角度測(cè)量下雙機(jī)協(xié)同standoff目標(biāo)跟蹤

朱黔，周銳*，董卓寧，李浩

(1.北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191;2.中航工業(yè)成都飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所，成都 610091)

無(wú)人機(jī)(UAV)能夠協(xié)同執(zhí)行多種任務(wù)，如邊界巡邏、敵方監(jiān)視、編隊(duì)護(hù)航、災(zāi)難救援等任務(wù)［1］，而目標(biāo)跟蹤則是UAV執(zhí)行任務(wù)的關(guān)鍵技術(shù)之一.在敵對(duì)目標(biāo)跟蹤中，無(wú)人機(jī)必須與敵對(duì)目標(biāo)保持一定安全距離以降低暴露風(fēng)險(xiǎn)，并且盡可能地提高目標(biāo)觀測(cè)信息，即廣泛研究的standoff跟蹤問(wèn)題.

在過(guò)去的研究中，協(xié)同standoff跟蹤已經(jīng)取得一定的成果.Lawrence［2］第一次提出將李雅普諾夫矢量場(chǎng)用于standoff跟蹤，F(xiàn)rew等［3］對(duì)李雅普諾夫矢量場(chǎng)進(jìn)行擴(kuò)展，其提出速度控制和航向角控制雙層控制結(jié)構(gòu)，將協(xié)同standoff跟蹤分成相對(duì)獨(dú)立的距離控制和角間距控制.Summers等［4］通過(guò)信息結(jié)構(gòu)進(jìn)一步擴(kuò)展李雅普諾夫矢量場(chǎng)，通過(guò)設(shè)計(jì)可變空速控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)多車輛協(xié)同控制中期望角間距控制.Chen等［5］第一次結(jié)合切向矢量場(chǎng)和李雅普諾夫矢量場(chǎng)形成復(fù)合控制結(jié)構(gòu)，用以彌補(bǔ)切向矢量場(chǎng)控制當(dāng)UAV在standoff圓內(nèi)切線不存在的問(wèn)題.除李雅普諾夫矢量場(chǎng)控制以外，Oh等［6］提出了一種基于微分幾何方法的standoff跟蹤導(dǎo)引律設(shè)計(jì)方法，通過(guò)引入目標(biāo)速度項(xiàng)來(lái)提高跟蹤精度.Ma和 Hovakimyan［7］通過(guò)添加附加項(xiàng)的方式，結(jié)合角間距形成平衡圓編隊(duì)用以實(shí)現(xiàn)協(xié)同standoff跟蹤.此外，Oh等［8］通過(guò)航路構(gòu)造的方法實(shí)現(xiàn)協(xié)同standoff跟蹤;王樹磊等［9］對(duì)參考點(diǎn)制導(dǎo)(RPG)法進(jìn)行改進(jìn)，提高UAV的整體跟蹤效果.針對(duì)僅有角度測(cè)量的 UAV，Ponda等［10］針對(duì)不同測(cè)量方式，對(duì)于距離誤差和角度誤差給出詳細(xì)分析.Lee等［11］提出多UAV僅考慮一步信息量的反饋導(dǎo)引律設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)最大化目標(biāo)估計(jì)信息.Kim等［12］運(yùn)用非線性模型預(yù)測(cè)控制(NMPC)實(shí)現(xiàn)協(xié)同standoff跟蹤，將standoff距離和期望角間距引入性能指標(biāo)，獲得很好的跟蹤效果.

目前standoff跟蹤問(wèn)題研究主要集中在控制律設(shè)計(jì)，但對(duì)UAV不同空間位置關(guān)系對(duì)目標(biāo)位置估計(jì)精度的影響少有考慮.或者，盡管分析了UAV幾何構(gòu)型與目標(biāo)位置估計(jì)精度之間的關(guān)系，但如何實(shí)現(xiàn)UAV最優(yōu)構(gòu)型下的控制律設(shè)計(jì)卻很少涉及.

針對(duì)standoff跟蹤過(guò)程中如何實(shí)現(xiàn)UAV的最優(yōu)觀測(cè)問(wèn)題，本文提出了一種新的導(dǎo)引律設(shè)計(jì)思路.首先建立UAV協(xié)同觀測(cè)空間構(gòu)型與目標(biāo)位置估計(jì)誤差之間的關(guān)系;然后通過(guò)優(yōu)化空間構(gòu)型進(jìn)而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì).

