關于正則條件概率的幾點注記

王志明，魏文晶

(武漢科技大學理學院，湖北 武漢，430065)

關于正則條件概率的幾點注記

王志明，魏文晶

(武漢科技大學理學院，湖北 武漢，430065)

本文證明了關于正則條件概率與正則條件期望的幾個恒等式，并將所得結果應用到未必起始于固定點的Brown運動上，同時證明：一個Brown運動如果不起始于固定點而是起始于一個隨機變量，則在關于初值的正則條件概率下，對于幾乎所有的初值，該運動仍是Brown運動。

正則條件；正則條件概率；條件概率；條件期望；條件分布；Brown運動

條件概率和條件期望屬于概率論中最基本的概念，是概率論區別于測度論的標志。雖然在初等概率論中關于條件概率與條件期望有明確的計算公式，但在一般測度論基礎上，條件概率和條件期望是通過Radon-Nikodyn導數定義的，因此其非常抽象，難以進行具體計算，而這常常會帶來許多理論及應用上的困難。但是在另一方面，條件概率和條件期望與無條件概率和期望又有著許多內在的聯系，而這些聯系可以提供很多有用的性質，為相關推理和計算帶來方便。本文的研究目的就是探討條件概率與條件期望的幾點性質，并說明其應用。

1 相關概念

一般情況下，條件概率并不是真正意義上的概率，因為它一般不滿足可列可加性，而條件期望也不能表示為條件概率的積分。為克服這一技術性困難，人們往往需要從條件概率中選擇一個“好版本”，使其成為真正的概率——這就是正則條件概率。因此本文先引入相關概念。

給定x∈X，設ξ為非負隨機變量，有

E[ξ|η]=f(η)

故本文定義

E[ξ|η=x]=f(x)

2 主要結果

P(x,dω)=P(dω|X=x)=Px(dω)

表示正則條件概率。再設

記

ν(dx)=P(X∈dx)

則對ν-a.e.x，有

證明：因為

但

于是

由于g是任意的，故

Ex[Y(ω)f(ω)]=Ex[Z(ω)f(ω)],ν-a.e.

(1)

對每一個n，由式(1)，可選An，使得ν(An)=0，且對任意x?A有

Ex[Z(ω)fn(ω)]=Ex[Y(ω)fn(ω)]

Ex[Z(ω)fn(ω)]=

Ex[Y(ω)fn(ω)]，?x?A，?n≥1

于是，對任意有界可測函數f，取{nk}使得

則由有界收斂定理，對x?A，有

=Ex[Y(ω)f(ω)]

因此對任意x?A，有

證畢。

對于給定σ-代數時的正則條件概率，本文得出以下結論。

但

由此得到所證結論。證畢。

3 推論及其應用

證明：本文只證明推論1中的結論(i)，結論 (ii)的證明類似。由Brown運動的Lévy定理[1-2]，對于s

再用一次Lévy定理即得到結論(i)。證畢。

在實際應用中，常常會遇到初值為隨機變量的Brown運動與隨機微分方程，這會給相關推理帶來麻煩。但應用上述定理，則可以先固定變量初值，再根據推論1可知，在初值固定時的條件概率下，原先的Brown運動就變成了固定初值的Brown運動，而這會極大地簡化計算和證明。例如，對于文獻[3]中證明的固定初值時多值隨機微分方程的大偏差原理，應用本文的結果就可以很方便地證明隨機初值時類似的大偏差原理。同樣，文獻[4]中所證明的多值隨機微分方程的存在唯一性也可推廣到隨機初值的情形。

下面進一步說明，在獨立的條件下，正則條件概率下的分布與無條件概率下的分布相等。

證明:設F的特征函數為f，即對任意t∈R，有

由于ξ與η獨立，故

E[eitξ|η]=E[eitξ]=f(t)

因此，由定理1，對ν-a.e.s，有

Es[eitξ]=f(t)

因此由特征函數的逆轉公式知：ξ在Ps下的分布函數為F。證畢。

也可以從直觀上來理解這個推論。假設一個人拋擲一枚硬幣多次，每次之間是獨立的。以η記得到第100次正面時拋擲的總次數，ξ記此后開始得到第200次正面時所需拋擲次數，則η和ξ是獨立的。那么上述推論說明：無論假定η是多少，在給定η的條件下ξ的分布都是相同的。很顯然，這樣一個結論可應用到所有具有某種獨立性的賭博游戲中。

[2] 黃志遠.隨機分析學基礎[M].北京：科學出版社，2001: 117-118.

[3] Ren Jiagang, Wu Jing, Zhang Hua. General large deviations and functional iterated logarithm law for multivalued stochastic differential equations[J].Journal of Theoretical Probability，2015,28(2):550-586.

