基于動態貝葉斯網絡的可修GO法模型算法

樊冬明，任羿，劉林林，劉叔正，樊劍，王自力

(北京航空航天大學 可靠性與系統工程學院，北京 100191)

GO 法(GO methodology)［1］是一種以成功為導向的系統概率分析技術，對于多狀態、有時序的系統，尤其對有實際物流如氣流、液流、電流等過程系統具有很強的可靠性、安全性建模描述能力.在工程系統中，組成部件和設備經常是可修復的，現有的可修算法［2］是以可修操作符的概率公式為基礎，先求得可修系統的等效故障率和等效維修率，然后再考慮操作符之間的相關性參數，最終通過一系列轉換求得等效操作符的可用度.在該方法中，如果輸入信號存在共有信號則需先將共有信號分離出去［3］，進行操作符邏輯計算后，再將共有信號合并，再考慮停工相關、維修相關等復雜參數.這些問題都影響了GO法在實際工程中的廣泛應用.

動態貝葉斯網絡(Dynamic Bayesian Networks，DBN)是建立在靜態貝葉斯網絡和Markov模型基礎上的圖形結構.因為其具有描述事件多態性和非確定性邏輯關系的能力且能夠保證較高的精度，所以常用來分析有時序的動態復雜系統.自21世紀初，動態貝葉斯網絡在可靠性領域中應用的愈加廣泛.2003年，法國學者針對動態貝葉斯網絡在復雜制造過程形式化建模的問題進行了研究［4］;2005年，美國學者在對動態故障樹的研究中加入了動態貝葉斯網絡，使其能夠更加完整地描述動態過程［5］;2009年，文獻［6］提出了基于動態貝葉斯網絡節點的系統可靠性研究.

近年來，國內研究人員也對動態貝葉斯網絡應用在可靠性中進行了深入的研究.2008年，文獻［7］提出了基于動態貝葉斯網絡的動態故障樹分析方法，并給出了定量分析方法;2012年，動態貝葉斯網絡被應用在配電系統的可靠性研究上，很好地描述了其保護裝置的動態演變過程［8］;經過進一步的研究發展，2014年，文獻［9］基于T-S故障樹和動態貝葉斯網絡提出了模糊可靠性評估的新方法，解決了傳統故障樹無法描述節點間模糊性邏輯關系的缺點.目前，動態貝葉斯網絡已在動態可靠性框圖、Markov、故障樹等可靠性模型中得以應用［10-14］，但在可修 GO法中并沒有得到應用.

本文提出一種基于動態貝葉斯網絡的方法，統一描述GO法模型中的靜態和動態行為，簡化GO法針對可修特性的算法過程.首先介紹了GO法可修理論和動態貝葉斯網絡基本理論，給出操作符的動態貝葉斯網絡映射規則，并針對操作符之間的相關性行為(停工相關、備份相關、維修相關)給出了定量計算公式.最后，結合案例說明算法的操作步驟，同時分析系統的可用度曲線及在給定時間點下的可靠性相關參數.

在本文提出的新算法中，無需考慮共有信號等問題，并且對于停工相關、維修相關、備件相關等可修動態特性也能進行統一的形式化描述，根據系統的基本結構情況，直接描述系統的靜態和動態特性，并結合成熟算法，不僅可以得到每一時刻的可靠性參數，還可得到系統可用度的變化曲線，簡化了GO法可修系統的計算過程，便于工程人員掌握和應用.

1 GO法與動態貝葉斯網絡

1.1 GO 法簡介

系統中的元件、部件或子系統可以統稱為單元，GO法中用操作符來代表單元，用信號流來表示功能單元輸入S、輸出信號R之間的邏輯關系.GO法模型中共有17類操作符［2］，如圖1所示.根據操作符的作用和運算規則不同，將操作符分為兩大類型:

1)邏輯操作符:此類操作符沒有狀態概率數據，僅代表一種邏輯運算規則.邏輯操作符包括第2、9、10、11、13、14、15 類操作符.

