以地球為參考系下太陽系各行星運動軌跡的探討

楊習志 胡 斌

(云南省昆明市第一中學，云南 昆明 650031)

以地球為參考系下太陽系各行星運動軌跡的探討

楊習志 胡 斌

(云南省昆明市第一中學，云南 昆明 650031)

本文以火星為例，借助Matlab，分別從地球公轉、自轉、自轉軸傾角等三個方面，研究以地球為參考系下太陽系其他行星的運動軌跡，具體給出火星在2014年-2016年不同季節相對于地球的位置.

太陽系；地球；火星；Matlab；運動軌跡

在中學關于參考系以及太陽系行星模型的教學中，學生經常問這樣的問題：若以地球為參考系，太陽系其他行星的運動會是什么樣？這其實是一個非常復雜的問題，老師們往往很難回答.歷經千年，以太陽為中心，行星圍繞太陽做近似圓周運動的模型似乎已成為人們的常識.但我們實際生活在地球上，我們的觀看一定是以地球為參考系進行的，故在日常生活中，我們根本不可能看到行星圍繞太陽做圓周運動的景象.那么，如果以地球為參考系，太陽系其他行星的運動軌跡到底怎么樣？這是一個看似簡單卻非常復雜的問題，原因有三：第一，地球和其他行星都在圍繞太陽公轉，而且公轉速度不一樣.第二，地球本身在自轉，地球上的觀察者當然也會跟著地球自轉.第三，地球的自轉軸與太陽所在平面并不垂直，存在一個夾角，即黃赤交角.因此，要想直接想清楚各個行星的運動情況幾乎是不可能的事，這就需要借助于計算機，因此，本文利用Matlab，研究以地球為參考系下太陽系其他行星的運動軌跡問題.

為簡化問題，以火星為例，并作以下假設(實際上幾乎不影響觀看結果)：第一，太陽系各行星的運行軌道是圓；第二，各行星處于同一平面內；第三，觀察者站在地球的赤道上；第四，以火星和地球相距最近時為起始點.

1 只考慮地球的公轉

圖1 考慮地球公轉時的坐標轉化

故可用Matlab編程如下：

t=0:0.01:2;%運行時間2年

x=1.52*cos((pi/0.99)*t)-cos(2*pi*t);

y=1.52*sin((pi/0.99)*t)-sin(2*pi*t);

i=0;

for t=0:0.01:2;

i=i+1;

x(i)=1.52*cos((pi/0.99)*t)-cos(2*pi*t);

y(i)=1.52*sin((pi/0.99)*t)-sin(2*pi*t);

plot(x,y,x(i),y(i),'or');

getframe;%截取每幅畫面

axis equal;%坐標等距

axis off;%取消坐標軸線

end

運行結果如圖2所示：

圖2 考慮地球公轉下2年時間內火星的運行軌跡

由圖2可以看出，以地球為參考系下火星的運動軌跡像一個蘋果，并不是標準的圓或橢圓，而且在一個周期中會出現逆行現象，這是由于地球的公轉角速度比火星的公轉角速度大而造成的.

令t=0∶0.3∶2.1;可以確定每個季度火星相對于地球的位置，同理也可以確定各個時期的位置，以2014年04月08日火星沖日(火星與地球最近)為起點，則得到火星各個季度相對與地球的位置如圖3所示.

圖3 2014—2016年火星與地球的相對位置

若令t=0：0.01：50，則運行結果如圖4所示，可以看出，以地球為參考系下看到的火星的軌跡不是一個穩定的圖形，而是在不斷變化著的.因為每完成一個周期后火星相對于地球的初始位置已經發生了變化，相對初始位置在不斷的向前移動，故導致火星的心型軌跡在不斷的轉動.

圖4 考慮地球公轉下50年時間內火星的運行軌跡

令t=0：0.01：100，則運行結果如圖5所示，可以看出：100年后火星的軌跡覆蓋了火星離地球最近和最遠范圍內的整個平面.

