含噪ICA模型的一種時頻算法

郭 敏， 郭 靖

(1.武漢理工大學 網絡信息中心， 武漢 430070； 2.西南大學 電子信息工程學院， 重慶 400715)

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含噪ICA模型的一種時頻算法

郭 敏1， 郭 靖2*

(1.武漢理工大學 網絡信息中心， 武漢 430070； 2.西南大學 電子信息工程學院， 重慶 400715)

實際ICA(Independent Component Analysis)模型中，觀測信號常常被各種噪聲干擾，致使ICA的源估計相當困難.針對信號源噪聲污染情形，分析了ICA模型的估計難點；并假設信號和噪聲的時頻特性不同，以一種高性能的雙線性時頻分布計算混合信號的時頻特性，輔之Hough空間變換思想，將噪聲能量擴展到整個參數空間，只選擇信號能量占主導的自項點進行最小二乘對角化估計源信號，提出了一種時頻抗噪ICA方法；最后，詳細分析了該方法的抗噪性能.該方法擴展了ICA模型的應用限制條件，能有效分離各種非平穩信號.

信號源噪聲； RID分布； Hough變換； ICA； SNR

現實世界中，觀測信號往往被各種噪聲干擾，這些噪聲可能是實際傳感器的物理噪聲，也可能本身作為源信號之一而存在.然而，當噪聲存在時，ICA的源估計相當困難[1-2].針對該問題，研究者提出了常用的解決思路和方法：①稀疏編碼收縮法(SparseCodeShrinkage，SCS)[3-4]：SCS假設正交ICA變換具有很強的稀疏性，根據這種稀疏性將含噪信號投影到ICA正交基上來實現降噪.但SCS需要假設噪聲和信號相互獨立，且需要預先估計噪聲的方差.②小波濾波法(WaveletFiltering，WF)[5-6]：WF根據信號和噪聲的小波系數在不同尺度上具有不同的性質，構造相應規則，在小波平面采用數學方法對含噪信號的小波系數進行處理.WF成功的關鍵在于如何保持信號的完整信息.③高階累積量法(Higher-OrderCumulant，HOC)[7-9]：HOC利用方差、偏度、峭度等高階聯合矩描述信號和噪聲的分布特征，能避免因高斯噪聲帶來的問題，缺點是高階累積量對野值敏感，且計算量大.④極大似然估計方法(MaximumLikelihood，ML)[10-11]：ML是將信號的密度用高斯混合模型的密度來逼近，不過，計算量大.⑤偏差去除技術：(BiasRemovalTechniques，BRT)[12-13]：BRT對無噪的ICA方法進行修正，以去除由于噪聲引起的偏差，關鍵是如何從觀測量中獲得不受噪聲影響的度量標準.

本文假設噪聲施加在傳感器上的效果可等效為附加源信號的情形，分析了含噪ICA模型的估計難點.在此基礎上，假設信號和噪聲的時頻特性不同，通過把一維時域中的含噪信號映射到二維的時頻平面來獲取信號的頻率特性隨時間變化的信息，并映射到Hough變換空間，選擇信號能量占主導的自項點進行最小二乘對角化，進而估計源信號，去除噪聲，提出一種新的去噪ICA算法.最后以LFM(LinearFrequencyModulation)信號分析了該方法的抗噪性能.

1 數據模型

設有m個混疊信號x(t)=[x1(t)，…，xm(t)]T，每個xi(t)接收到的都是n個源信號s(t)=[s1(t)，…，sn(t)]T發出的線性瞬時混疊,其中，s(t)中有l個源信號s1(t)，…，sl(t)，n-l個加性噪聲sl+1(t)，…，sn(t),則

x(t)=As(t)+n(t).

