互補設計在廣義離散偏差下的均勻性

李洪毅, 黎奇升, 歐祖軍*

(1.吉首大學 師范學院, 湖南 吉首 416000; 2.吉首大學 數學與統計學院, 湖南 吉首 416000)

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互補設計在廣義離散偏差下的均勻性

李洪毅1,2, 黎奇升2, 歐祖軍2*

(1.吉首大學 師范學院, 湖南 吉首 416000; 2.吉首大學 數學與統計學院, 湖南 吉首 416000)

互補設計; 廣義離散偏差; 混水平因子設計; 均勻設計

1 基本概念

記d(n;q1s1q2s2)為一具有n次試驗,s1個q1水平因子和s2個q2水平因子的設計, 其中s1+s2=s.d(n;q1s1q2s2)可看成是n×s的矩陣d=(dij), 其中前s1列取{1,2,…,q1}中的元素,余下的s2列取{1,2,…,q2}中的元素,d的每一行對應于一次試驗,每一列對應于一個因子. 若d(n;q1s1q2s2)中的任意1列中的所有水平數出現相同的次數,則稱該設計為U型設計,記為U(n;q1s1q2s2), 所有這樣設計的集合記為U(n;q1s1q2s2).

(1)

對于n次試驗s個因子的設計d, 定義

其中,k1和k2是d的兩次試驗,dH(k1,k2)為k1與k2的Hamming距離, 向量(E0(d),…，ES(d))被稱為設計d的距離分布.

對于一個n次試驗s個q水平因子的部分因子設計d, 定義

(2)

Ma和Fang[4]基于向量(A1(d),…，AS(d))給出了如下的最小廣義低階混雜(MGA)準則.

定義1對兩個設計d1(n;qs)和d2(n;qs), 設r為使得Ar(d1)≠Ar(d2)的最小整數,如果Ar(d1)

現在來簡單的描述最小投影均勻性(MPU)準則. 基于中心化L2偏差, Fang和Qin[5]對于設計d∈U(n;2s)利用Ii(d)來衡量設計d的i維投影均勻性, 其中,

向量(I1(d),…，Is(d))被稱為設計d的均勻性模式[5-6].

引理1設d∈U(n;2s), 對任意的j(1≤j≤s),Aj(d)和Ij(d)有如下的線性關系:

(3)

定義2對兩個設計d1∈U(n;2s)和d2∈U(n;2s), 設r為使得Ir(d1)≠Ir(d2)的最小整數,如果Ir(d1)

關于二水平設計的投影均勻性模式的下界,Zhang和Qin[6]給出了下面的結論:

引理2設d∈U(n;2s),則

(4)

其中,Rn,l為n除以2l的余數,1≤l≤s.

2 主要結論

(i) [DDd((a1,b1),(a2,b2))]2=

(5)

(ii) [DDD(a1,b1)]2=

(6)

其中,

證明只考慮(6)式的證明, 其余等式可類似證明. 據(3)式和(5)式可得

根據Zhang和Qin[6]給出二水平設計的投影均勻性模式的下界, 有下面的定理3.

[DDd((a1,b1),(a2,b2))]2≥

LDDd((a1,b1),(a2,b2)),

(7)

其中,

Rn,l為n除以2l的余數,1≤l≤s1.

證明只考慮(7)式的證明, 其余的可類似的證明.由(4)式和(6)式即可得(7)式.

3 例子

DD22122211121111121122221221222111211121221133212212221111121133331112122122211133331111111121221222122123123321111212212222213233211321112122122232132123332211121221223231321222222111212213133323322312221112122332221331322122211121232312221312

a1a2b1b2[DDd((a1,b1),(a2,b2))]2LDDd((a1,b1),(a2,b2))110.250.30.0833000.0833000.500.40.0831900.0831900.750.50.0813100.0813100.80.250.30.0071600.0071600.500.40.0071200.0071200.750.50.0066500.0066500.70.250.30.0016500.0016500.500.40.0016300.0016300.750.50.0014200.0014200.60.250.30.0003020.0003020.500.40.0002950.0002950.750.50.0002110.000211

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Uniformity in complementary designs in term of generalized discrete discrepancy

LI Hongyi1，2， LI qisheng2， OU Zujun2

(1.Normal College， Jishou University， Jishou， Hunan 416000;2.College of Mathematics and Statistics， Jishou University， Jishou， Hunan 416000)

complementary design; generalized discrete discrepancy; mixed level factorials; uniform design

2014-12-10.

國家自然科學基金項目(11201177);湖南省教育廳優秀青年項目(14B146);湖南省教育廳科研項目(12C0287);吉首大學校級科研項目(13JDY041);吉首大學學成返校博士科研項目(jsdxxcfxbskyxm201113).

1000-1190(2015)04-0492-05

O212.6< class="emphasis_bold">文獻標識碼： A

A

*通訊聯系人. E-mail: ozj9325@mail.ccnu.edu.cn.