初一學生數學思維的培養和發展

唐琴

數學是一門思維的科學。數學學習能讓一個人的思維具有廣闊、深刻、靈活、嚴謹、敏捷等優秀品質。而這些思維品質正是每個人在成長過程中需要重點培養的方面。因此，在數學教學中必須根據學生的思維特點進行有效的教學，教學模式和教學方法必須適合學生的思維特點，讓優勢的一面更加的穩定和成熟，讓弱勢的一面逐步發展壯大。

“初一”是學生由小學生轉變為中學生的第一階段，無論是在法律上還是在家長、親友和老師的眼里，初一的學生就是一個真正的中學生了。然而事實上，無論是從學習、生活習慣還是思維方式，這時候所謂的“中學生”還是“小學生”狀態的延續。這樣，就產生了一個問題——學生現有的思維發展水平與學習要求之間的不平衡。這種不平衡具體體現在以下幾個方面：

一、形象思維與抽象思維

初一數學的第一章是學習《有理數》，這一章實際上是數的范圍的擴展，在原來學過的數的基礎上增加了“負數”。對于學生而言“負數”是個新生的事物，而且在實際生活中基本碰不到（除了天氣預報），所以在解答相關問題的時候經常會漏掉負號，或者只考慮到正數的情況，漏掉了負數的情況。例如，|x|=2，x= 會有很多學生習慣性地給出了“2”這個答案。雖然老師會再三地強調“絕對值相同的數一般是有兩個，除了0之外”。但是，一部分學生還是會很自然地忘記負數這一種情況。原因在于：（1）小學里面對正數的印象根深蒂固一時不能完全轉變；（2）生活中與負數打交道的機會太少了，不能將負數這個概念轉化為自然的知識儲備。這兩個原因歸結起來就是一個，學生在這個年齡段還是習慣于形象思維，看得見、摸得著的東西容易接受，抽象的東西很難形成概念。因為抽象的能力需要主觀意志力進行控制，所以不容易與原來的知識融為一體，形成新的知識結構。

對于我們教師來說，負數可能不是一個抽象的事物，但是仔細思考一下就會發現，在進行思維的時候，總是自然而然地先考慮正數的情況，再利用“比較”的思維方法考慮負數的情況，從正數到負數之間有一個轉化的環節，而這個環節正是學生不成熟的思維品質中所缺少的抽象的特質。所以，教師在講解這一章的時候，要充分利用類比的方法，讓學生習慣于負數，把負數當作是自然的東西、生活中的事物。例如，可以對學生說正和負是事物的兩面，就像手心和手背、白天和黑夜、前進和后退、上和下、左和右等等，正和負是不可分割的一個整體。利用學生熟悉的事物和已有的知識，在形象思維的基礎上逐步培養抽象思維。

二、逆向思維與順向思維

我們都知道對于應用題小學里采用的方法是算術方法，在算數里加法和乘法是順向思維，而減法和除法一般用的是逆向思維。這樣的思維習慣給學習方程帶來了一定的影響。因為列方程時候一般采用的是順向思維，把所求的量用一個字母代替，根據題目中所給的關系順勢列出了一個等式，再求解。這樣的思維方式跟小學里的思維正好相反。例如，樹上有一些鳥，又飛來了4只，這個時候總共有10只鳥，那么樹上原來有幾只鳥？這是一道很簡單的題目，用算術方法就是10-4，列方程的話就是x+4=10。我們比較一下這兩個式子，不難發現算術方法采用的是逆向思維，用已知的量表示出未知的量，要求的量就是最后運算的結果，運算之后得到一個等式，10-4=6，整個過程渾然一體，沒有明顯的階段性；而方程則把所求的量用一個假設的字母代替，直接得到一個等式，這是第一步，之后的解方程是第二步，整個過程階段性很明顯。