(1)

假設：

(P1)混合是線性時不變瞬時混合，A為m×n維的列滿秩陣，且m≥n；

(P2)源信號s1(t)，…，sl(t)是零均值、非平穩、互不相關的隨機信號；

(P3)噪聲sl+1(t)，…，sn(t)為零均值，獨立同分布，且與源信號互不相關；

在上述假設下，可以把噪聲sl+1(t)，…，sn(t)當作源信號來建模，即

Rss(t，τ)=E{s(t+τ)s*(t)}=
diag[ρ1(t，τ)，ρ2(t，τ)，…，ρn(t，τ)]，

(2)

Rxx(t，τ)=E{x(t+τ)x*(t)}=
ARss(t，τ)AH+σ2Im，

(3)

其中，上標H表示共軛轉置.設分離矩陣為B，即有B=A-1.由式(1)，有

y(t)=Bx(t)=B(As(t)+n(t))=
s(t)+Bn(t).

(4)

對比分析式(1)、(4)，可知：

1) 由于噪聲是源信號之一，則經As(t)后，源信號的結構被噪聲破壞；

2)n(t)的存在，進一步破壞了As(t)的結構，分離信號y(t)的各個成分很難保證獨立；

3)Bn(t)的存在，輸出成分y(t)=s(t)+Bn(t).因此，當噪聲存在時，信號ICA估計變得相當困難.

2 ICA時頻算法

2.1 白化

由于信號被噪聲污染，本文采用子空間的方法來白化觀測信號，使得待分離的信號互不相關，協方差矩陣為單位陣I.若對A，有一白化陣W，滿足WAAHWH=In.由文獻[14]，觀測信號x(t)的零延遲自相關陣為：

Rxx(t，0)=ARss(t，0)AH+σ2Im

(5)

則白化陣

(6)

其中，[λ1，…，λm]是Rxx[t，0]降序排列的特征值，[h1，…，hm]為其對應的特征向量.令U=WA，則白化信號為

z(t)=Wx(t)=WAs(t)+Wn(t)=
Us(t)+Wn(t).

(7)

2.2 求白化后信號的RID分布

RID(Reduced Interference Distribution)在抑制交叉干擾項和時頻聚集性方面的折衷性較好，其定義為[15]：

(8)

(9)

其中，h(τ)，g(v)分別是時域、頻域的對稱光滑窗函數.

2.3 Hough變換

Hough變換的本質是對信號進行坐標映射，把平面坐標映射為參數坐標，使映射的結果更易識別和檢測.將變換對象由二維函數RIDx(t，v)映射成x(t)的RIDHTx(f0，β)分布，則得到x(t)的RIDHT(RID-Hough Transform)變換[16].設RIDHT的積分直線ABC為：f=f0+βt(f0為截距，β為斜率)，則

(10)

圖1 LFM含噪信號的RIDHT分布Fig.1 The RIDHT distribution of noisy LFM signals

2.4 自項點選擇

設白化信號的時頻譜為Vzz(t，f)，考慮低噪或無噪情況，對式(7)求RIDHT分布

Vzz(f，g)≈WVxx(f，g)WH≈
WAVss(f，g)AHWH≈UVss(f，g)UH.

(11)

根據文獻[17]，U為酉矩陣，Vss(f，g)為源信號s(t)的RIDHT分布.對式(11)求特征值運算，有

eig{Vzz}≈eig(UVssUH)≈eig(Vss).

(12)

因此，根據文獻[17]求信號z(t)的特征值方法，可得出時頻點選擇策略：

(13)

其中，ε為[0，1]之間的正數，取ε=0.1.

若信號s(t)在某個平面點(fi，gi)自項Vsksk(fi，gi)≠0，互項Vsksl(fi，gi)=0 (k≠l)，則源信號分布Vss(fi，gi)近似為對角陣.從而，U可采用文獻[18]的最小二乘對角化算法求出.

