一個包含Euler函數方程的正整數解

張四保, 杜先存

(1.喀什大學 數學與統計學院, 新疆 喀什 844006; 2.紅河學院 教師教育學院, 云南 蒙自 661199)

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一個包含Euler函數方程的正整數解

張四保1*, 杜先存2

(1.喀什大學 數學與統計學院, 新疆 喀什 844006; 2.紅河學院 教師教育學院, 云南 蒙自 661199)

主要利用初等方法研究了方程φ(xyz)=3(φ(x)+φ(y)+φ(z))的可解性問題,給出了該方程的所有的正整數解,其中φ(n)為Euler函數.

Euler函數; 不定方程; 整數解

定理1方程

φ(xyz)=3(φ(x)+φ(y)+φ(z))

(1)

有正整數解：

(x,y,z)=(14,2,2),(18,2,2),(5,3,3),(8,3,3),(10,3,3),(3,3,3),(6,3,3),(13,3,4),(13,4,3),(5,3,6),(5,6,3),(3,3,6),(3,6,3),(2,2,14),(2,14,2),(2,2,18),(2,18,2),(3,3,5),(3,3,8),(3,3,10),(3,4,13),(3,6,5),(4,3,13),(6,3,5),(3,5,3),(3,8,3),(3,10,3),(3,13,4),(3,5,6),(4,13,3),(6,5,3).

1 主要引理

引理2[13]設n是整數,且n≥2,則φ(n)

引理3[12]對任意正整數n,p為素數,則

2 定理的證明

由于φ(xyz)=3(φ(x)+φ(y)+φ(z)),則有

φ(x)φ(y)φ(z)≤

3(φ(x)+φ(y)+φ(z)).

從而有φ(x)φ(y)φ(z)≤3(φ(x)+φ(y)+φ(z)),即

φ(x)φ(y)φ(z)-3φ(x)=

(φ(y)φ(z)-3)φ(x)≤3(φ(y)+φ(z)).

(2)

下面將φ(y)φ(z)的值分以下兩種情況分別加以討論.

2.1 φ(y)φ(z)≤3

此時,φ(y)φ(z)≤2,則y,z有如下一些可能取值:

(y,z)=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,6),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(6,1),(6,2).

顯然,當(y,z)=(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)時,方程(1)無正整數解.

當(y,z)=(1,4),(4,1)時,有φ(4x)=3(φ(x)+3)=3φ(x)+9.由于

由此可知,此時方程(1)無正整數解.

當(y,z)=(1,6),(6,1)時,有φ(6x)=3(φ(x)+3)=3φ(x)+9.由于

由此可知,此時方程(1)無正整數解.

當(y,z)=(2,2)時,有φ(4x)=3(φ(x)+2)=3φ(x)+6.由于

此時,當4φ(x)=3φ(x)+6,從而φ(x)=6,則x=14,18. 因而,方程(1)有正整數解(14,2,2,),(18,2,2,).

當(y,z)=(2,3),(3,2)時,有φ(6x)=3(φ(x)+3)=3φ(x)+9.根據以上φ(6x)的討論可知,此時方程(1)無正整數解.

當(y,z)=(2,4),(4,2)時,有φ(8x)=3φ(x)+9.由于

因而,此時方程(1)無正整數解.

當(y,z)=(2,6),(6,2)時,有φ(12x)=3φ(x)+9.由于

因而,此時方程(1)無正整數解.

2.2 φ(y)φ(z)>3

此時,有φ(y)φ(z)≥4.

1)φ(y)φ(z)=4 此時,有

這8種情況.

因而,此時方程(1)無正整數解.

因而,此時方程(1)無正整數解.

因而,此時方程(1)無正整數解.

因而,此時方程(1)無正整數解.

因而,此時方程(1)無正整數解.

因而,此時方程(1)無正整數解.