1 目標(biāo)跟蹤問(wèn)題描述

1.1 無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

假設(shè)所有無(wú)人機(jī)都擁有飛行控制系統(tǒng)可以有效跟蹤控制指令，僅考慮在二維水平平面上的控制律設(shè)計(jì)，對(duì)應(yīng)無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如下:

式中:x=［x y ψ vω］T為無(wú)人機(jī)狀態(tài)，(x，y)為慣性坐標(biāo)系位置，ψ為航向角，v為速度，ω為偏航角速率;(τv，τω)為時(shí)間常數(shù)表征執(zhí)行機(jī)構(gòu)時(shí)延;u=［uvuω］T為速度和偏航角速率控制輸入.基于無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，考慮如下約束［13］:

式中:v0為無(wú)人機(jī)的名義速度;vmax和ωmax分別為速度和偏航角速度的最大變化范圍.

1.2 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型

由于地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)可以通過(guò)調(diào)整速度和方向進(jìn)行任意機(jī)動(dòng)，所以一般的勻速運(yùn)動(dòng)模型無(wú)法準(zhǔn)確表示目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).因此本文中采用加速度模型［14］來(lái)表示目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程如下:

1.3 傳感器測(cè)量模型

假設(shè)UAV對(duì)目標(biāo)跟蹤測(cè)量采用定高飛行，傳感器模型為方位角測(cè)量傳感器，模型如下:

式中:(xi，yi)為第i架UAV的位置信息;(xT，yT)為目標(biāo)的位置信息;νi為均值為0、方差為的高斯白噪聲作為測(cè)量噪聲.假設(shè)不同UAV之間的測(cè)量噪聲彼此不相關(guān).

1.4 擴(kuò)展信息濾波

考慮式(5)的傳感器觀測(cè)模型為非線性模型，采用擴(kuò)展信息濾波［15］對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，擴(kuò)展信息濾波包括預(yù)測(cè)過(guò)程和估計(jì)過(guò)程［16］.

預(yù)測(cè)過(guò)程:

估計(jì)過(guò)程:

式中:yk，k－1和 Yk，k－1分別為預(yù)測(cè)信息和預(yù)測(cè)信息矩陣;yk－1，k－1和 Yk－1，k－1為 k － 1 時(shí)刻的信息狀態(tài)和信息狀態(tài)矩陣;Qk為測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣;Hi，k為第i架UAV測(cè)量方程Jacobian矩陣;Ri，k為測(cè)量協(xié)方差矩陣;zi(k)為角度測(cè)量信息為預(yù)測(cè)目標(biāo)狀態(tài);hi(*)為傳感器測(cè)量方程.目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)信息作為非線性模型預(yù)測(cè)控制的狀態(tài)輸入信息用以最優(yōu)化控制輸出.

2 目標(biāo)位置估計(jì)精度分析

2.1 均方根誤差模型

如圖1所示，兩架UAV跟蹤地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，通過(guò)方位角測(cè)量傳感器可以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)定位.由于角度測(cè)量傳感器存在噪聲，因此目標(biāo)定位中存在位置誤差.兩架UAV的角度測(cè)量信息如下:

式中:(θ1，θ2)為真實(shí)方位角)為測(cè)量方位角;(ν1，ν2)為測(cè)量噪聲.

圖1 角度測(cè)量下的協(xié)同目標(biāo)觀測(cè)Fig.1 Only bearing measurement cooperative target observation

設(shè)(x1，y1)和(x2，y2)分別為兩架 UAV 真實(shí)位置)為含有誤差的目標(biāo)位置信息.由式(8)可以獲得以下結(jié)果:

將式(9)表示為式(10)的函數(shù)形式，在(θ1，θ2)處進(jìn)行泰勒展開(kāi)并忽略二階以上高階項(xiàng)，可近似得到位置誤差表達(dá)式:

由圖1可得UAV和目標(biāo)的距離可表示為

結(jié)合式(11)和式(12)可得目標(biāo)位置誤差:

目標(biāo)位置估計(jì)誤差為

取均方根誤差作為目標(biāo)位置估計(jì)精度的參考準(zhǔn)則［17］，其定義如下:

式中:RMSExy為目標(biāo)位置估計(jì)的均方根誤差，其值越小，目標(biāo)位置估計(jì)越準(zhǔn)確，估計(jì)精度越高.設(shè)無(wú)人機(jī)角度測(cè)量噪聲均值為0、方差為2).位置誤差平方的期望值如下:

將式(17)的結(jié)果代入式(16)中可得

可知目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差RMSExy與有關(guān)，即 δp與直接相關(guān).