2)功能操作符:此類操作符包含自身狀態值及運算邏輯.功能操作符包括第 1、3、4、5、6、7、8、12、16、17 類操作符.

其中，在工程中最常用的操作符類型為1、2、5、6、7、10、11.本文將針對這些常用操作符進行GO法可修系統的研究.

圖1 GO法操作符類型Fig.1 Type of GO methodology operators

GO法應用于可修系統時，操作符代表的單元是可修系統，因此操作符的成功狀態概率P(1)就是可修系統的可用度，操作符的故障狀態概率P(2)就是可修系統的不可用度，同時其故障率和維修率分別為 λ、μ［2］.在工程系統中，λ 和 μ 一般服從指數分布，其值為常數.

1.2 動態貝葉斯網絡基本原理

動態貝葉斯網絡是靜態網絡在時間上的一種擴展.它由初始網絡和轉移網絡構成，將時間因素引入其中，使得貝葉斯網絡隨時間變化，數據發生相應的轉移變化［15］.整個網絡含有有限個時間片段，每個時間段都有其對應的條件概率表(Conditional Probability Table，CPT).

如圖2所示為“與”邏輯關系對應的動態貝葉斯網絡，A(T)、B(T)為其兩個輸入的初始網絡;A(T+ΔT)、B(T+ΔT)為其轉移網絡，R(T)為其初始網絡的輸出;R(T+ΔT)為其轉移網絡的輸出.在動態貝葉斯網絡分析中，通常只關注轉移網絡的輸出，所以在以下的分析中，用簡化圖2(b)來表示圖2(a)的動態貝葉斯網絡.同時，根據“與”的邏輯關系，可得到相應的條件概率分布.

圖2 “與”邏輯對應的動態貝葉斯網絡Fig.2 Dynamic Bayesian network of logic“AND”

動態貝葉斯網絡作為一種形式化方法，可以很好地描述系統中多狀態、多時序等復雜特性，考慮基于動態貝葉斯網絡來對GO法模型中的可修動態時序特性進行形式化映射，可以有效地結合兩者的優勢，為GO法模型的計算和應用提供一種新的途徑［16-17］.

1.3 可修部件的動態貝葉斯網絡建模

對于系統部件，其處于正常工作狀態和故障狀態的概率是隨時間變化的，這種隨時間變化的規律可以用動態貝葉斯網絡來進行表達.如圖3所示為操作符對應的動態貝葉斯網絡.在不可修的條件下，在(T+ΔT)時刻處于1狀態的條件概率為

對于可修部件，只需將式(2)修改為［18］

式中:A(T)=0為部件A在T時刻處于正常工作狀態;A(T)=1為部件A在T時刻處于故障狀態;f(t)為部件A故障概率密度函數;μ(t)為操作符的維修密度函數.

圖3 操作符動態貝葉斯網絡Fig.3 Dynamic Bayesian network of operator

2 動態貝葉斯網絡映射

2.1 操作符到動態貝葉斯網絡的一般映射規則［19］

從操作符(包括輸入信號、操作符本身和輸出信號)到動態貝葉斯網絡的轉換過程的一般映射規則的具體步驟如下:

1)將操作符(非邏輯門操作符)及其輸入信號流映射為動態貝葉斯網絡的初始網絡根節點，并同時建立相應的各初始網絡根節點的轉移網絡子節點，再建立初始網絡中的父節點和轉移網絡中的對應子節點連接關系.

2)將每一路輸出信號流(除第5類操作符)映射為轉移網絡的一個節點，并建立與步驟1)中轉移網絡中的所有節點的父子關聯關系(前者為子，后者為父).

3)根據操作符的狀態概率確定初始網絡根節點的先驗概率，并同時確定對應轉移網絡中子節點的條件概率表.