圖5 考慮地球公轉下100年時間內火星的運行軌跡

2 考慮地球的公轉和自轉

圖6 考慮地球公轉和自轉時的坐標轉化

故可作編程如下：

t=0：0.01：10;

x=1.52*cos((pi/0.99)*t)-2*cos(2*pi*t) -(4.3e-5)*cos(730*pi*t);

y=1.52*sin((pi/0.99)*t)-2*sin(2*pi*t) -(4.3e-5)*sin(730*pi*t);

i=0;

for t=0:0.01:10; i=i+1;

x(i)=1.52*cos((pi/0.99)*t)-2*cos(2*pi*t)-(4.3e-5)*cos(730*pi*t);

y(i)=1.52*sin((pi/0.99)*t)-2*sin(2*pi*t)-(4.3e-5)*sin(730*pi*t); plot(x,y,x(i),y(i),'or'); getframe; axis equal; axis off;

end

運行結果如圖7所示.

圖7 考慮地球公轉與自轉時10年時間內火星的運行軌跡

由于地球的半徑相對于地球與火星的軌道半徑，以及圖像尺寸與實際觀看尺寸相比都太小，故看上去似乎與不考慮地球自轉時是一樣的，為了看出差別，可將地球的半徑適當放大，令R=4.3×10-2AU，代入程序中，則運行結果如圖8所示.

圖8 考慮地球公轉與自轉時火星2年內的運行軌跡

由圖8可以看出由于地球的自轉，導致火星相對于地球的軌跡在原軌跡上發生微小的回旋，由于地球的自轉角速度遠大于火星的公轉角速度，而且地球的半徑遠小于火星相對于地球的距離，故地球自轉對火星的軌跡形成了圖中的微型回旋振蕩.

3 考慮地球自轉軸傾角

圖9 考慮地球自轉軸傾角時的坐標轉化

令α=23.5°，可作編程如下：

t=0:0.01:10;

x=1.52*cos((pi/0.99)*t)-2*cos(2*pi*t) -(4.3e-5)*sin(23.5/360)*cos(730*pi*t);

y=1.52*sin((pi/0.99)*t)-2*sin(2*pi*t) -(4.3e-5)*sin(730*pi*t);

z=(4.3e-5)*cos(23.5/360)*cos(730*pi*t);

i=0;

for t=0:0.01:10; i=i+1;

x(i)=1.52*cos((pi/0.99)*t)-2*cos(2*pi*t) -(4.3e-5)*sin(23.5/360)*cos(730*pi*t);

y(i)=1.52*sin((pi/0.99)*t)-2*sin(2*pi*t) -(4.3e-5)*sin(730*pi*t);

z(i)=(4.3e-5)*cos(23.5/360)*cos(730*pi*t); plot3(x,y,z,x(i),y(i),z(i),'or');

axis([-4,4,-4,4,-4,4]);%坐標軸范圍

getframe;運行結果如圖10所示.

圖10 考慮地球公轉、自轉以及自轉軸傾角時火星10年內的運行軌跡

由于圖像尺寸與實際觀看尺寸相比太小，故可改變坐標軸范圍，將z軸尺寸進行放大.令t=0:0.005:5，axis([-4,4,-4,4,-5e-4,5e-4])，運行結果如圖11所示.

圖11 考慮地球公轉、自轉以及自轉軸傾角時火星5年內的運行軌跡

由圖11可以看出考慮地球的自轉軸傾角后，火星的運行軌跡除了以上的運動形式外還在上下振動，這是由于在地球的自轉傾角的影響下，火星相對于地球的位置時上時下的結果.

令t=0:0.005:100，axis([-5,5,-5,5,-2e-4,2e-4])

運行結果如圖12所示.

圖12 考慮地球公轉、自轉以及自轉軸傾角時火星100年內的運行軌跡

由圖12可以看出，100年后，火星的軌跡呈現一柱體樣式，要注意中間并沒有被填滿，只是被擋住看不見而已.

通過以上分析可以看出，以地球為參考系去看太陽系其它行星的運動軌跡與我們腦海中行星的運行軌跡是完全不一樣的.作為老師，若了解這些問題，那么不但可以回答學生的相關問題，還可以在參考系的教學當中給學生講解一下在研究物理問題時選取參考系的重要性，比如，研究天體的運動時，以太陽系為例，若選太陽為參考系，則會使天體的運動變得非常的簡單，若以地球為參考系，則會使之變得非常的復雜，這或許也是“日心說”經歷很長時間未被發現的原因之一，因為它不符合人們日常的觀察結果.在很多情形下，若轉化一下參考系，則會使問題研究變得非常的簡單.