[4] Ren Jiagang, Wu Jing, Zhang Hua. On existence, uniqueness and convergence of multi-valued stochastic differential equations driven by continuous semimartingales[J]. Science China: Mathematics, 2014,57(3):589-607.

[責任編輯 尚 晶]

《武漢科技大學學報》2015年總目次

第38卷第1期

高磷赤鐵礦采用CaCl2氣化脫磷的試驗研究

王 輝，邢宏偉，田鐵磊，劉 帆(1)

高爐鑄鐵冷卻壁結構優化

洪 軍，左海濱，張建良，徐潤生，沈 猛，鐵金艷(5)

鈦鐵合金所含雜質對Ti-IF鋼潔凈度的影響

閆小柏， 包燕平，王 敏,林 路，李 翔(8)

旋轉磁場對Zn-7Cu-0.25Mn合金水平連鑄坯組織性能的影響

陳 飛，曹志強，曹安琪，李振宇，胡長青，李廷舉(12)

熱軋軋制計劃的多目標優化模型及算法

賈樹晉，李維剛，杜 斌(16)

用后鎂碳磚基轉爐終渣改質劑的配料優化

鄭 萬，任金琴，溫正勇，許威威，馮學龍，鄭永飛，劉 磊(23)

無煙煤配煤對焦炭質量的影響

周盡暉，丁 玲，王世杰，王海蓉(27)

基于有限元法的某型大學生方程式賽車車架優化設計

胡 溧，施耀貴，楊啟梁(31)

發動機激勵下客車車身怠速振動仿真研究

袁 爽，楊啟梁，胡 溧，龔海清(35)

貨車車輪與重載道岔曲尖軌的接觸分析

江荷燕，張 軍，張 鐵(41)

機械手夾持機構運動與控制的聯合仿真

李海斌，陳奎生，羅 潔(46)

不同彈體對高壓氣瓶的撞擊性能分析

岳應娟，劉 備，秦忠寶，陳 飛(50)

面向返工量變化的產品設計過程分析與優化

容芷君，榮文謙，但斌斌，陳奎生(54)

低壓配電網三相負荷不平衡優化模型的研究

張 明，謝珊珊，羅云峰(59)

基于ZigBee和GPRS的大氣污染監測系統設計

梅志堅，馬婭婕,肖凡男(63)

一種三階曲率補償帶隙基準電壓源的設計

張獻中，張 濤(67)

一種運用隨機算法改進的圖像檢索方法

盧艷君，徐望明(72)

賦權合作博弈中的可行聯盟結構與收益分配

陳少白，張 嫚，胡朝娣(77)

第38卷第2期

添加合金元素對耐熱鑄鐵顯微組織和抗拉強度的影響

朱婷婷，劉 可，薛正良，鄒 峰，熊 銳(81)

熔渣中鐵離子的循環伏安分析

潘 元，高運明，楊創煌，姜亞龍，陳 則(85)

萊鋼高爐合理渣系的研究

羅霞光，王習東(90)

一種新的鋁電解質初晶溫度實時測量方法

史 冬，高炳亮，王兆文(93)

隨機分布納米顆粒增強陶瓷基復合材料性能數值模擬分析

浦毅杰，羅冬梅，蔡 健(96)

水熱合成單分散碳球的制備與表征

江學良，余 露，張 姣，孫 剛(101)

支持張量機在柴油機故障預測中的應用研究

許小偉，嚴運兵，王小輝(106)

柔性作業車間調度優化的改進模擬退火算法

李 俊,劉志雄,張 煜,賀晶晶(111)

水介質爆炸容器動力響應的數值模擬

鐘冬望，黃小武，殷秀紅，李琳娜，司劍峰(117)

露天礦微差爆破振動對多層建筑的影響

操 鵬，鐘冬望，何 理，司劍峰，黃小武(122)

埋藏裂紋應力強度因子的有限元分析

岳應娟，李 寧，陳 飛，孫 鋼(125)

基于大渦模擬的通海閥噪聲分析

桂瞬豐，幸福堂，李群燕(129)

基于改進分水嶺算法的球團礦圖像分割

秦長澤，劉 瓊(134)

基于無線傳感網的圖像監測系統的設計與實現

鄧伯韜，孫 濤(138)

基于無標度網絡的LDPC碼的構造

李 謙，陳和平(143)

雙色激光激勵對空氣中太赫茲輻射增強的研究

戴厚梅，孫 偉，汪東亮(148)

排污權交易的網上雙邊拍賣機制設計

王雅娟，殷志平(152)

基于PATTERN的土地整理潛力評價

唐榮彬，陳 勇，邵建平，岳 哲，張小倩，邵艷順(157)