在學習這一部分內容時，學生的最大疑惑在于方程中出現了一個假設的前提，所求的東西還竟然放在式子里面，因為他們習慣了把等號右邊空著，右邊是左邊計算的結果。針對這樣的問題，教師在教學的時候應該將算術的方法和方程的思想進行比較，找出聯系和區別，求同存異，讓學生在已經掌握了的算術方法的基礎上產生方程的概念，并逐漸體會到方程的優越性——是比算術方法更加先進的一種方法。例如，可以這樣說明10-4=6，是一個等式，x+4=10也是一個等式，二者是統一的；算式是由結果得出過程，即由果逐因需要把思維逆回去，方程是由過程得出結果，即由因逐果，根據題中的描述直接用式子進行表示，是順著思維進行的，所以更加簡單。對于復雜一點的問題，方程的優勢就更加明顯，例如，兩個人在山上放羊，甲對乙說把你的羊給我一只，我的羊就是你的二倍，乙對甲說把你的羊給我一只，我們的羊就一樣多了，問甲乙各有幾只羊？這個問題如果用算術方法解決還是蠻有難度的，但是用方程就簡單多了。所以，通過這樣的一些比較讓學生理解方程，喜歡方程，習慣方程，從而對兩種方向的思維能夠相互協調，相互轉化，同步發展。

三、聚合思維與發散思維

小學里面一道題目的答案往往就有一個，所以學生習慣了追求唯一解，對于需要多種情況討論的問題往往只寫出了一種情況就完事大吉了。原因在于，學生在之前的學習中基本上是用聚合式思維，很少用發散思維來思考問題。對于發散思維的培養一定要根據具體的問題，讓學生經歷一個從了解到嘗試到理解到運用這樣一個逐步提高的過程。例如：

小明兩次總共購買了50千克蘋果，第二次比第一次數量要多，總共花掉了264元，兩次分別購買了多少千克蘋果？

這是一道二元一次方程組應用的問題，學生一上來可能會有點暈，不知道從何下手，不知道該用什么價格計算。最后，只能隨便找了兩個價錢，列出了兩個方程x+y=50，6x+5y=264。算出來第一次買了14千克，第二次買了36千克。應該說能算到這一步的學生還是比較聰明的一類，他能通過粗略的判斷找到需要的條件，只是考慮得不夠全面。實際上這道題目要分三種情況討論：（1）兩次都超過20千克不超過40千克；（2）第一次不超過20千克，第二次超過20千克不超過40千克；（3）第二次超過40千克第一次不超過20千克。在講解的時候運用啟發的方式一點一點提示讓學生思考之前忽略的問題，在老師的提示下列出所有的情況，再給出解答的規范過程。讓學生意識到，并不是所有的題目都只是一個答案，思考問題的時候要從多個方面進行，只有全面地把握題意才能正確解答。教師同時也利用這樣的機會在教學中滲透發散思維的思想，提高學生的思維能力。

四、結果與過程

初一的學生在解答問題的時候重視結果而不重視過程的描述。例如，在幾何解答題目中，有些學生只寫出了具體的數字算式，像“30度+20度等于50度，5厘米-3厘米=2厘米”等等，不說明這些量的名稱。這也是之前在小學形成的一種習慣。小學的題目中涉及的量比較少，而且小學生表達能力不夠強、思維缺少深刻性，所以在思維過程的表達上面缺少相應的高標準的要求。很多數學教師都會碰到這樣的問題，對于一道要求寫出必要的運算過程和文字描述的解答題目，有的學生只寫出了幾個式子，或者只有正確的結果。應該說這道題他會做，但就是說不清楚自己是怎么做的。所以，在教學中要刻意地提出一些描述思維過程的問題，來鍛煉學生的數學表達能力，作業中也需要提出針對性的要求，逐步地讓學生習慣于將自己的思維過程表達出來。所以，練習用數學語言表達問題，正是培養學生思維的深刻性和連續性的最好途徑。

總之，初一是小學和中學的過渡階段，在教學中，既要把學生當作是中學生，又要把他們當作是小學生，重視他們的思維由一個階段向另一個階段發展變化的銜接點，也就是所謂的最近發展區，科學地、有效地利用教學方法，培養、發展學生的思維。

編輯 謝尾合