廣義和超廣義投影算子的一些新特征

羅高駿, 左可正, 周 良

(湖北師范學院 數學與統計學院, 湖北 黃石 435002)

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廣義和超廣義投影算子的一些新特征

羅高駿, 左可正*, 周 良

(湖北師范學院 數學與統計學院, 湖北 黃石 435002)

利用矩陣的Σ-K-L分解,研究了廣義投影算子(A2=A*)和超廣義投影算子(A2=A+)的性質,得到了一些新的特征,這些結論推廣了Baksalary的有關結果.

廣義逆; 廣義投影算子; 超廣義投影算子

1 引言及預備引理

用Cm,n表示復數域上的所有m×n矩陣組成的集合,用A*,R(A),r(A),In分別表示矩陣A的共軛轉置,值域,秩和n階單位矩陣,用N表示自然數集.當A是n階方陣時,規定A0=In.

在文中將會涉及矩陣的幾種廣義逆(參見文獻[1-2]).用A+∈Cn,m表示矩陣A∈Cm,n的Mooer-Penrose逆,它滿足以下4個等式:

1)AA+A=A, 2)A+AA+=A+, 3)AA+=(AA+)*, 4)A+A=(A+A)*.

對任意矩陣A∈Cm,n,如果存在矩陣A(i,j,…,l)∈Cn,m,且滿足上述等式1),2),3),4)中的任一個或多個等式,用A{i,j,…,l}表示這類矩陣的集合,那么A(i,j,…,l)∈A{i,j,…,l}叫做矩陣A的{i,j,…,l}逆.

用A#∈Cn,n表示矩陣A∈Cn,n的群逆, 它滿足以下3個等式:

AA#A=A,A#AA#=A#,AA#=A#A,

且矩陣A的群逆存在的充要條件是r(A)=r(A2).

{A∈Cm，n:A*=A+}，

(1)

(2)

{A∈Cn，n:A2=A=A+}，

(3)

(4)

(5)

{A∈Cn，n:R(A)=R(A*)}，

(6)

(7)

199 7年, Grob和Trenkler在文獻[3]中提出了廣義投影算子和超廣義投影算子的概念,其定義如下:

定義1設矩陣A∈Cn,n,

1) 當A2=A*時,矩陣A稱作廣義投影算子；

2) 當A2=A+時,矩陣A稱作超廣義投影算子.

200 4年,Baksalary和Liu在文獻[4]中給出了廣義投影算子的3個新刻畫:

同一年，在文獻[5]中Baksalary給出了超廣義投影算子的刻畫:

200 8年， Baksalary在文獻[6]中給出了廣義投影算子的兩個新刻畫:

200 9年, Baksalary在文獻[7]中給出廣義投影算子和超廣義投影算子的幾個等價條件,即下面的引理1,引理2.

引理1[7]設A∈Cn,n,則以下6個條件等價:

引理2[7]設A∈Cn,n,則以下4個條件等價:

本文將Baksalary在文獻[7]中的結果(即引理1和引理2)中的Mooer-Penrose逆推廣到{1,4}逆和{1,3,4}逆,并得到了廣義投影算子和超廣義投影算子的幾個新刻畫.

在文獻[6-7]以及本文中,廣義投影算子和超廣義投影算子的幾個結果都是運用文獻[8]中推論6提出的矩陣的Σ-K-L分解計算出來的,該分解如下:

引理3[8](Σ-K-L分解)設A∈Cn,n,且r(A)=r，則存在酉矩陣U∈Cn,n使得

(8)

其中,Σ=diag(σ1Ir1,…,σtIrt),σ1>σ2>…>σt>0,r1+r2+…+rt=r,K∈Cr,r,L∈Cr,n-r且KK*+LL*=Ir.

由(8)可以計算出,

(9)

如果有條件r(A)=r(A2),那么A#存在且有,

(10)

利用矩陣的Σ-K-L分解,Baksalary在文獻[9]中給出了一些特殊算子的刻畫條件,即下面的引理4.

引理4[9]設A∈Cn,n,且r(A)=r,A有(8)中的分解形式,則

引理5設A∈Cn,n,A有(8)中的分解形式,則

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

2 主要結果及證明

本部分主要是用引理3,引理4和引理5,將Baksalary在文獻[7]中的結果進行了推廣,將引理1和引理2中的Mooer-Penrose逆推廣到{1,4}逆和{1,3,4}逆.

再由引理5的(13)式直接計算可得

所以A=A(1,4)A*.

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適當增加條件后，可以得到下面的定理2．

所以A=A*A(1,3,4).

再由(10)式, 引理5的(13)式直接計算可得

所以A=A(1,4)A#.

適當增加條件后,可以得到下面的定理4.

所以A=A#A(1,3,4).

定理5設A∈Cn,n,則以下3個條件等價:

證明下面只證明(i)?(ii),而(i)?(iii)可以用類似的方法證明.

所以A=A(1,4)(A#)2A.

?由A的Σ-K-L分解及引理3,(10)式, 引理5的(11)式和A=A(1,4)(A#)2A直接計算可得

L*Σ-1K-1Σ-1K-1Σ-1ΣK=0,可得L*=0,即L=0.而KK*+LL*=Ir,故K-1=K*.

定理6設A∈Cn,n,則以下3個條件等價:

證明下面只證明(i)?(ii),而(i)?(iii)可以用類似的方法證明.

所以A=(A*)2A(1)A.

?由A=(A*)2A(1)A,可得R(A)?R((A*)2)?R(A*),而r(A)=r(A*),所以R(A)=R(A*),故矩陣A是EP陣即L=0.

由A=(A*)2A(1)A和A的Σ-K-L分解及引理3,引理5的(14)式,可得

所以A=A*(A(1,4))l(A#)dAl+d-1.

?由A=A*(A(1,4))l(A#)dAl+d-1,可得R(A)?R(A*),而r(A)=r(A*),所以R(A)=R(A*),故矩陣A是EP陣即L=0.

由A=A*(A(1,4))l(A#)dAl+d-1和A的Σ-K-L分解及引理3,(10)式,(13)式可得

其中,X=(ΣK)1-lB3+(ΣK)2-lB3D3+(ΣK)3-lB3D32+…+(ΣK)-1B3D3l-2+B3D3l-1，

2) 將定理7中的A=A*(A(1,4))l(A#)dAl+d-1的等式右邊A*固定在等式右邊的末尾,隨意交換(A(1,4))l,(A#)d,Al+d-1這三項的位置, 定理7仍成立.必要性的證明與定理7類似,而充分性的證明是由A=(A(1,4))l(A#)dAl+d-1A*和A的Σ-K-L分解及引理3,(10)式和引理5的(12)式直接計算可得ΣL=0,其證明方法與定理7充分性的證明類似.

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Some new properties of generalized and hypergeneralized projectors

LUO Gaojun, ZUO Kezheng, ZHOU Liang

(Department of Mathematics， Hubei Normal University， Huangshi， Hubei 435002)

Using the decomposition ofΣ-K-Lofthematrix，weobtainseveralnewpropertiesandcharacteristicsofthegeneralizedprojectors(A2=A*)andthehypergeneralizedprojectors(A2=A+)，whichgeneralizesomerelatedresultsofBaksalary．

generalized inverse; generalized projectors; hypergeneralized projectors

2014-12-16.

國家自然科學基金項目(11271105);湖北省教育廳重點項目(D20122202).

1000-1190(2015)04-0488-04

O151.2< class="emphasis_bold">文獻標識碼： A

A

*通訊聯系人. E-mail: xiangzuo28@163.com.