多天線GPS姿態求解及誤差分析

解放軍理工大學通信工程學院 衛星通信與導航江蘇高校協同創新中心 朱 明 呂 晶 柯明星 童凱翔

0 引言

GPS剛開始主要是用于授時及精密定位，隨著載波相位差分技術及計算機技術的發展成熟，由多個GPS天線組成的載體姿態測量系統可以對載體姿態進行實時或事后的測量[1][7]。姿態在陸地、航海、航空及空間應用中都是非常重要的導航信息，尤其隨著新技術的發展與革新，對姿態精度的要求越來越高，如航空重力測量、航空攝影測量等高精度測量技術需要達到事后分級甚至秒級姿態精度，航海、航空等領域一般要達到分級實時姿態精度。

目前，國內外許多學者對多天線測姿進行了大量的研究，根據天線布設的不同，提出了多種多天線姿態解算方法，其中最常用的有直接姿態求解算法和最小二乘姿態解算法。同時，也對影響多天線姿態解算精度的因素進行了相關分析，得到了一些有益的結論，如天線數量越多，基線越長，布設越均勻，姿態解算精度就越高。但是，由于載體范圍的限制，天線布設很難滿足理想的條件。因此，在有限的條件下，提高基線解算精度和尋找最優的姿態解算方法是非常關鍵的。本文通過比較當前常用的三種姿態求解算法其誤差分析，認為在有限的條件下，提高基線解算精度和尋找最優的姿態解算方法是非常關鍵的。

1 多天線GPS姿態解算模型

1.1 本地坐標系

在確定姿態的時候，一般用地理坐標系當作參考坐標系。這個坐標系是建立在地心坐標系上，隨著地球轉動而轉動。此坐標系定義為：以運動載體的質心為原點，沿著子午線向北，在地心矢量方向上，通過右手規則確定。本地坐標系如下圖1所示，簡稱為ENU導航坐標系。

圖1 本地坐標系

1.2 載體坐標系

一個載體的全姿態確定至少需要三個不在同一直線上的天線。為了不失一般性，載體坐標系xbybzb的原點選在主天線1上；xb軸沿原點指向天線2；yb軸垂直于天線平面；zb軸與xb軸和yb軸滿足右手法則，且在天線平面內，如圖2所示。

圖2 載體坐標系

1.3 旋轉矩陣

多天線姿態解算主要利用載體坐標系和本地坐標系之間的轉換關系，對應的坐標系轉換矩陣如下：

地心坐標系到本地坐標系的轉換可以通過繞Ze正轉入，然后再繞Ye反轉(90°+L)，最后繞XN反轉90度就轉換到了本地坐標系。

坐標轉換矩陣為：

本地坐標系ENU通過偏航角 ，俯仰角 ，滾動角 轉換到載體坐標系xbybzb，其對應的坐標轉換矩陣如下：

旋轉角可以通過旋轉矩陣元素R(i,j)表示如下：

本地坐標系到載體坐標系的旋轉，實際上是把本地坐標系中的矢量(x,y,z)T映射成載體坐標系中的矢量(xb,yb,zb)T，可以寫成：

2 姿態求解算法

利用GPS多天線求解姿態角的系統中，基線矢量的本地參考坐標系是通過GPS載波相位差分方程求得，參考坐標系的原點定義在主天線1上，而載體坐標系中的坐標被認為是精確已知的，且在動態過程中認為不變。

2.1 直接計算法1

GPS載體坐標系定義如圖2所示。主天線1定為原點，天線1到天線2的基線b12定為x軸，則基線b12在載體坐標系下的坐標,b13的坐標為，而b12、b13在參考坐標系下的坐標分別為和。則姿態旋轉矩陣 滿足：

把基線矢量b12的坐標b12和u2代入(5)得：

又因為姿態矩陣是正交的，偏航角 和俯仰角 可求得如下：

觀察上式可知，利用基線b12就可以確定用戶的偏航角和俯仰角。當計算出偏航角和俯仰角之后，基線矢量b13經過如下變換：先繞y軸旋轉，然后再繞旋轉，從參考系旋轉到輔助坐標系。b13在輔助坐標系中的坐標為：

由方程(9)可以解得旋轉角 為：

直接計算姿態角公式僅用了當前歷元的兩個基線矢量，當超過兩個基線矢量時，可以構成基線矢量對來求解姿態角。從統計的角度看，直接計算法是次優的，觀察公式可看出沒有用到。

2.2 直接計算法2

姿態旋轉矩陣最為簡單的求解方法是，利用兩條不在同一直線上的基線構成天線平臺，假定兩條不共線的基線矢量在本地坐標系下的單位坐標矢量為u1和u2，在載體坐標系中的單位坐標矢量分別為b1和b2。當姿態矩陣R滿足：時，利用u1和u2，構造成本地坐標系下的正交化矩陣：

同理，利用b1和b2構造成載體坐標系下的正交化矩陣：

使得旋轉矩陣R為：

Mg和Ms都是3×3的正交矩陣。很容易求得姿態角旋轉矩陣：

假如姿態旋轉矩陣解出，根據(3)式可求解姿態角。此方法易理解且計算量較小，計算旋轉矩陣R時不需要求逆，唯一的要求就是兩基線矢量不共線。但是該方法從統計的角度看同樣是次優的，因為僅用到兩基線矢量的部分信息，且只用了一次。