2.2 standoff跟蹤問(wèn)題

UAV協(xié)同跟蹤過(guò)程中，ri總會(huì)有一定的距離約束 Rmin，稱為 standoff距離(rd)，即 ri≥Rmin=rd.分析可知:當(dāng)一定時(shí)，ri=Rmin=rd，且 β = θ2－θ1=90°時(shí) RMSExy最小，對(duì)應(yīng)目標(biāo)位置誤差 δp越小，目標(biāo)定位越準(zhǔn)確.依據(jù)式(18)可知standoff跟蹤最優(yōu)觀測(cè)構(gòu)型如下:

3 非線性模型預(yù)測(cè)控制

基于第2節(jié)的分析，通過(guò)優(yōu)化UAV的空間觀測(cè)幾何構(gòu)型可實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)最優(yōu)跟蹤.文獻(xiàn)［12］考慮standoff距離和UAV之間的角間距實(shí)現(xiàn)協(xié)同standoff跟蹤.而本文則將目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差RMSExy作為目標(biāo)跟蹤評(píng)價(jià)指標(biāo)，采用非線性模型預(yù)測(cè)控制實(shí)現(xiàn)對(duì)UAV幾何觀測(cè)位置構(gòu)型優(yōu)化:

式中:pN和qr分別為第N步和第k步非線性模型預(yù)測(cè)性能指標(biāo)函數(shù)相關(guān)系數(shù);r1k和r2k為k時(shí)刻UAV與目標(biāo)之間的距離.

式(21)和式(23)反映了standoff跟蹤過(guò)程中當(dāng)前實(shí)際構(gòu)型對(duì)應(yīng)跟蹤誤差與最優(yōu)期望構(gòu)型對(duì)應(yīng)跟蹤誤差之間的差值.

為避免復(fù)雜的角度計(jì)算，考慮做如下變換:

對(duì)應(yīng)式(21)和式(23)可以變?yōu)?/p>

式中:r1k和r2k為UAV當(dāng)前位置指向目標(biāo)位置向量(k=0，1，…，N，N 為預(yù)測(cè)步長(zhǎng)).從性能指標(biāo)中可以看出，期望的UAV運(yùn)動(dòng)模式為在隨機(jī)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)周圍做協(xié)同standoff跟蹤，即與目標(biāo)距離盡可能保持r≥Rmin=rd，并盡可能接近 Rmin，兩架 UAV的觀測(cè)夾角保持90°，即使目標(biāo)位置估計(jì)均方差誤差RMSExy盡可能小，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)目標(biāo)位置估計(jì).

考慮UAV動(dòng)力學(xué)模型，有如下等式約束:

考慮控制輸入限幅，機(jī)間防撞，安全距離限制Rmin，在非線性模型預(yù)測(cè)中以不等式約束代入:

式中:Sv(uk)為第k步非線性模型預(yù)測(cè)速度控制量不等式約束函數(shù);Sω(uk)為第k步非線性模型預(yù)測(cè)角速度控制量不等式約束函數(shù);Sc(xk)為第k步非線性模型預(yù)測(cè)機(jī)間防撞不等式約束函數(shù);Sr(xk)為第k步非線性模型預(yù)測(cè)當(dāng)前UAV與目標(biāo)距離不等式約束函數(shù);rc為機(jī)間防撞距離;為兩機(jī)之間距離;為當(dāng)前UAV與目標(biāo)之間的距離.相應(yīng)改進(jìn)的性能指標(biāo)如下:

式中:μv、μω、μc和 μr為非線性模型預(yù)測(cè)的不等于約束函數(shù)相關(guān)系數(shù).

在式(31)的性能指標(biāo)中對(duì)應(yīng)有

由性能指標(biāo)式(31)，定義Hamiltonian函數(shù):

對(duì)改進(jìn)性能指標(biāo)Ja求偏導(dǎo)數(shù)，可得到

由于等式約束的存在，所以λk可以任意選擇.故可以選擇:

將式(34)代入式(33)中，d Ja可以表示為

式(34)中的λ的計(jì)算公式為

在式(36)、式(37)中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的計(jì)算公式為

式中:(xp，yp)為相對(duì)于本機(jī)另外一架UAV k時(shí)刻對(duì)應(yīng)的位置信息.