4)根據操作符的運算邏輯給出所有輸出信號流對應的轉移網絡子節點的條件概率表.

2.2 邏輯操作符的動態貝葉斯網絡映射

在GO法中，第2、10、11類操作符分別對應或、與、M取K 3種邏輯關系，這3類操作符都有多路信號輸入，一路信號輸出.第2、10類操作符實際為M取K邏輯門的特例，在第2類操作符中K=1，在第10類操作符中K=M.因此只需給出第11類操作符的動態貝葉斯網絡映射和計算過程即可.

如圖4所示為第11類操作符模擬3個輸入信號的3取2邏輯元件，假設每個輸入信號都僅有兩種狀態(1—正常，2—故障)，根據第2.1節的映射規則，可以得到其相應節點的概率及子節點的條件概率表.

圖4 第11類操作符及對應動態貝葉斯網絡Fig.4 Type 11 operator and its dynamic Bayesian network

依據條件概率表，可以得出輸出信號R的成功狀態(1狀態)的概率，具體計算過程如下:

則

根據第1.3節中動態貝葉斯網絡在可修操作符中的定量計算公式可知，式(4)中:

輸入信號SB、SC的計算與SA相似，在此不做贅述.

2.3 功能操作符的動態貝葉斯網絡映射

1)第1、3、8類操作符.

第1、3、8類操作符均為工程上常用的操作符，這3類操作符均有一路輸入信號，一路輸出信號，但其本身狀態數不同.本文以第1類操作符為例來說明此類操作符的映射和計算過程.

第1類操作符是最常用的操作符，其模擬只有兩種狀態的單元(成功，失敗)，一般用來模擬電阻、開關等設備.

根據第2.1節的映射規則，其相應節點的概率及子節點的條件概率表如圖5所示.輸出信號的成功狀態概率為

根據第1.3節可知，其中:

2)第5類操作符.

第5類操作符是工程上最常用的輸入操作符，一般作為建模系統的輸入使用.根據第2.1節的映射規則，其相應節點的概率及子節點的條件概率表如圖6所示.

圖5 第1類操作符及對應動態貝葉斯網絡Fig.5 Type 1 operator and its dynamic Bayesian network

圖6 第5類操作符及對應動態貝葉斯網絡Fig.6 Type 5 operator and its dynamic Bayesian network

依據條件概率表，可以給出第5類操作符輸出信號的1狀態概率:

式中:

3)第6、7類操作符.

第6、7類操作符模擬的是有兩個輸入信號一個輸出信號的元件，其本身具有3種狀態(狀態值:0，1，2).第6類操作符在兩個輸入均正常時才有輸出信號，一般用來模擬常開的接觸器、未合上的電閘等.第7類操作符恰好相反，其在兩個輸入均正常時，輸出信號被截斷，一般用來模擬常閉的接觸器、常開的流體閥門等.

根據第2.1節的映射規則，第6類操作符的GO法模型、對應的動態貝葉斯網絡及條件概率表如圖7所示.依據條件概率表，操作符6的輸出信號的成功狀態概率的具體計算步驟為

則

對于第7類操作符，只需要根據其邏輯修改圖7中的條件概率表即可，計算步驟與上述第6類操作符類似.

圖7 第6類操作符及對應動態貝葉斯網絡Fig.7 Type 6 operator and its dynamic Bayesian network

2.4 操作符相關性及其動態貝葉斯網絡映射

在工程系統中，單元和單元之間往往不是相互獨立的，在停工、備用、維修等方面存在相關性，相關性表現在以下方面［2，18］:

1)停工相關:可修系統由于某些單元的故障而停工維修時，沒有發生故障的單元隨系統的停工而停止工作，且不再發生故障.這種相關性定義為停工相關.

