫坐標代表前10階壓電網絡電路模態，縱坐標代表前10階結構振動模態，每一個小方塊的顏色冷暖程度代表了不同階次機電耦合系數的大小.與四邊簡支壓電網絡板只有對角線元素非零不同，四邊固支板還在不同階次的結構振動模態和壓電網絡電路模態之間存在耦合.

圖10 各階電路系統耗能對比Fig.10 Comparison of energy dissipation in electrical system among different orders

圖11 機電耦合矩陣Fig.11 Electro-mechanical coupling matrix

從圖11中可以看出，第2階結構的振動模態恰好和第2階、第8階以及第9階電路模態存在耦合.由于正方形板存在重頻現象，所以結構和電路均只有6階固有頻率.也就是說，第8階和第9階電路模態分別對應第5階和第6階電路固有頻率.換句話說，第2階結構固有頻率下的機械振動分別與第2階、第5階和第6階電路固有頻率下的壓電網絡存在耦合.并且其機電耦合系數是第2階最大，第5階最小.這也對應著局部最優電學參數A的共振抑制效果最好，B的共振抑制效果最差.

結合表3還可以看出，耦合的電路階次越高，其需要的電感也越高，換句話說，對于高階振動，如果其與低階次的電路模態存在耦合，其對應的電感值就越低，而低電感在工程上更容易實現，因此對于結構的高階共振，可以選擇與低階電路耦合對應的局部最優電學參數以進一步降低電感值.

由此得出結論，對于四邊固支的LR-PEM來說，各階共振存在多個局部最優電學參數的機理在于其結構振動模態和多階電路模態存在耦合，并且耦合值越高，其對應的共振抑制效果就越好.不同的最優電學參數的選取意味著使該階共振與不同電路模態的耦合達到最大.

在以下的分析中，稱結構和電路同階模態對應的最優電學參數為主最優電學參數，非同階模態對應的最優電學參數稱為次最優電學參數.分析表明，主最優電學參數對其他階的共振抑制效果明顯強于次最優電學參數.因此本文后面的分析均取各階的主最優電學參數作為LR-PEM的最優電學參數.

根據第3.1節關于敏感因子的定義，表5顯示了當Δw=5%wmin時，LR-PEM各階最優電學參數的敏感因子.從中可以看出，相對電阻來說，共振峰值對電感更加敏感，并且各階最優電感會隨著共振頻率的增加而降低.

表5 各階最優電學參數的敏感性Table 5 Sensitivity of optimal elecrical parameters of different orders

圖12為LR-PEM振動控制效果.圖12(a)～圖12(d)分別顯示了不同階最優電學參數控制下的壓電網絡板幅頻特性曲線.從中可以看出，LR-PEM同樣具有多階共振抑制效果，但是設計點的共振抑制效果明顯要比其他階更好，這是因為電感可以調節電路模態的固有頻率，在設計點的最優電學參數下，對應階數的電路模態固有頻率與結構振動固有頻率最匹配，使得二者之間的機電轉換效率最高，結構振動能量會很快轉換到電路中消耗掉，進而降低響應幅值，而其他階電路和結構模態由于頻率匹配程度較差，機電轉換效率較低，因而振動控制效果較差.

同樣為了研究所得結論的普適性，分析整個板的多階共振抑制效果，這里沿用R-PEM在該部分的分析方法.表6顯示了前4階共振響應極值點對應的最優電學參數值，其中極值點1至極值點4代表的意義與表2相同，將各個極值點計算出的平均值作為整個板的最優電學參數.結合表5可以看出，對于LR-PEM，同一階不同點計算出的最優電學參數值不相同，不同階的最優電學參數也不同.

以第3階最優電學參數為例，說明LR-PEM的最優電學參數對結構多階共振的抑制效果.圖13為LR-PEM振動抑制效果云圖.圖13(a)～圖13(d)分別為當電路取第3階最優電學參數時，壓電網絡板上各點前4階共振響應幅值與壓電網絡板短路時相比降低值的云圖.從圖13中可以清楚地看出，由于降低值均為非負值，所以對于整個板來說，LR-PEM均具有多階共振抑制效果.

圖12 LR-PEM振動控制效果Fig.12 Vibration control effectiveness of LR-PEM

表6 共振響應極值點最優電阻和電感Table 6 Optimal resistance and inductance to extreme points of resonance response

3.3 R-PEM與LR-PEM多階共振抑制效果對比

圖14為各類最優電學參數對共振峰值的影響.圖14(a)～圖14(d)依次為LR-PEM的各階最優電學參數對前4階共振的抑制效果，并與R-PEM以及當各電路短路時的壓電網絡板進行了比較.從中可以看出，R-PEM與 LR-PEM均可以對各階共振進行有效抑制.對于設計頻率點，LR-PEM可以達到比R-PEM更好的振動抑制效果，但是對于遠離設計頻率點的共振來說，LR-PEM的振動控制效果可能會比R-PEM還差，并且距離設計頻率越遠，LR-PEM的控制效果越差.

圖13 LR-PEM振動抑制效果云圖Fig.13 Contour of vibration suppression effect(LR-PEM)

圖14 各類最優電學參數對共振峰值的影響的比較Fig.14 Comparison among influence of optimal circuit parameters on resonance peak value

4 結論

本文以四邊固支板橫向自由振動的解函數為模態坐標，求解了壓電網絡板的機電耦合動力學方程，得到了其在簡諧激勵下的頻響函數表達式，并在此基礎上分析了四邊固支壓電網絡板的多階共振抑制效果.該求解方法還可以推廣至其他邊界條件的情況.對于四邊固支壓電網絡板，本文主要得到:

1)R-PEM和LR-PEM對整個壓電網絡板均具有多階共振抑制效果.LR-PEM在設計頻率點附近比R-PEM的共振抑制效果要好，但是對于遠離設計頻率點的共振來說，其控制效果會變差，有時甚至沒有R-PEM的效果好.

2)R-PEM各階最優電阻與共振頻率有關，但是其控制效果對電阻不敏感，根據實際工程的需要，可以找到一個全局最優電阻區間，使得該區間內的電阻對各階模態均具有理想的共振抑制效果.

3)與四邊簡支邊界條件不同，四邊固支的LR-PEM具有多組局部最優電學參數，每一組參數都對應著與結構具有較強耦合能力的某一階電路模態，并且主要通過該階電路消耗能量以達到共振抑制效果.對于結構和電路同階耦合的最優電學參數來說，此時的最優電阻與共振頻率有關，最優電感隨共振頻率增加而降低，與電阻相比，壓電網絡板的振動控制效果對電感更加敏感.

4)對于LR-PEM，在抑制結構的高階共振時，可以選擇與低階電路模態存在較強耦合的局部最優電學參數以進一步降低需要的電感值.

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