采用基本的梯度理論最小化Hamiltonian函數(shù)Hk，每個(gè)迭代周期的控制命令更新如下:

式中:Δk為可變步長(zhǎng)，k=0，1，…，N －1.

式(41)對(duì)應(yīng)的計(jì)算項(xiàng)有如下表示公式:

式中:sgn為符號(hào)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的非線性模型預(yù)測(cè)控制運(yùn)行步驟如下所示［18-20］:

利用擴(kuò)展信息濾波獲得的目標(biāo)估計(jì)狀態(tài)作為原始狀態(tài)輸入，結(jié)合UAV運(yùn)動(dòng)方程式(1)計(jì)算控制輸入序列(u0，u1，…，uN－1)作用下無(wú)人機(jī)的狀態(tài)傳播{xk}，k=0，1，…，N.

基于拉格朗日乘子的計(jì)算公式(36)和式(37)后向計(jì)算出{λk}，k=N，N －1…，1.

計(jì)算性能指標(biāo)改進(jìn)程度 ΔJ=Jiter－Jiter－1.

IfΔJ＜0

利用梯度方法更新控制序列{uk}.

Else減少Δk來(lái)確保性能指標(biāo)改善.

End If

迭代次數(shù)iter+1;End While

在每一個(gè)UAV結(jié)點(diǎn)上分別運(yùn)行非線性模型預(yù)測(cè)控制算法，實(shí)現(xiàn)控制性能在線優(yōu)化，比較集中式優(yōu)化結(jié)構(gòu)，分布式控制有效降低了計(jì)算量，提高了算法的實(shí)時(shí)性.假設(shè)無(wú)人機(jī)彼此通信沒(méi)有延遲且不存在丟包現(xiàn)象，每一個(gè)控制周期內(nèi)，每一架UAV都可以獲得所有飛機(jī)的狀態(tài)信息，用以優(yōu)化性能指標(biāo)并更新控制序列.每次優(yōu)化出的控制命令作為當(dāng)前的周期的控制輸入，而下一周期的控制序列輸入設(shè)定如下:

4 仿真結(jié)果與分析

采用兩架UAV跟蹤一個(gè)地面隨機(jī)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，采用非線性模型預(yù)測(cè)控制優(yōu)化控制輸入序列.目標(biāo)初始狀態(tài)及估計(jì)值為

目標(biāo)運(yùn)動(dòng)存在均值為0、均方差為0.02m/s2的加速度噪聲.兩架 UAV分別從(－1 500m，0 m)、(0m，－1500m)出發(fā)，對(duì)目標(biāo)進(jìn)行協(xié)同standoff跟蹤，兩架UAV的方位角測(cè)量噪聲為均值為0、均方差分別為1.0°和0.7°的角度測(cè)量噪聲.在仿真過(guò)程中兩架UAV可以獲取彼此相應(yīng)的狀態(tài)信息，用于非線性模型預(yù)測(cè)優(yōu)化相應(yīng)控制輸出.具體的仿真結(jié)果參如圖2～圖6所示，具體仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示.

表1 仿真參數(shù)設(shè)置Table 1 Simulation parameters settings

圖2 兩架UAV與隨機(jī)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的絕對(duì)航跡Fig.2 Absolute trajectories of two UAVs and random moving target

圖3 UAV與隨機(jī)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)相對(duì)距離和相對(duì)角間距Fig.3 Relative distances and angle spacing between UAV and random moving target

圖4 UAV與目標(biāo)的瞬時(shí)相對(duì)軌跡和幾何關(guān)系Fig.4 Relative trajectories between UAV and target and their instantaneous geometric relationships

UAV與目標(biāo)之間絕對(duì)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡分別如圖2～圖4所示，可以看出:兩架UAV實(shí)現(xiàn)了對(duì)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的協(xié)同standoff跟蹤，兩架UAV與目標(biāo)相對(duì)距離都收斂于standoff距離(rd=500m).兩架UAV實(shí)際角間距都收斂到期望角間距90°.雙機(jī)為實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定協(xié)同standoff跟蹤需動(dòng)態(tài)調(diào)整與目標(biāo)之間的距離和相對(duì)角間距.由于動(dòng)態(tài)調(diào)整，在過(guò)渡階段可能會(huì)出現(xiàn)較大波動(dòng)，但很快會(huì)收斂到最優(yōu)觀測(cè)構(gòu)型(即r1=r2=rd，β=θ2－θ1=90°)，從而形成穩(wěn)定雙機(jī)協(xié)同standoff跟蹤.穩(wěn)定協(xié)同standoff跟蹤過(guò)程中兩架UAV與目標(biāo)相對(duì)距離和角間距都在期望值附近小幅波動(dòng)，分析其原因主要是由于目標(biāo)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的不確定性所造成.