在工程中，停工相關一般表現為串聯或與門形式，本文以串聯為例，如圖8所示.系統的最終輸出只有兩種狀態，狀態0僅用來表現操作符的工作狀態，所以通過計算可求得:PR(0)=0.在備用相關和維修相關中與上述情況相似，不再贅述.假設1-1、1-2均有3種狀態(0—停工等待，1—正常，2—故障)，其中狀態0為停工相關中的中間狀態，R為其串聯輸出.

2)備用相關:假設冗余單元處于備用狀態時不會發生故障或發生故障率較小，那么冗余備用單元發生故障就和其余單元是否處于故障狀態有關，這種相關性定義為備用相關.

現假設備件系統中包含一個主部件1-1和一個備份部件1-2，且兩個部件均為兩狀態單元.假設當部件1-1正常工作時，備件1-2處于備份狀態，故障率為0.其GO法模型及其對應的動態貝葉斯網絡如圖9所示.

根據圖9中的動態貝葉斯網絡節點，則系統的故障概率為

式中:f2(t)為備件操作符1-2的失效密度函數;μ1(t)為操作符1-1的修復密度函數;PR(2)為系統故障概率.

3)維修相關:當可修系統有多個單元同時處于故障狀態，而維修工不足，即有些單元在發生故障后不能及時維修.這種相關性定義為維修相關.

假設操作符1-1、1-2均有3種狀態(0—等待維修，1—正常，2—維修)，且維修工數為1，R為其輸出.其GO法模型及其對應的動態貝葉斯網絡如圖10所示.

圖8 操作符之間的停工相關Fig.8 Shutdown dependence between operators

圖9 操作符之間的備用相關Fig.9 Standby dependence between operators

圖10 操作符之間的維修相關Fig.10 Repair dependence between operators

根據圖10中的動態貝葉斯網絡節點，則系統的故障概率為

3 案例驗證

本節中通過核電站高壓注水系統的實際案例來對算法的流程步驟進行詳細的描述.隨著傳統資源的稀缺，新型能源逐漸成為了全球化的熱點.核能源作為清潔、環保的新型能源已成為各國競相開發的對象.而核電站中的高壓注水系統是核電站中重要的安全系統之一其作用是向堆芯注入冷卻劑，保持反應堆冷卻劑的數量，維持堆芯繼續冷卻，使反應堆中的余熱安全轉移.

核電站高壓注水系統由水箱經過主閥門分兩路供水，第一路由3個隔離閥、3個上沖離心泵和3個逆止閥組成3條支路，經過隔離閥直接向核電站的主回路冷端注水.另一路由2個隔離閥、2個安全閥和2個逆止閥組成2條支路，通過隔離閥直接向核電站的主回路熱端注水，同時也向主回路冷端注水.

如圖11所示是核電站高壓注水系統的GO法建模圖，其中的功能操作符均只有兩種狀態(1—成功，2—故障)，要求計算冷端注入(信號流23)和熱端注入(信號流22)的成功和故障概率.該GO圖模型中，信號流2輸出的第一路的3條支路是可修的，其余操作符均不考慮修復問題.且操作符18是3取2的冗余并聯子系統，操作符19是2取1的冗余并聯子系統，表1列出了可修操作符的可靠性參數，表2列出了不可修操作符的可靠性參數.

圖11 核電站高壓注水系統GO圖Fig.11 High-pressure-water-infusion system GO graph of nuclear power station

表1 核電站高壓注水系統可修操作符數據Table 1 Repairable operator data of high-pressure water-infusion system of nuclear power station

表2 核電站高壓注水系統不可修操作符數據Table 2 Unrepairable operator data of high-pressure water-infusion system of nuclear power station

根據第1.3節和第2.4節中的定量計算，首先對系統中的可修操作符進行動態貝葉斯轉換，并對其進行計算，得到可修操作符的動態數據;然后對不可修操作符進行動態貝葉斯轉換，最終將整個系統連接成動態貝葉斯網絡.根據GO圖的結構及其對應的動態貝葉斯網絡，通過軟件GeNIe2.0來建立動態貝葉斯網絡，利用成熟的貝葉斯網絡算法來最終求得系統的成功和失敗概率，如圖12所示.

