預應力混凝土受彎開裂截面應力計算方法對比

鄭毅敏 王懷清 趙 勇，*

(1．同濟大學建筑工程系，上海200092;2．同濟大學建筑設計研究院(集團)有限公司，上海200092)

1 引言

非預應力筋應力是混凝土受彎構件正截面裂縫寬度驗算以及疲勞驗算中一項重要計算內容。《混凝土結構設計規范》(GB 50010—2010)［1］(以下簡稱《規范》)第7．1．3條給出了預應力混凝土構件開裂截面應力分析的基本假定，同時第7．1．4條給出了受拉區縱向鋼筋等效應力的簡化計算公式。但對于受壓區混凝土法向應力圖，二者取法不同，其中第7．1．3 條取為三角形，而第7．1．4 條則取為拋物線形。采用不同受壓區混凝土法向應力圖對計算結果的影響值得研究，特別是當混凝土強度較低或預應力度較大時，預應力混凝土構件在正常使用極限狀態下受壓區混凝土進入塑性的程度將較大。本文在平截面假定的基礎上，推導了混凝土本構模型取為三角形和拋物線形時非預應力筋應力計算公式，通過算例對不同算法的結果進行了對比與分析，并討論了折減彈性模量的取值。

2 計算方法的建立

2．1 基本假定

《規范》第7．1．3條對開裂截面應力計算的基本假定為:① 截面應變保持平面;②受壓區混凝土的法向應力圖取為三角形;③不考慮受拉區混凝土的抗拉強度;④采用換算截面。其中對第③條、④條假定已為業界普遍認可，但對第①條、②條仍然存在爭議。

在平均應變層面以及受彎承載能力極限狀態下，正截面符合平截面假定已成共識，但對于正常使用極限狀態下，國內外關于平截面假定仍存有不同看法。開裂截面的平截面假定是最新一版《規范》新增的內容，《規范》過往版本并未明確該假定。蘇聯在20世紀五六十年代的研究認為，開裂截面應變不符合平截面假定［2］。而太原理工大學［3］和中國建筑科學研究院［4］通過對鋼筋混凝土梁和部分預應力梁的疲勞性能試驗，得出了可以采用平截面假定計算受彎構件正截面應力的結論。文獻［2］指出:采用平截面假定的計算結果與試驗結果符合較好，間接論證了平截面假定的成立。美國規范 ACI 318［5］、歐洲規范 EN1992 －1 －1［6］以及模式規范 MC2010［7］均采納了平截面假定。文獻［8］也采用了平截面假定，但在文獻［9］中推導相關計算公式時未明確提及是否采用了平截面假定。

對受壓區混凝土法向應力圖的選取主要有兩種模式:

(1)取受壓區法向應力圖為三角形(以下簡稱“三角形模式”)。《規范》第7．1．3條取了三角形模式，但未明確三角形斜率的取值，僅在相應條文說明中指出，“計算換算截面時，必要時可考慮混凝土塑性變形對混凝土彈性模量的影響”。文獻［9］在推導開裂截面應力計算公式時，也取混凝土法向應力圖為三角形，且斜率取為混凝土彈性模量Ec。

(2)考慮混凝土彈塑性的影響取受壓區法向應力圖為拋物線形(以下簡稱“拋物線模式”)。我國《公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規范》(JTG DT62 －2004)［10］和《水工混凝土結構設計規范》(SL 191－2008)［11］采用拋物線模型計算預應力混凝土受彎開裂截面的內力臂。文獻［10］在建立開裂截面受拉鋼筋應力的近似計算公式時，也取拋物線形法向應力圖，并通過擬合分析來近似確定內力臂，該思路已為《規范》第7．1．4條所采納。美國規范ACI 318［6］對兩種模式均有提及，但未明確采用何種模式。

2．2 開裂截面應力計算簡圖

計算預應力混凝土受彎開裂截面的鋼筋應力時，可將截面視為偏心受壓的鋼筋混凝土截面［9］。此時，作用于截面的等效壓力 Np0及該力距預應力筋合力點的距離為e—，可按下式計算:

式中，σpe為預應力筋有效應力，np為預應力筋彈性模量Ep與混凝土彈性模量Ec之比，np=Ep/Ec，σpc為由預加力產生的混凝土法向應力，Ac、Ic分別為混凝土換算截面面積和慣性矩，Mk為外彎矩。

根據平截面假定，可得圖1所示的預應力混凝土受彎開裂矩形截面應力計算簡圖。圖中，b，h，x，φ分別為截面寬度、高度、受壓區高度和曲率;x1，x2軸分別為截面形心軸和開裂截面中性軸;Ap，hp，ep，εp，Δσp分別為預應力筋的面積、幾何中心到截面頂部的距離、偏心距、應變和應力增量;As，hs，εs，σs分別為非預應力筋的面積、幾何中心到截面頂部的距離、應變和應力;εc，σc分別為頂面混凝土的壓應變和壓應力;d，z分別為頂面、受拉區縱筋合力點至混凝土壓應力合力作用點的距離。

圖1 開裂截面應力計算簡圖Fig．1 Calculation diagram of cracked section

2．3 三角形模式下的計算公式

由圖1(c)，可建立力和力矩平衡方程，經整理可得受壓區高度x的方程［9］:

其中，ns=Es/Ec，Es為非預應力筋的彈性模量。

同時，可得到εc的計算公式:

進而由圖1(b)，可以建立出 σs、Δσp與 εc的關系，即:

2．4 拋物線模式下的計算公式推導

參考《規范》第6．2．1條關于正截面極限承載能力計算假定中受壓區混凝土法向應力模型，對強度等級不超過C50的混凝土，其單軸受壓本構模型取為二次拋物線，即:

式中，σcc為混凝土壓應力;εcc、fck、ε0分別為混凝土軸心抗壓強度標準值、壓應變、受壓彈性極限應變，取 ε0=0．002。

由圖1(d)，可建立力和力矩平衡方程，經整理可得關于x和εc方程組:采用數值分析方法求解上述方程組，并將x和計算結果代入式(6)即可求得σs。

2．5 《規范》簡化公式

《規范》第7．1．4條給出預應力混凝土受彎構件開裂正截面的受拉縱筋合力點處的等效應力σs0計算的簡化公式。為便于比較，需將σs0轉化成σs和 Δσp，并取受力縱筋合力點有效高度為由圖1(d)可知:

將式(11)、式(12)與式(6)、式(7)聯立方程組，可以求解出σs和Δσp。

3 算例分析

3．1 算例概況

從10個預應力工程中選取了20個框架梁截面，其中非預應力筋均為HRB400級鋼筋，預應力筋均采用φs15．2鋼絞線，其抗拉強度標準值fpt，k=1 860 MPa，其他主要截面參數見表1。利用20個截面參數，通過3個算例對比不同計算模式的鋼筋應力差異及分析主要的影響參數。算例1－3中拋物線模式、三角形模式和《規范》［1］簡化公式算得的鋼筋應力分別記為 σspi，σssi和 σsgi(i=1，2，3)，相對偏差記為:

表1 算例主要截面參數Table 1 Main sectional parameters

計算鋼筋應力時，分別取了 Mk=0．55Mu，Mk=0．65Mu和 Mk=0．75Mu三個工況，其中，Mu為按照《規范》［1］第6．2．10 條計算的受彎承載力。

3．2 算例分析

【算例1】令混凝土強度等級為 C40，σpe=1 100 MPa。

算例1的計算結果如圖2所示，可見:

(1)與 σsp1相比，σss1偏小，δs1在 －14．5% ～－4．1%之間，平均為 －8．5%;

(2)與 σsp1相比，σsg1偏大，δg1在 0 ～42．7%之間，平均為14．7%，且較為離散;

(3)隨著Mk/Mu的增大，δs1沒有明顯變化，δg1有所下降，但離散性仍較高;