第38卷第3期

湍流抑制器對中間包鋼液流動的影響

阮文康,包燕平,李怡宏,王 敏,田永華(161)

LF精煉過程中SAE8620鋼所含MgO復合夾雜物分析

李文博，包燕平，王 敏(165)

熱軋不銹鋼復合板沖擊性能研究

張心金,郭秀斌，孟慶領，何 毅,李萌蘗(169)

熱處理條件對VO2粉體晶體結構和相變性能的影響

畢愛紅，董奎義，朱金華(174)

伺服閥滑閥閥口系數影響因素分析

金曉宏，艾亞輝，黃 浩，楊 科(179)

偏心轉角對飛剪剪刃位移差的影響分析

嚴國平(183)

基于Workbench的除塵管道流固耦合數值分析

黃 浩，李立民(186)

面向產品設計結構的聚類分層分析

容芷君，李 名，但斌斌，陳奎生(190)

干熄焦工藝對6 m焦爐焦炭質量的影響

周盡暉，丁 玲，韓 軍，王世杰，王光輝(197)

小龍潭褐煤稠環芳烴的溶出與分析

閆 潔，肖 劍，丁 曼，竇有權，趙云鵬(200)

油頁巖二硫化碳-丙酮混合溶劑萃取物的組成與結構分析

楊會朵，田由甲，趙云鵬，丁 曼，楊長娟(204)

巖體爆破損傷計算公式的改進

鐘冬望，何 理，殷秀紅(211)

爆破振動高程放大效應的試驗研究

白 楊，段衛東，徐園園，蔣 培(216)

合閘策略對變壓器勵磁涌流零序分量的影響

王 琦(220)

基于高斯混合模型和卡爾曼濾波的車輛檢測與跟蹤方法

林立原，陳 林(226)

基于VP Studio和CASS的柵格地形圖矢量化方法

王慶國，楊 建，李 陽，王沙沙(231)

具有交易成本的均值-絕對偏差模糊投資組合優化

張 鵬，舒燕菲(235)

第38卷第4期

不同強度級別簾線鋼中Ti(CxN1-x)夾雜分析

余晨帆,薛正良(241)

利用電化學方法測定熔渣中Ni2+擴散系數

洪 川，高運明，楊創煌，張燦磊(245)

表調工藝參數對電鍍鋅板磷化膜微觀形貌的影響

顏家保，楊 洋，俞丹青，范麗霞，楊成志，董 蓓(250)

熱輸入對Q420FRE鋼焊接熱影響區組織和力學性能的影響

許 可，吳開明，王紅鴻，李 麗，覃展鵬，吳年春(254)

球磨時間對Mo2FeB2基金屬陶瓷組織和力學性能的影響

陸旭鋒，潘應君，張 恒，洪 波(259)

基于EMD和多重分形譜參數的耐火材料損傷模式識別

蘇 濤，王志剛，劉昌明，徐增丙，但斌斌(263)

熱解溫度對東勝褐煤等溫熱解的影響

朱亦男，王光華，李文兵，王晴東，陳 彪(268)

連續旋轉液壓伺服關節性能分析

金曉宏，鄭開柳，蔣 林(272)

基于Fluent的鉆井糾斜液壓系統導向套葉片形狀優化選擇

陳 卓，曾良才，湛從昌，鄭飛龍，趙 康(279)

基于力流分析的產品再設計方法研究

容芷君，林澤軍，莫壽康，陳奎生(282)

基于ADAMS的連鑄板坯擺式飛剪剛柔耦合仿真分析

張文強，羅會信，黨 章，肖 騰，肖述池(286)

基于有限元的轉爐煤氣風機葉輪靜動態特性分析

楊金堂，曾 璐，肖 瀟，全芳成(290)

基于離散Beam梁法的變截面鋼板彈簧建模及仿真

龔海清，楊啟梁，陳彥龍，袁 爽,羅仁宏(294)

基于顯微視覺的瀝青路面微觀紋理三維重構

鄒麗瓊，周興林，胡怡瑋(297)

電壓型變頻調速系統濾波電容介質損耗因數的監測

馮 凱,劉振興,李 翠,龔 誠,張世弘(302)

一種基于有序雙端鏈表的高效排序算法

譚 林，廖光忠(307)

隨機荷載作用下巖石節理剪切強度特性研究

嚴 園，鄒蘭林，周興林，謝旭飛(312)

不允許賣空情況下多階段均值-方差投資組合優化

張 鵬，曾永泉(316)

第38卷第5期

熱軋帶鋼超快速冷卻過程的溫度控制策略

彭 文，馬更生，張殿華(321)

加載頻率對高牌號無取向電工鋼疲勞性能的影響

杜麗影，周桂峰，劉 靜，薛 歡,程朝陽(325)