2.3 最小二乘姿態估計

由(3)式可知，由三個旋轉姿態角就能確定旋轉矩陣，三個姿態角即為偏航角、俯仰角和滾動角。當基線矢量在載體坐標系中的坐標已知，那么根據方程(4)做最小二乘姿態估計就能確定。設和分別為天線i在載體坐標系和本地坐標系中的坐標，由此得：

其中n為從天線的個數。在方程(15)中，bi和ui為觀測值，且它們的協方差矩陣分別為 和 ，待求解的是方程中三個姿態角 。此模型為標準的隱式最小二乘校正模型，它的特點是在姿態估計過程中，載體坐標系中的坐標bi的協方差矩陣參與運算。方程式(15)相對于的線性化模型可表示為：

I為3×3的單位矩陣；

與直接姿態計算法相比，因為所有的定位信息都被采用，所以最小二乘姿態估計法是相對最優的，且還可以通過協方差矩陣直接求得姿態角的精度。最小二乘姿態估計的另一個優點就是受多徑影響較小，這是因為最小二乘姿態估計最佳擬合了所有基線矢量[4]。

3 誤差分析

對(7)式微分，忽略各坐標分量之間的相關性,再利用誤差傳遞公式，則偏航角的標準誤差可以表示為：

為了簡化分析，認為各天線在本地坐標系下的各坐標分量的誤差是獨立同分布的[2]，因此假設：

則式(20)可以簡化為：

當前主流GPS載波相位測量定位技術的精度指標[8]，水平方向可以達到 ，垂直方向精度為 。在GPS載波相位誤差一定的情況下，影響偏航角誤差的主要因素是基線的長度，基線越長，偏航角誤差越小。此外俯仰角也是航向誤差的一個影響因素，俯仰角絕對值越小，航向誤差也就越小，俯仰角為零時航向誤差最小。

同理，對(8)、(10)進行微分，同樣利用誤差傳遞公式，分別得到俯仰角和滾動角的誤差公式如下：

其中：

a是基線矢量b13和Xb軸的夾角。

俯仰角和滾動角近似表達式可以寫為：

從式(25)、(26)觀察易得到俯仰角的誤差大小與定位誤差大小成正比，與基線長度成反比。從式(24)、(26)可以看出，當兩基線矢量互相垂直時，滾動角誤差最小。

4 仿真結果

為了驗證多天線姿態解算方法的正確有效性，利用Newstar210M多天線中頻信號采樣器實測數據進行檢驗，中頻采樣頻率為16.367667MHz，信號帶寬為2MHz，采集情景及天線安裝位置如圖3.數據采集于2015年5月2號于解放軍理工大學通工樓樓頂。

圖3 實驗數據采集場景

測量這兩條基線在載體坐標系下的基線矢量為：

由于兩種直接計算方法結果等價，以下僅比較直接計算法一與最小二乘姿態解算結果。偏航角、俯仰角和橫滾角估計結果見圖4-6，誤差估計結果見圖7-9。

圖4 偏航角估算值

圖5 俯仰角估算值

圖6 橫滾角估算值

圖7 偏航角誤差估算值

圖8 俯仰角誤差估算值

圖9 橫滾角誤差估算值

分析圖4-9可知。從估算誤差來看，利用最小二乘算法的誤差大小要明顯優于直接計算法，這個結果是可以預見的，主要原因是最小二乘算法充分利用了所有的定位信息，而直接計算法僅僅用到兩基線矢量的部分信息，所以是次優的。且姿態角精度與基線長度及天線模型有關。

5 結語

本文推導了三種常用的姿態解算方法的估計及其精度評定模型，對直接法和最小二乘解算的姿態結果及其誤差進行了分析。仿真結果表明，最小二乘法對姿態角估算的確有改進。基于多天線陣的GPS觀測數據可以對載體姿態進行測量，且多天線測姿精度受基線長度、基線精度、天線數量及天線分布等影響，在載體長寬有限、天線數量固定的情況下，為提高GPS測姿精度，可以合理布置GPS天線的相對位置，這也是下一步需要研究的問題。

[1]劉若普.GPS三維姿態測量技術研究[M].上海交通大學碩士學位論文,2008.

[2]Zhou Sanqi.Research on GPS-based Attitude Determination System for Degree of M.Eng of Beijing Jiaotong University,2009.

[3]Tian Xiang,Fan Shenglin Liu Jiangye.Research on Multibaseline Attitude System Based on GPS.Aerospace Control,26(2).

[4]唐康華.GPS快速定姿技術研究[M].國防科學技術大學碩士學位論文,2002.

[5]Chen Yulin.Study on Attitude Determination of Kinematical Carrier Using Carrier Phase of GPS System for the Degree of M. Eng of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,2005.

[6]Wanghai.Study of High Resolution DOA Estimation Algorithm and Its System Implement for the Degree of M.Eng of Wuhan Institude of Technology,2012.

[7]張守信.GPS衛星測量定位理論與應用[M].長沙:國防科技大學出版社,1996.

[8]何秀鳳,劉建業.基于GPS載波相位的微衛星姿態算法研究[J].空間科學學報,2003,23(1):55-59.

[9]許江寧,朱濤,卞鴻巍.GPS 姿態測量技術綜述[J].海軍工程大學學報,2003,15(3):17-23.

[10]萬德鈞,李滋剛.GPS 航姿測量及其仿真研究[J].船舶工程,1996(4):62-78.