單級旋轉(zhuǎn)倒立擺運動控制研究

劉二林，姜香菊

LIU Er-lin1, JIANG Xiang-ju2

（1.蘭州交通大學(xué) 機電工程學(xué)院，蘭州 730070；2.蘭州交通大學(xué) 自動化與電氣工程學(xué)院，蘭州 730070）

0 引言

倒立擺系統(tǒng)與兩輪自平衡機器人一樣，均與火箭飛行，兩足機器人行走有很大的相似性。對倒立擺系統(tǒng)進行理論研究有理論和實踐意義。人們可以通過對倒立擺系統(tǒng)的控制來檢驗所使用的控制方法對不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制能力。倒立擺的種類很多，有直線倒立擺、旋轉(zhuǎn)倒立擺、平面倒立擺等。旋轉(zhuǎn)倒立擺是三種形式的倒立擺中結(jié)構(gòu)較簡單的一種，但是其受力分析較其他兩種復(fù)雜，具有不穩(wěn)定性及非線性，對控制算法有更高的要求。旋轉(zhuǎn)倒立擺的運動控制是指旋轉(zhuǎn)倒立擺在倒立狀態(tài)下，能按照要求穩(wěn)定的向某一方向勻速旋轉(zhuǎn)，這種運行模式類似于兩足機器人的行走過程，可以將這種控制研究作為對兩足機器人運行的模擬研究[1,2]。

PID控制器是自動控制領(lǐng)域出現(xiàn)最早的控制方法，其應(yīng)用非常廣泛，有著較強的實用性及通用型，在文獻[3]、[4]中，作者都采用了PID對倒立擺狀態(tài)進行控制。文獻[5]中，作者則針對直線倒立擺，用PD、PI和PID實現(xiàn)了對倒立擺的平衡控制，并對控制效果進行了對比。線性二次型最優(yōu)控制器LQR (linear quadratic regulator)又稱為線性二次型調(diào)節(jié)器。LQR的控制對象為線性系統(tǒng)，常用于求解動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)問題。在文獻[6]至文獻[9]中，均采用LQR來實現(xiàn)對倒立擺或者兩輪直立車的平衡控制。文獻[10]中則是利用LQR實現(xiàn)對兩輪平衡車的狀態(tài)保持控制，然后用另一種控制模式對平衡車進行運動控制。

本文中首先設(shè)計了一個一級旋轉(zhuǎn)倒立擺，然后根據(jù)實際情況建立了倒立擺的數(shù)學(xué)模型，并在平衡點附近給出系統(tǒng)的線性化狀態(tài)方程。分別使用雙PID控制算法和LQR狀態(tài)跟隨控制算法來實現(xiàn)其運動控制。并通過仿真及實測來檢驗其優(yōu)劣。

1 旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1.1 旋轉(zhuǎn)倒立擺基本結(jié)構(gòu)

旋轉(zhuǎn)倒立擺主要由倒立擺支撐機架、電機、減速裝置、擺桿、旋臂、1024線位置式編碼器、BT7960構(gòu)成的H橋電路及微控制器芯片組成。倒立實物圖如圖1所示。

圖1 倒立擺結(jié)構(gòu)

在圖1中，旋轉(zhuǎn)倒立擺的旋臂與減速器的輸出軸聯(lián)接，減速器由直流電機驅(qū)動，編碼器1的齒輪與直流電機主軸齒輪嚙合。通過獲取編碼器1的角度和角速度可以計算出旋臂的角度和角速度。編碼器2安裝在旋臂末端，且編碼器2的旋轉(zhuǎn)軸與旋臂的主軸平行；擺桿安裝在編碼器2的旋轉(zhuǎn)軸上，擺桿軸線與編碼器旋轉(zhuǎn)軸垂直。系統(tǒng)中，旋臂只能以減速器動力輸出軸為圓心做水平旋轉(zhuǎn)，擺桿只能以編碼器2旋轉(zhuǎn)軸為圓心在旋臂末端旋轉(zhuǎn)軌跡的切面上做豎直旋轉(zhuǎn)[11,12]。

1.2 旋轉(zhuǎn)倒立擺數(shù)學(xué)模型

對倒立擺進行受力分析，建立廣義坐標(biāo)系。系統(tǒng)的簡化模型如圖2所示。利用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動學(xué)微分方程[1,2,4]。

由圖2可知，系統(tǒng)中擺桿與旋臂各有一個自由度，所以，可以取α和θ為廣義坐標(biāo)。則倒立擺系統(tǒng)的動能由四部分組成。

其中，T1為旋臂的轉(zhuǎn)動動能，T2為擺桿的轉(zhuǎn)動動能，T3為擺桿沿X軸方向運動的動能，T4為擺桿沿Y軸方向運動的動能，

因為α→0，所以sinα→0，cosα→1，將式1各項進行計算合并，并且對其進行線性化處理可得：

圖2 系統(tǒng)簡化模型

由式(3)可得：

式(5)中，Tout為電機輸出扭矩，由式(4)可得：

將式(4)、式(5)聯(lián)立組成方程組，得到倒立擺系統(tǒng)線性化狀態(tài)方程

以上各式中參數(shù)的物理意義、數(shù)值及單位如表1所示。

2 倒立擺的運動控制

2.1 基于雙PID的運動控制

因為采用了絕對式編碼器來進行角度檢測，所以在獲取角度和角速度時系統(tǒng)不存在滯后和噪音。建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，利用李雅譜諾夫穩(wěn)定性理論進行分析可知，系統(tǒng)可控。用雙PID控制器可以使系統(tǒng)穩(wěn)定運動。控制器中有兩路PID，PID1控制倒立擺擺桿的狀態(tài)（這時取KI=0）；PID2控制旋臂的運動（PID的極性為負）；控制器的兩個輸入量分別是倒立擺擺桿旋臂角速度θ˙，倒立擺擺桿角度α。同時，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則要保證PID2的KP不能太大，PID2的輸出要小于PID1的輸出。旋轉(zhuǎn)倒立擺雙PID運動控制仿真圖如圖3所示。