KR法鐵水脫硫的流動數值模擬分析

程新德，孫江龍，周家健，解 德(330)

不銹鋼食具材料中重金屬元素的遷移行為

匡步肖，馬國軍，毛振威，程普紅，張 翔(336)

硅溶膠/二氧化鈦包覆中空玻璃微珠的研究

劉立立，段 輝，顧華志，從善海，王維君，陶華斌(341)

硅錳渣基CaO-MgO-Al2O3-SiO2系礦渣微晶玻璃晶化性能研究

陳 坤，柯昌明，張錦化(346)

負偏壓對六方氮化硼薄膜沉積特性的影響

龔 甜，吳 雋，李濤濤，龍曉陽，祝柏林，祁 婷(351)

沸騰爐摻燒半干法燒結煙氣脫硫灰的SO2逸出特性

唐 超，周建安，魏 康，鄧冬一，韓 軍，何 祥(357)

復合絮凝劑(PAC+PAM+磁粉)處理熱軋廢水的試驗研究

劉 紅，查方來(361)

連續旋轉液壓伺服關節整體模態分析及關鍵部件靜力學分析

金曉宏，楊瑩瑩，鄭開柳，蔣 林(365)

YKR型振動篩篩體運動及物料透篩概率分析

楊淑琳，趙三星(368)

復雜條件下多智能體系統編隊一致性控制

徐敏敏，金曉宏，雷 斌，陳 浩(373)

大學生方程式賽車空氣動力學套件設計

胡 溧，羅世敏，楊啟梁，楊 勝(377)

基于平穩脊波變換的圖像降噪

徐 巍,孔建益,陳東方(381)

基于“超”實體構件的信息組織與呈現

張瑞軍，黎雯霞，張志清，張 凌，張 鵬(385)

考慮滲流-應力耦合作用的基坑邊坡穩定性分析

盛建龍，葉 劍(391)

花石溝炭質片巖隧道弱爆破與機械聯合開挖法

姜 貴，馬建軍，蔡路軍(396)

第38卷第6期

新型鋼包的溫度場及其影響因素模擬分析

李公法，劉 澤，孔建益，蔣國璋，常文俊，李 貝，李 輝(401)

不同電解方法萃取SPHC鋼中非金屬夾雜物的研究

李 陽，孫海波，蘭 鵬，潘 峰，張家泉(408)

復合添加炭黑對低碳鋁碳材料顯微結構與性能的影響

劉 俊，李云霞，林正杰，黃 帆，廖 寧，李亞偉(413)

石灰石閃速加熱高溫煅燒過程中的CO2逸出行為

陳凱鋒，李建立，薛正良(419)

基于投入產出模型的武鋼煉鐵系統能耗與節能潛力分析

田玉前，戴方欽，周章華，許學成(424)

基于進化樹的產品模塊化粒度分析

容芷君，曹云飛，鐘鵬飛,陳奎生(431)

液壓缸活塞表面微條紋織構摩擦性能數值分析

余 廣,曾良才,毛 陽,盧 艷(436)

基于混沌粒子群算法的伺服閥動態參數尋優

黃 浩，陳良華(440)

麻花鉆錐形鉆尖刃磨參數的優化

邵 芳，王春江(443)

基于執行器能量消耗的并聯機器人優化

陳 珂，柯文德，劉 美，張良均(449)

履帶拖拉機三點懸掛機構多目標優化設計

黃琪偉，應保勝(455)

基于改進直接灰色模型的泵車擺缸泄漏預測

徐增丙，李友榮，王志剛，劉昌明,周承凱(459)

二甲醚復合燃燒發動機進氣過程的數值模擬

王維強，高 欣，丁 攀，周吉偉，張光德(463)

多智能體一致性的隨機鎮定研究

羅 琦，施力力，李鎮東(469)

關于正則條件概率的幾點注記

王志明，魏文晶(475)

《武漢科技大學學報》2015年總目次

(478)

第38卷卷終

Some notes on regular conditional probability

WangZhiming,WeiWenjing

(College of Science, Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430065, China)

This paper proves some identical equations concerning regular conditional probability and regular conditional expectation. The results are applied to Brownian motion not necessarily starting at a fixed point. It is demonstrated that, under the regular conditional probability about initial value, a Brownian motion with a random initial value instead of a fixed one is still a Brownian motion for almost all of the initial values.

regularity condition; regularity conditional probability; conditional probability; conditional expectation; conditional distribution; Brownian motion

2015-09-13

國家自然科學基金資助項目(61473213).

王志明(1962-)，男，武漢科技大學教授.E-mail:mingwz@126.com

O211.6

A

1674-3644(2015)06-0475-03