Sobolev方程的半有限元方法

辜繼明, 俞 輝*, 瞿少成

(1.三峽大學 理學院, 湖北 宜昌 443000; 2.華中師范大學 信息技術系, 武漢 430079)

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辜繼明1, 俞 輝1*, 瞿少成2

(1.三峽大學 理學院, 湖北 宜昌 443000; 2.華中師范大學 信息技術系, 武漢 430079)

對Sobolev方程采用半有限元法進行數值模擬.通過將空間變量和時間變量分離,得到Sobolev方程的離散格式.首先對空間變量應用有限元方法進行離散化,得到常微分方程組的初值問題;再對時間變量應用有限差分法進行離散化,得到一系列線性方程組,求解可得到Sobolev方程的數值解.本文從理論上推導出了本文所討論的Sobolev方程半有限元算法的矩陣算法格式,分析了其可行性.在最后給出了數值例子,從數值例子中進一步驗證了半有限元方法的可行性.

半有限元法; Sobolev; 方程有限元法; 有限差分法

討論以下Sobolev方程

其中,Ω?Rd(d=1,2,3)為方程的有界區域,?Ω是方程的邊界,u0(x),f(x,t)是已知函數,a是關于x,t的函數a(x,t)的連續函數,且a(x,t)>0,b(x,t)≥0.

Sobolev方程是偏微分方程,主要是研究不定常微分方程.對Sobolev方程的研究具有重大的物理工程意義.通過對Sobolev方程的研究,可以分析流體穿過裂縫巖石的理論,可得出土壤濕氣遷移的過程,同樣也可解決不同介質的熱傳導問題.人們對Sobolev方程很早就開始研究了,如標準混合有限元法應用于Sobolev方程[1],Galerkin-有限元逼近法[2-3],Sobolev方程的H1-Galerkin混合有限元方法[4-5].

本文從解拋物型方程的角度,提出半有限元的一種算法.由于Sobolev方程牽涉到時間和空間變量,是一個不定常的偏微分方程.半有限元方法的基本思想是將時間和空間變量進行分開處理.第1步、對空間變量應用有限元方法進行離散化,可以得到一個常微分方程組的初值問題,這一個過程稱為半離散化過程;第2步、對第1步得到的初值問題中的時間變量應用有限差分法再進行離散化,得到一系列線性代數方程組,這一過程稱為全離散化過程.

很多的物理或工程問題,都可以用微分方程來表示,求解微分方程的數值解最早是用有限差分法,有限差分法在求解微分方程時效率很高,尤其是在求解一、二維問題時,但是在高維復雜的問題時,因為跳躍誤差存在,導致迭代出現誤差累積,從而會有不收斂現象.有限元法是求解微分方程數值解最重要的方法之一,在高維復雜的問題求解時,可以得到較高的精度,但是所需計算的時間往往較大.

本文結合有限差分法和有限元法,發揮各自的優勢,在空間變量上,應用有限元求解,得到精度較高的關于時間的微分方程,再用有限差分法,可以高效的求解動態的偏微分方程.這種半有限元法比單純使用有限元方法求解時效率更高,比單純使用有限差分法精度更高,具有深遠的研究意義,尤其是推廣到多維動態微分方程問題時.

本文的主要內容:在第1部分主要推導出了半有限元方法的空間變量離散格式,得到關于時間變量的一個微分方程組的初值問題,最后以矩陣的形式表達出來;第2部分主要對微分方程進行時間離散化,得到全離散格式,最后以矩陣的形式表達出來;第3部分通過數值例子說明方法的有效性.

1 半有限元法的半離散格式

考慮如下經典的一維Sobolev方程初邊值問題:

引理1[6]設F是一個微分算子,則

Fu=0?v.

從引理1出發,可以把微分方程轉化為積分方程,具體做法是,將該微分方程兩邊乘以v并積分,得

(1)

對式(1)左端第2項應用分部積分法得

其中,

Bx(1,0,t)=a(1,t)ux′(1,t)v(1)-a(0,t)ux′(0,t)v(0),

Bt(1,0,t)=b(1,t)ut′(1,t)v(1)-b(0,t)ut′(0,t)v(0),

于是

(2)

比較式(1)和式(2)可得,原問題中要求u二階導數存在,而在積分形式中,由于積分和分部積分技巧的運用,使得對解光滑性的要求降低,只要u以及其的一階導數u′可積即可.

記

則式(2)可寫成

考慮到原問題中的邊界條件,即u,v應滿足

u(0,t)=u(1,t)=v(0)=v(1)=0,

因此Bx(1,0,t)=0,Bt(1,0,t)=0,并且,由初始條件u(x,0)=u0(x)可得

(u(x,0),v)=(u0(x),v),

于是原問題轉化為:

(3)

式(3)就是Sobolev方程初邊值的積分形式.