表1 狀態(tài)方程中各參數(shù)列表

圖3 雙PID運動控制Simulink仿真程序

在M文件中，取KP1=100，KD1=20，KI1=0；KP2=2.0，KD2=0.08，KI2=0.0185。仿真結(jié)果如圖4所示。在圖4中可以看出，倒立擺擺桿在3s以內(nèi)完成直立，旋臂速度在4s以內(nèi)達到設(shè)定值，旋臂按照設(shè)定要求在倒立擺倒立的情況下向設(shè)定方向穩(wěn)定運動。

在仿真過程中，KP1決定了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，KP1越大，倒立擺響應(yīng)速度越快；KD1決定了系統(tǒng)是否震蕩（相當(dāng)于倒立擺的阻尼系數(shù)），如果KD1變小，則系統(tǒng)會產(chǎn)生震蕩。KP2決定了旋臂速度的響應(yīng)時間，但如果KP2取值太大，則倒立擺系統(tǒng)不穩(wěn)定；KD2可以改善系統(tǒng)的超調(diào)，但是KD2太大也會使系統(tǒng)的抗干擾能力變差，甚至發(fā)散；KI2的作用是減小靜差，但是KI2太大會使系統(tǒng)震蕩。雙PID旋轉(zhuǎn)倒立擺運動控制調(diào)節(jié)參數(shù)較為麻煩。

圖4 雙PID控制仿真結(jié)果

2.2 基于LQR的運動控制

根據(jù)現(xiàn)代控制理論，設(shè)狀態(tài)反饋控制律的形式為：u=-K×xu。在本模型中，由于x是四維狀態(tài)變量；所以，K=[k1,k2,k3,k4] ，K的取值要滿足使線性二次型最優(yōu)性能指標(biāo)J最小。

其中u不受限制，Q是半正定常數(shù)矩陣，R為正定常數(shù)矩陣。求得狀態(tài)反饋矩陣K=-R-1BTP，P為滿足代數(shù)Riccati方程的唯一正定對稱解。

代數(shù)方程為：

Q和R確定后，利用MATLAB便可以求得狀態(tài)反饋矩陣K，調(diào)整對角矩陣Q中的參數(shù)，也即各輸入量的權(quán)重，便可以在仿真時得到期望的效果。該LQR最優(yōu)控制可以使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)返回到平衡狀態(tài)（0狀態(tài)）[6～10]。

其中A、B、C同前面倒立擺數(shù)學(xué)模型中的A，B，C。對增廣系統(tǒng)的可控性進行分析，系統(tǒng)能控。設(shè)計基于LQR的狀態(tài)跟隨控制器如圖5所示。

圖5 LQR狀態(tài)跟隨Simulink仿真程序

圖6 LQR控制仿真結(jié)果

2.3 控制方式效果對比

設(shè)定不同的參數(shù)，控制效果對比結(jié)果如表2所示。

表2 兩種控制方式效果對比

通過對比仿真結(jié)果可以看出，LQR狀態(tài)跟隨器控制效果明顯優(yōu)于雙PID控制器。控制結(jié)果可以明顯看出，LQR狀態(tài)跟隨控制器的超調(diào)小，響應(yīng)速度快；同時，LQR參數(shù)調(diào)整方便。在仿真實驗中還驗證了LQR狀態(tài)跟隨控制器魯棒性好。而雙PID控制的優(yōu)點在實現(xiàn)方便，不過分依賴于所建立的數(shù)學(xué)模型。

最后，將MATLAB計算出的K值及其相關(guān)算法移植到微控制器中對實物進行了控制，經(jīng)過對參數(shù)進行進一步的調(diào)整，實際運行效果驗證了仿真結(jié)果的正確性。

3 創(chuàng)新點

設(shè)計的創(chuàng)新點在于研究了單級旋轉(zhuǎn)倒立擺的運動控制問題。在利用拉格朗日方程建立倒立擺系統(tǒng)的線性化狀態(tài)方程后，利用雙PID控制器和LQR狀態(tài)跟隨控制器對模型進行了控制。單級旋轉(zhuǎn)倒立擺與兩輪直立機器人的運動有極大相似性，論文通過LQR狀態(tài)跟隨控制器對旋轉(zhuǎn)倒立擺進行了運動控制，控制仿真結(jié)果及實測結(jié)果證明：LQR狀態(tài)跟隨控制器不經(jīng)過解耦也可以很好控制不穩(wěn)定體的運動，并且響應(yīng)速度快，超調(diào)小，系統(tǒng)魯棒性好。

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