2)φ(y)φ(z)=6 此時,有

3)φ(y)φ(z)=8 此時,有

4)φ(y)φ(z)=10 此時,有

仿φ(y)φ(z)=4情況的討論可得,此時方程(1)無正整數解.

5)φ(y)φ(z)>10 由于φ(y),φ(z)均為正整數,所以有(φ(y)-1)(φ(z)-1)≥0,即φ(y)φ(z)+1≥φ(y)+φ(z). 由(2)有

所以,φ(x)=1,2,4.

(I)φ(x)=1

此時,有φ(y)φ(z)=φ(x)φ(y)φ(z)≤φ(xyz)=3(1+φ(y)+φ(z)),于是有

(φ(y)-3)(φ(z)-3)≤12.

當(φ(y)-3)(φ(z)-3)≥0時,此時有(φ(y)-3)(φ(z)-3)=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

當(φ(y)-3)(φ(z)-3)=0時,則φ(y),φ(z)至少有一個等于3,此時方程(1)無正整數解.

當(φ(y)-3)(φ(z)-3)=1時,有

此時3(1+φ(y)+φ(z))均為奇數,因而方程(1)無正整數解.

當(φ(y)-3)(φ(z)-3)=2時,有

此時方程(1)無正整數解;

當(φ(y)-3)(φ(z)-3)=3時,有

此時3(1+φ(y)+φ(z))亦均為奇數,因而方程(1)無正整數解;

當(φ(y)-3)(φ(z)-3)=4時,有

當(φ(y)-3)(φ(z)-3)=5時,有

此時3(1+φ(y)+φ(z))亦均為奇數,因而方程(1)無正整數解;

當(φ(y)-3)(φ(z)-3)=6時,有

此時φ(y),φ(z)中有一個不成立,因而方程(1)無正整數解;

當(φ(y)-3)(φ(z)-3)=7時,有

此時3(1+φ(y)+φ(z))為奇數,因而方程(1)無正整數解;

當(φ(y)-3)(φ(z)-3)=8時,有

此時φ(y),φ(z)中至少有一個不成立,因而方程(1)無正整數解;

當(φ(y)-3)(φ(z)-3)=9時,有

此時3(1+φ(y)+φ(z))為奇數,因而方程(1)無正整數解;

當(φ(y)-3)(φ(z)-3)=10時,有

此時φ(y),φ(z)中至少有一個不成立,因而方程(1)無正整數解;

當(φ(y)-3)(φ(z)-3)=11時,有

由于φ(x)=14無解[14],故而此時方程(1)無正整數解;

當(φ(y)-3)(φ(z)-3)=12時,有

此時φ(y),φ(z)中至少有一個不成立,因而方程(1)無正整數解.

(II)φ(x)=2

此時,有

2φ(y)φ(z)=φ(x)φ(y)φ(z)≤

φ(xyz)=3(2+φ(y)+φ(z))<

4(2+φ(y)+φ(z)),

于是有(φ(y)-2)(φ(z)-2)<8.

當(φ(y)-2)(φ(z)-2)=0時,則φ(y),φ(z)中至少有一個等于2.當φ(y)=2時,方程(1)有正整數解(3,3,5),(3,3,8),(3,3,10),(3,3,3),(3,3,6),(3,4,13),(3,6,5),(3,6,3),(4,3,13),(6,3,3),(6,3,5).

從而,此時方程(1)有正整數解(3,3,5),(3,3,8),(3,3,10),(3,3,3),(3,3,6),(3,4,13),(3,6,5),(3,6,3),(4,3,13),(6,3,3),(6,3,5),(3,5,3),(3,8,3),(3,10,3),(3,6,3),(3,13,4),(3,5,6),(4,13,3),(6,5,3).

當(φ(y)-2)(φ(z)-2)=1時,有

此時(1)無正整數解;

當(φ(y)-2)(φ(z)-2)=2,3,5,6,7時,φ(y),φ(z)中至少有一個不成立;

當(φ(y)-2)(φ(z)-2)=4時,有

此時方程(1)無正整數解.