從圖5可以看出，圖5(a)為目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動(dòng)曲線與利用擴(kuò)展信息濾波得到的位置估計(jì)曲線圖，圖5(b)和圖5(c)中的虛線代表3倍Cramer Rao誤差限，實(shí)線為x和y方向的估計(jì)誤差.可以看出:隨著兩架UAV逐漸趨近期望構(gòu)型，位置誤差也逐漸減小，并且95%以上都處于3倍Cramer Rao曲線范圍內(nèi)，此時(shí)具有很好的位置估計(jì)效果［21］.利用擴(kuò)展信息濾波可以較好地估計(jì)出目標(biāo)的位置信息，并作為非線性模型預(yù)測(cè)的初始狀態(tài)輸入，提高兩架UAV協(xié)同standoff跟蹤性能.

圖6為目標(biāo)位置估計(jì)的均方根誤差圖，可以看出隨著兩架UAV在standoff跟蹤中達(dá)到期望的構(gòu)型，對(duì)應(yīng)的目標(biāo)位置估計(jì)的均方根誤差逐漸減小并趨于平穩(wěn).

圖5 運(yùn)動(dòng)目標(biāo)位置估計(jì)Fig.5 Position estimation of moving target

圖6 目標(biāo)位置估計(jì)的均方根誤差Fig.6 Root mean square error of target position estimation

仿真結(jié)果表明:兩架UAV的觀測(cè)構(gòu)型收斂于期望的最優(yōu)構(gòu)型，即UAV與目標(biāo)的距離收斂于standoff跟蹤距離rd，兩架UAV的角間距收斂于90°，此時(shí)目標(biāo)位置估計(jì)誤差也達(dá)到最小.證明了所建立的目標(biāo)位置估計(jì)誤差與UAV幾何觀測(cè)構(gòu)型之間關(guān)系模型的正確性，以及分布式非線性模型預(yù)測(cè)控制方法的有效性.

為考察本文所提出算法的實(shí)時(shí)性和有效性，利用MATLAB優(yōu)化工具箱求解本文提出的問(wèn)題，并與本文提出的方法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2所示.本文提出的方法雖然犧牲了一定的控制精度(平均跟蹤距離誤差、平均跟蹤角間距誤差)，但有效提高了算法執(zhí)行速度，具有較好的實(shí)時(shí)性.

表2 算法性能對(duì)照Table 2 Performance com parisons of algorithm

協(xié)同standoff跟蹤能實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)傳感器全覆蓋，在最優(yōu)觀測(cè)構(gòu)型下最小化跟蹤誤差.而相應(yīng)的rd、v0、vmax和 ωmax等參數(shù)設(shè)置與 UAV 自身機(jī)動(dòng)能力和傳感器性能有關(guān)，并且與跟蹤任務(wù)需求相關(guān).顯然UAV自身能力越強(qiáng)，standoff跟蹤效果越好，形成穩(wěn)定最優(yōu)觀測(cè)構(gòu)型所需時(shí)間越短，反之亦然.

5 結(jié)論

主要針對(duì)僅有角度測(cè)量的UAV隨機(jī)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)協(xié)同standoff跟蹤問(wèn)題進(jìn)行研究.結(jié)論如下:

1)UAV僅有角度測(cè)量時(shí)，最大化目標(biāo)位置估計(jì)精度對(duì)應(yīng)的UAV最優(yōu)觀測(cè)空間構(gòu)型為:保持設(shè)定的standoff距離同時(shí)保持90°的觀測(cè)視線角間距.

2)分布式非線性模型預(yù)測(cè)控制算法能夠?qū)崿F(xiàn)UAV之間的綜合最優(yōu)控制，在滿足各種約束和控制性能的前提下有效提高對(duì)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的協(xié)同standoff跟蹤性能.

多機(jī)協(xié)同目標(biāo)跟蹤的最優(yōu)空間構(gòu)型分析以及無(wú)人機(jī)的協(xié)同最優(yōu)控制問(wèn)題是今后需要研究的問(wèn)題.

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