圖12中代表設備本身的節點向其本身發出的信號代表操作符本身的狀態從初始網絡轉移到轉移網絡;其他節點均代表操作符的輸入信號.

假設所有部件在初始狀態均為正常工作狀態，即在初始時刻t=0 h時，PR(1)=1，PR(2)=0.輸入在t=1 h時設備節點的數據，如表3所示.

圖12 核電站高壓注水系統動態貝葉斯網絡轉移圖Fig.12 Dynamic Bayesian network transition diagram of high-pressure-water-infusion system of nuclear power station

表3 核電站高壓注水系統部件動態貝葉斯網絡節點概率Table 3 Components of high-pressure-water infusion system of nuclear power station and their probability of DBN nodes

將表3中的數據填入到軟件中，最終計算出核電站高壓注水系統冷端和熱端的動態可用度如圖13所示，并且計算在t=500 h時系統輸出的可靠性數據，如表4所示.

由圖13可見，系統的可用度隨著時間逐漸減低，且由于不可修操作符的存在，其在故障后無法進行修復，使得系統可用度無法最終達到一個穩態值.

圖13 核電站高壓注水系統動態可用度Fig.13 Dynamic availability of high-pressure water-infusion system of nuclear power station

表4 核電站高壓注水系統可靠性參數結果(t=500 h)Table 4 Results of high-pressure-water-infusion system reliability parameters of nuclear power station(t=500 h)

4 結論

本文提出了基于動態貝葉斯網絡的GO法可修系統新算法，給出了基于動態貝葉斯網絡的可修GO法定量計算公式，并對可修操作符的動態相關性進行了定量計算，最后通過核電站高壓注水系統的案例來說明算法的應用流程，經驗證表明:

1)新算法無需考慮共有信號問題，可根據系統的組成結構直接將操作符轉換成為動態貝葉斯網絡模型.

2)新算法可通過成熟的貝葉斯網絡軟件對可修復操作符直接進行定量求解.

3)新算法計算簡便且轉換過程簡單直觀，易于理解，便于GO法在工程中的推廣應用.

References)

［1］ Shen Z P，Gao J，Huang X R.A new quantification algorithm for the GO methodology［J］.Reliability Engineering ＆ System Safety，2000，67(3):241-247.

［2］沈祖培，黃祥瑞.GO法原理及應用:一種系統可靠性分析方法［M］.北京:清華大學出版社，2004:14-40.Shen ZP，Huang X R.Principle and application of GO methodology［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2004:14-40(in Chinese).

［3］ Shen Z P，Wang Y，Huang X R.A quantification algorithm for a repairable system in the GO methodology［J］.Reliability Engineering ＆ System Safety，2003，80(3):293-298.

［4］ Weber P，Jouffe L.Reliability modelling with dynamic Bayesian network［C］∥5th IFAC Symposium on Fault Detection Supervision and Safety of Technical Processes.Washington，D.C.:Elsevier Science，2003.

［5］ Boudali H，Dugan J B.A new Bayesian network approach to solve dynamic fault trees［C］∥51st Annual Reliability and Maintainability Symposium，RAMS 2005:The International Symposium on Product Quality and Integrity.Piscataway，NJ:IEEE Press，2005:451-456.

［6］ Portinale L，Raiteri D C，Montani S.Supporting reliability engineers in exploiting the power of dynamic Bayesian networks［J］.International Journal of Approximate Reasoning，2009，51(2):179-195.

［7］周忠寶，馬超群，周經倫，等.基于動態貝葉斯網絡的動態故障樹分析［J］.系統工程理論與實踐，2008，2(2):35-42.Zhou Z B，Ma C Q，Zhou JL，et al.Dynamic fault tree analysis based on dynamic Bayesian networks［J］.Systems Engineering-Theory ＆ Practice，2008，2(2):35-42(in Chinese).