(III)φ(x)=4

此時,方程(1)可化為:

4φ(y)φ(z)=φ(x)φ(y)φ(z)≤

φ(xyz)=4(4+φ(y)+φ(z)),

于是有0≤(φ(y)-1)(φ(z)-1)≤5.

當(φ(y)-1)(φ(z)-1)=0時,有φ(y)=1或φ(z)=1,此時方程(1)無正整數解.

當(φ(y)-1)(φ(z)-1)=1時,有φ(y)=2,φ(z)=2,此時方程(1)有正整數解(5,3,3),(5,3,6),(5,6,3),(8,3,3),(10,3,3).

當(φ(y)-1)(φ(z)-1)=2,4時,φ(y),φ(z)中至少有一個不成立,因而此時方程(1)無正整數解;

當(φ(y)-1)(φ(z)-1)=3時,有

此時方程(1)無正整數解;

當(φ(y)-1)(φ(z)-1)=5時,有

此時方程(1)無正整數解.

對上述正整數解進行歸納可得本文結論.證畢.

[1] 呂志宏. 兩個數論函數及其方程[J]. 純粹數學與應用數學, 2006, 22(3):303-306.

[2]SierpinskiW.Surunproprietedelafunctionφ(n)[J]. Publ Math Debrecen, 1956, 4: 184-185.

[3] Schinzel A. Sur l'equationφ(x+k)=φ(x)[J]. Acta Arith, 1958, 4: 181-184.

[4] Schinzel A, Wakulicz A. Sur l'equationφ(x+k)=φ(x) (II) [J]. Acta Arith, 1959, 5: 425-426.

[5] Ballew R. Table ofφ(x+k)=φ(x) [J]. Math Comput, 1976, 30: 189-190.

[6] Schinzel A. Sur l’equationφ(x)=m[J]. Elem Math, 1956, 11: 75-78.

[7] Kevin Ford. The number of solutions ofφ(x)=m[J]. Annals of Mathematics, 1999, 150: 1-29.

[8] 陳國慧. 一個包含Euler 函數的方程[J]. 純粹數學與應用數學, 2007, 23(4):439-445.

[9] 楊仕椿. 關于Euler 函數的兩個問題[J]. 天津師范大學學報:自然科學版, 2004, 24(2):42-44.

[10] 陳 斌. 一類包含Smarandache函數和Euler函數的方程[J]. 西南大學學報:自然科學版, 2012, 34(2):70-73.

[12] 孫翠芳,程 智. 關于方程φ(xyz)=2(φ(x)+φ(y)+φ(z)) [J]. 數學的實踐與認識, 2012, 42(23):267-271.

[13] Rosen K H. Elementary theory and its applications[M]. Fifth edition. New Jersey: Pearson Educatin Inc Addison Wesley, 2005.

[14] 姜友誼. 關于Euler 函數方程φ(x)=m的解[J]. 重慶工業管理學院學報, 1998, 12(5):91-94.

The positive integer solutions of an equation involving the Euler function

ZHANG Sibao1， DU Xiancun2

(1.School of Mathematics and Statistics， Kashgar University， Kashgar， Xinjiang 844006;2.College of Teacher Education， Honghe University， Mengzi， Yunnan 661199)

The solvability of the equationφ(xyz)=3(φ(x)+φ(y)+φ(z))isstudiedbyelementarymethodsinthispaper，andallpositiveintegersolutionsoftheequationareobtained，whereφ(n)istheEulerfunction．

Euler function; Diophantine equation; integer solutions

2014-12-26.

江蘇省教育科學“十二五”規劃課題項目(D201301083);新疆維吾爾自治區高校科研計劃重點項目(XJEDU2008I31);喀什大學校內課題項目(112390).

1000-1190(2015)04-0497-05

O156< class="emphasis_bold">文獻標識碼： A

A

*E-mail: sibao98@sina.com.