(4)δs1和 δg1的差值在 －49．6% ～ －7．6%之間，平均為－22．3%。

因此，根據《規范》第7．1．3 條和7．1．4 條計算的鋼筋應力有較大偏差，可能會影響裂縫寬度或疲勞應力驗算結果，建議《規范》應有必要的說明或修正。

圖2 例1計算結果Fig．2 Calculation results of example 1

【算例2】令混凝土強度等級為 C50，σpe=1 100 MPa，以研究混凝土強度等級對計算結果的影響。

算例2的計算結果如圖3所示，由圖2和圖3可見，在提高混凝土強度后:

(1)與 δs1相比，δs2減小，在 －8．5% ～ －2．3%之間，平均為 －4．5%;

(2)與δg1相比，δg2有所增大，且更為離散，在3．4% ～47．3%之間，平均為18．2%。

因此，當混凝土強度較高時，三角形模式和拋物線模式的計算結果差別不大，但《規范》［1］簡化公式的結果會有較大差別，其適用性值得進一步研究。

圖3 例2計算結果Fig．3 Calculation results of example 2

【算例3】令混凝土強度等級為C40，σpe=750 MPa，以研究預壓力大小對計算結果的影響。

算例3的計算結果如圖4所示，由圖2和圖4可見，隨著預壓力的降低:

(1)相比 δs1，δg3有所減小，在 － 7．5% ～－3．0%之間，平均為 －4．8%;

(2)相比 δg1，δs3有所減小，離散程度下降，在0 ～16．1%之間，平均為5．7%。

因此，對于預壓力較大的情況，采用不同模式的計算結果差別不大，但對于《規范》簡化公式所適用的預壓力范圍值得進一步研究。

圖4 例3計算結果Fig．4 Calculation results of example 3

4 折減彈性模量法

采用拋物線模式時，求解相應方程組較為困難，而采用三角形模式時則可用降階法進行簡化計算［9］。在工程應用中，一般采用折減混凝土彈性模量的方法，以考慮混凝土塑性的影響。文獻［12］建議取折減系數為0．65。

圖5 折減彈性模量法計算結果Fig．5 Calculation results with reduced modulus of elasticity

對于本文的3個算例，當Mk為0．55Mu時，鋼筋應力較小，可以認為混凝土基本處于彈性狀態;在 Mk為0．65Mu和0．75Mu兩種工況下(相應的 σs≥120 MPa)，當取 α =0．65 時，計算結果相對偏差在 －4．8% ～2．0%之間，平均為 －2%。通過進一步計算得知，當取α=0．60時，相對偏差在－3．7% ～2．9%之間，平均接近零，其計算結果如圖5所示。因此，根據本文算例結果，建議取混凝土折減彈性模量為0．6Ec。

5 結論與建議

對正常使用極限狀態下預應力混凝土受彎開裂正截面應力，本文通過算例，對比了按《規范》第7．1．3 條和第 7．1．4 條規定計算的結果，并對比了在平截面假定下，三角形模式和拋物線模式計算結果的差異。根據本文算例結果，得到以下結論與建議:

(1)采用三角形模式，且斜率為Ec時，計算結果相比采用拋物線模式的偏低，且隨著混凝土強度提高，平均相對偏差從－8%減小至－5%，隨著預壓力減小，平均相對偏差從－8%減小至－5%。

(2)采用《規范》第7．1．4條簡化公式，計算結果比拋物線模式的偏大，平均相對偏差為15%，且離散性較大，計算結果的離散性和相對偏差隨著外彎矩的增大而減小，但隨著混凝土強度的提高和有效預應力增大而增大。

(3)對用于預應力混凝土構件裂縫寬度驗算的鋼筋應力，建議采用拋物線模式計算，當采用三角形模式時，建議采用折減彈性模量法，根據本文算例結果，折減系數可取為0．6Ec，且有必要對折減系數做進一步深入研究。

(4)按《規范》第7．1．3 條和7．1．4 條的計算結果可能存在較大差異，建議《規范》作出必要的說明或修正，特別是對混凝土強度較高的情況。

致謝 中國建筑科學研究院白生翔研究員對本文提出了寶貴的意見和建議，特在此表示由衷感謝!

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