小波分解AR－BP網絡模型在大壩垂直位移預測中的應用

辛大鵬，田林亞，沈哲輝

（河海大學 地球科學與工程學院，江蘇 南京210098）

目前，國內外對大壩進行位移預測，主要采用時間序列和灰色系統模型，模糊數學模型和混合模型等。這些預測模型在一定程度上含有統計特性，要求觀測誤差的數學期望全為零及觀測誤差呈正態分布，模型的精度較大程度上取決于建模因子的選取，另外，時效性存在很大地不確定性［1－2］。

一些水庫的垂直位移監測數據序列在頻域上存在著明顯的高頻部分和低頻部分，通過將原始信號分離成低頻信號和高頻信號。本實驗采用的數據為芹壩2000年3月份～2002年5月份3 d為一監測周期的垂直位移數據。實驗數據采用51個連續監測數據S＝［s1，s2，…，s51］，以10個數據為一組，采用數據新陳代謝的方法分組，第11個數據作為預測值的對照值，［s1，s2，…，s10］，［s2，s3，…，s11］，…，［s41，s42，…，s50］共41組預測數據時間序列，s11，s12，s13，…，s51分別是作為對照值的觀測值。其中前36組數據作為模型訓練數據，后五期作為仿真數據。

1 小波分解

大壩垂直位移監測數據序列的預處理采用多尺度離散小波變換將原始信號進行分解 為了避免分層過多造成的各層預測誤差疊加現象，避免分層過少造成頻率分層的不徹底，對數據序列進行3層分解［3］。小波分解一般通過Mallat算法［4］實現，本實驗采用的Mallat算法分解式為

其中，將原始信號分解為分解率為2－j的高頻信號d1，d2，…，dj和低頻信號cj。

分解之后必須利用Mallat算法分別對高頻和低頻信號進行重構，使重構后序列數與原信號序列數相同，重構式為

式中：H＊和G＊分別是H和G的對偶算子。Cj為第j層低頻重構信號，Dj為第j層高頻重構信號。圖1為小波分解后的高頻、低頻圖。

圖1 小波分解

圖1 為對原始數據進行小波分解后的高頻、低頻序列，從圖1中可以看出高頻、低頻數據的穩定性差異明顯。高頻序列穩定性差，適宜采用非線性全局作用強、較強學習能力的神經網絡模型；低頻序列穩定性較好采用自相關性強的AR時間序列模型。

2 AR自回歸模型

2．1 自相關性

自相關性是建立自回歸模型的基礎，自回歸法進行時間序列預測時需先判斷時間序列的自相關性 然后建立該時間序列的自回歸模型。

自相關系數計算式［5］為

將觀測數據分離后的低頻序列代入式（3），計算一階自相關系數r11＝0．886 3；同理計算原始數據序列的一階自相關系數r12＝0．425 6。在置信度α＝0．001下查相關系數的臨界值檢驗表得r0．001＝0．847 1，顯然r11＞r0．001，表明垂直位移分離后的低頻序列具有高度相關性，適宜建立AR預測模型；原始數據序列r12＜r0．001，表明該序列不具備高度相關性，不適于直接建立AR預測模型［6］。

2．2 AR模型建立

預測出＾Hk（k＝2，3，…，n＋1），最后利用反雙曲正弦函數變換求出預測值

3 BP神經網絡模型

BP網絡模型采用誤差逆向傳播進行學習訓練的前饋神經網絡［2］，可以實現從輸入到輸出的任意非線性映射。BP網絡各層相連，算法由正向、逆向構成。首先輸入層將信息傳遞到隱含層結點，經過激活函數把隱含層結點的輸出傳到輸出層結點，給出輸出結果（正向傳播）；然后對輸出信息和期望目標值進行比較，通過梯度下降法來修改網絡權值與閾值，使誤差減小（逆向傳播）。如此反復進行，直至誤差滿足設定的要求［8］。圖2為網絡訓練誤差下降曲線圖。

圖2 網絡訓練誤差下降曲線圖

由圖2可以看出隨著訓練次數的增多，均方誤差逐漸減小，當訓練次數達到7 095次時均方誤差下降到設定的10－3，達到精度要求，訓練結束。

由表1數據可以得出結論當選擇結點為6時預測精度較高，因此本實驗采用結點數為6的單隱層的三層神經網絡。

4 混合模型的建立

1）首先進行小波分解，C為低頻信號，D1，D2，D3分別為第1，2，3層高頻信號。

表1 不同結點數仿真誤差

2）對低頻信號C建立AR模型，得到預測值y。

3）對高頻信號D1，D2，D3分別建立BP網絡模型，得到各頻信號序列預測值y1，y2，y3。

4）最后將高低頻預測值累加即可得到原始垂直位移時間序列預測值Y＝y＋y1＋y2＋y3。

圖3為混合模型預測流程圖。

圖3 混合模型預測流程

根據上述三種模型的原理，基于MATLAB語言編寫了小波分解、AR預測模型、BP神經網絡模型以及小波分解AR－BP混合模型程序。利用三種模型分別對數據列進行預測，表2為所得出的各模型預測結果，表3為各模型誤差對比值。

由表2、表3分析得到，BP網絡模型的精度明顯高于AR自回歸模型，而AR－BP混合模型的精度又明顯高于BP網絡模型，這說明AR－BP混合模型更能抓住單模型難以反映的特征，因此AR－BP混合模型可以作為壩內垂直位移的預測模型。

表2 各模型預測值 觀測值對照表

表3 各模型誤差對比表

5 結束語

從AR模型的建模過程和工程應用情況可以看出，AR模型對于低頻的、線性特征明顯的時間序列數據具有良好的函數映射反映性；BP網絡模型對于那些高頻的、因子間關系復雜、非線性特征明顯難以用明顯函數進行描繪的黑箱系統具有良好的映射反映性。將二者的優勢相結合進行大壩內部垂直位移的安全預測，能起到較好的預測結果。由于大壩的安全預測分析尚處于起步嘗試階段，在模型的訓練過程中，各層神經元傳遞函數，訓練函數以及初始權值等的確定具有一定的經驗性，還要做進一步的研究。

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