［8］蘇傲雪，范明天，李仲來，等.基于動態貝葉斯網絡的配電系統可靠性分析［J］.華東電力，2012，11(11):1912-1915.Su A X，Fan M T，Li Z L，et al.Reliability analysis of distribution system based on dynamic Bayesian network［J］.East China Electric Power，2012，11(11):1912-1915(in Chinese).

［9］姚成玉，陳東寧，王斌.基于T-S故障樹和貝葉斯網絡的模糊可靠性評估方法［J］.機械工程學報，2014，50(2):193-201.Yao C Y，Chen D N，Wang B.Fuzzy reliability assessment method based on T-S fault tree and Bayesian network［J］.Journal of Mechanical Engineering，2014，50(2):193-201(in Chinese).

［10］周忠寶，董豆豆，周經倫.貝葉斯網絡在可靠性分析中的應用［J］.系統工程理論與實踐，2006，6(6):95-98.Zhou Z B，Dong D D，Zhou J L.Application of Bayesian networks in reliability analysis［J］.Systems Engineering-Theory ＆Practice，2006，6(6):95-98(in Chinese).

［11］鄧鑫洋，鄧勇，章雅娟，等.一種信度馬爾科夫模型及應用［J］.自動化學報，2012，38(4):666-668.Deng X Y，Deng Y，Zhang Y J，et al.A belief Markov model and its application［J］.Acta Automatica Sinica，2012，38(4):666-668(in Chinese).

［12］ Druzdzel M J.SMILE:Structural modeling，inference，and learning engine and GeNIe:A development environment for graphical decision-theoretic models［C］∥Proceedings of the National Conference on Artificial Intelligence.Orlando，Florida:AAAI/IAAI，1999:900-901.

［13］ Doguc O，Ramirez-Marquez JE.An automated method for estimating reliability of grid systems using Bayesian networks［J］.Reliability Engineering ＆ System Safety，2012，104(1):96-105.

［14］ Chu B B.GO methodology:Overview manual，EPRI NP-3123［R］.Kansas City:Electric Power Research Institute，1983:125-130.

［15］李海軍.貝葉斯網絡理論在裝備故障診斷中的應用［M］.北京:國防工業出版社，2009:60-82.Li H J.Application of Bayesian network in fault diagnosis of military equipment［M］.Beijing:National Defense Industry Press，2009:60-82(in Chinese).

［16］ Mi J，Li Y，Huang H Z，et al.Reliability analysis of multi-state systems with common cause failure based on Bayesian networks［C］∥Proceedings of 2012 International Conference on Quality，Reliability，Risk，Maintenance，and Safety Engineering.Piscataway，NJ:IEEE Press，2012:1117-1121.

［17］馬德仲，周真，于曉洋，等.基于模糊概率的多狀態貝葉斯網絡可靠性分析［J］.系統工程與電子技術，2012，34(12):2607-2611.Ma D Z，Zhou Z，Yu X Y，et al.Reliability analysis of multistate Bayesian networks based on fuzzy probability［J］.Systems Engineering and Electronics，2012，34(12):2607-2611(in Chinese).

［18］周忠寶.基于貝葉斯網絡的概率安全評估方法及應用研究［D］.長沙:國防科學技術大學，2006.Zhou Z B.Research on methods and application of probabilistic safety assessment based on Bayesian networks［D］.Changsha:National University of Defense Technology，2006(in Chinese).

［19］劉林林，任翌，王自力，等.基于貝葉斯網絡的GO法模型算法［J］.系統工程與電子技術，2015，37(1):212-218.Liu L L，Ren Y，Wang Z L，et al.Algorithm based-on Bayesian networks for GO methodology［J］.Systems Engineering and Electronics，2015，37(1):212-218(in Chinese).