引進Sobolev函數空間

半離散過程是對空間變量應用有限元方法進行處理.具體的做法如下:

對[0,1]進行任意劃分:

0=x0

取多項式樣條函數空間

n;uh(0)=uh(1)=0},

則有

(4)

將式(4)寫成矩陣形式得

(設為Aξ(t))

(設為b)

即

(5)

考慮邊界條件,由(uh(x,0),vh)=(u0(x),vh)可得

(6)

將式(6)成矩陣形式,得

(設為D1ξ(0))

(設為g)

即

D1ξ(0)=g.

(7)

由式(5)和式(7)可得如下式子

(8)

則式(8)即是將空間變量進行有限元離散化,得到的一常微分方程組的初值問題.可以得出D1,D2,A具有對稱性和正定性,則式(8)具有唯一解,表示有限元的半離散化是可行的.

2 半有限元法的全離散格式

考慮一維經典初值問題:

差分法的基本思想是:以差商代替微商,最簡單最經典是Euler法[7],本文構造的差分法是在Euler法的基礎上,基于線性組合思想的線性多步法(LMS法).

Euler算法思想如下:

對時間變量t等距剖分:0=t0

在[tm,tm+1]上,作

其中,u(tm)是微分方程在tm處的精確解;um是差分方程在tm的精確解.

在Euler法基礎上,利用線性組合思想推廣如下:

本文采用的LMS法是Adams二步外插法,此差分法是一種穩定的,并且二階收斂的方法,具體參考文獻[9].Adams二步外插法具體算法格式如下:

(9)

將Adams二步外插法運用到有限元半離散形式上,得

或寫成矩陣格式

即

通過差分法對時間變量進行離散化,得到Sobolev方程全離散格式如下:

3 數值例子

容易驗證此時方程的真解為

本文有限元用的是Lagrange二次插值,在計算數值積分時用到了局部高斯積分技術[8-10],有限差分法用的是Adams二步外插法,所有的程序是在Matlab2012編程實現的.本文空間步長取的是0.1,時間步長取的是0.25.

通過Matlab程序運行,得到真實值和半有限元法解,如圖1所示.

圖1 半有限元數值解和真實解的比較Fig.1 Solution compared with the real numerical solutions of half finite element method

圖1中,橫坐標是x,縱坐標是u.左上角的圖表示在t=1時,通過半有限元得到的x,u的關系;右上角的圖表示在t=1時,真實函數x,u的關系.左下角的圖表示在t=0.75時,通過半有限元得到的x,u的關系;右下角的圖表示在t=0.75時,真實函數x,u的關系.通過程序得出誤差:

通過圖1和誤差可以得出半有限元方法在解決一維Sobolev方程是可行的,故推廣到二維和三維中是非常有意義的.圖2具體給出了t=0.00,0.25,0.50,0.75,1.00半有限元解和真實解的關系.

圖2 半有限元解逼近真實解Fig.2 Half finite element solution to approximate the real solution

4 結論

Sobolev方程的研究具有重大的工程意義,本文用半有限元方法對Sobolev微分方程進行了數值解的研究.半有限元方法通過對空間變量進行離散化,得到了一組常微分方程;再對時間變量進行離散化,得到了矩陣差分格式,從而求解得到Sobolev方程的數據解.從數值結果可以得出半有限元方法的可行性,并且在一維計算的精度非常高,故將該方法推廣到二維、三維甚至多維上具有重大意義.

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The half finite element method for Sobolev equation

GU Jiming1, YU Hui1, QU Shaocheng2

(1.College of Science, China Three Gorges University, Yichang, Hubei 443000;2.Department of Information Technology, Central China Normal University, Wuhan 430079)

In this paper， a half finite element method was proposed to solve the Sobolev equation. Discretization of Sobolev equation was presented by separating space and time variables. Firstly， applying finite element method to get discretization of the spatial variables， the problem was transformed into the initial value problems of ordinary differential equations. Secondly， applying finite-difference method to get discretization of the time variables， the problem was transformed into a series of linear equations. Thirdly， Numerical solution of the Sobolev equation was acquired by solving the series of linear equations. The method was proved to be feasible by theoretical analysis the Matrix algorithm format of the Sobolev equation was presented. Finally， numerical results were provided to illustrate the efficiency of our method．

half finite element method; Sobolev equation; finite element method; finite-difference method

2014-10-18.

國家自然科學基金項目(61273183,61174216,61374028,61304162);湖北省自然科學基金項目(2011CDB187);湖北省高等學校優秀中青年科技創新團隊項目(T201103).

1000-1190(2015)03-0334-05

O175

A

*通訊聯系人. E-mail: yuhui@ctgu.edu.cn.