總結上述思路，可得到一種含噪的ICA算法：

1) 對混疊信號零均值化，估計零時延的自相關矩陣Rxx(t，0)；

2) 對Rxx(t，0)進行特征值分解，利用式(6)計算白化陣W；

3) 利用式(10)計算Z(t)的RIDHT變換Vzz(f，β)；

4) 根據式(13)選取自項點；

5) 以最小二乘方法對角化個Vzz(f，β)矩陣，得到酉矩陣U；

3 SNR分析

假定一個LFM信號為:

(14)

(15)

(16)

若信號x(k)=s(k)+n(k)，對其采樣T點，則其RIDHT函數的方差為:

(17)

根據文獻[19]，

(18)

因此，輸出SNR為:

(19)

由式(19)，可見，信號的輸出信噪比取決于源信號的輸入信噪比和采樣量.進一步簡化式(19)，有

(20)

可見，對于含噪LFM信號，如以SNR為評價指標，RIDHT變換所得的輸出信噪比SNRout與輸入信噪比SNRin和采樣數N均成正比.因此，可從提高輸入數據的信噪比或/和增加變換的數據量兩方面改善ICA算法的性能.

4 實驗結果

采用一個EEG(Electroenc Ephalo Graphic)信號(取自The Laboratory for Advanced Brain Signal Processing (ABSP))，和兩個高斯白噪聲(均值均為0，方差分別為5、25)，采樣2048個點.A=[0.1509 0.8600 0.4966; 0.6979 0.8537 0.8998;0.3784 0.5936 0.8216].源信號，觀測信號及估計信號分別如圖2～圖4所示.可見，本文算法能成功估計源信號.

圖2 源信號波形圖Fig.2 The waveform of sources signals

圖3 觀測信號波形圖Fig.3 The waveform of observed signals

圖4 估計信號波形圖Fig.4 The waveform of estimated signals

圖5顯示了不同ICA算法的輸出/輸入SNR曲線.圖6顯示了輸出SNR和信號采樣點的變化曲線.可見，本文算法針對含噪ICA具有更強的抗噪性能，且隨著采樣數的增加，抗噪性能會更好.

圖5 輸出/輸入SNR變化曲線Fig.5 The curve of output versus input SNR

圖6 輸出SNR和采樣點變化曲線Fig.6 The curve of output SNR versus sampling points

5 結束語

本文考慮噪聲作為源信號之一的ICA估計問題.研究了含噪ICA信號估計的困難、時頻點選擇理論、Hough平面映射，提出了一種新的能分離信號源噪聲的ICA算法，并分析了該算法的信噪比變化趨勢.該算法通過平面變換思想把一維信號轉換到二維平面，雖然計算量增大，但拓寬了源信號的限制條件，與基于其他理論的ICA算法相比，不必要求源信號相互獨立，或具有稀疏性，只要求源信號的時頻譜不同.同時，通過把噪聲能量擴展到整個時頻面而只選擇信號能量占主導的時頻點，對噪聲具有一定的抑制能力，對野值也不敏感.

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A time-frequency algorithm for noisy ICA model

GUO Min1， GUO Jing2

(1.Network & Information Center， Wuhan University of Technology， Wuhan 430070;2.College of Electronics and Information Engineering， Southwest University， Chongqing 400715)

The estimation of signals in ICA (Independent Component Analysis) application model will become a problem because of noise disturbance. In this paper， the problem of noisy ICA model is analyzed against contaminated sources， and a new ICA method is proposed exploiting the difference in the time-frequency signatures of noisy sources to be separated. The approach is developed by firstly using high-resolution time-frequency distributions to obtain signal time-frequency features， secondly localizing the signal energy in parameter space by Hough transform and finally a least squares diagonalization of a combined set of TFD matrices chosen by auto-terms selection method to estimate the source signals. Its performance is also exhaustively derived. This approach extends the ICA application constraints and can effectively separates the various non-stationary sources．

noisy source; reduced interference distribution; Hough transform; independent Component Analysis; SNR

2015-02-27.

國家自然科學基金項目(61205088, 61472330);中央高校業務基金項目(XDJK2014C015);西南大學博士基金項目(SWU112056)．

1000-1190(2015)04-0515-05

TN911.7< class="emphasis_bold">文獻標識碼： A

A

*通訊聯系人. E-mail: poem24@163.com.