利用數(shù)學教學中的一題多解，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維

李家慶

數(shù)學思維一般是指能夠根據(jù)客觀條件的發(fā)展和變化，及時地改變先前的思維過程，尋找新的解決問題的途徑。數(shù)學思維的靈活性，常表現(xiàn)在新知識的掌握、經(jīng)驗的積累、認識結構的改善、從已知關系中看出新關系、從隱蔽形式中分清實質(zhì)等方面。因而數(shù)學思維的靈活性集中地反映在解題過程中。那么在數(shù)學例題教學過程中怎樣應用一題多解、一題多變等手段培養(yǎng)學生數(shù)學思維的靈活性呢？我結合自己的教學實際談幾點看法。

一、例題教學中注重學生觀察力的培養(yǎng)

例題是教材的重要組成部分，例題教學是課堂教學中的一個重要環(huán)節(jié)，它是使學生獲得數(shù)學知識，掌握解題技能技巧，理解所涉及的數(shù)學思想方法，提高思維能力的主要渠道。教師在教學中應以本為本，以綱為綱，切實加強課本例題教學，培養(yǎng)學生的觀察能力，從而訓練學生思維的靈活性。

然后，兩種方法加以比較，學生大驚：原來還可以這樣做。

事實上，解題的靈活性是學生創(chuàng)造性學習的結果。而怎樣做才能盡量地讓學生進行創(chuàng)造性學習，到現(xiàn)在人們還無法給出一個固定的模式，很大程度上依賴于人們自己積累的富有創(chuàng)造性活動的經(jīng)驗。因此，在日常教學中我們采用的教學方法應有利于這種創(chuàng)造性經(jīng)驗的積累。這就要求我們教師在教學中從小處落筆，從細處抓起，引導學生認真細致地多觀察，日積月累，從而培養(yǎng)學生的觀察力、想象力，努力訓練學生思維的靈活性。

二、一題多解，拓寬學生思路

在數(shù)學教學中，深入挖掘題目的條件，發(fā)現(xiàn)已知、未知之間的關系，多方位、多角度地觀察和研究一個數(shù)學問題，尋求多種不同的解題思路和方法，是數(shù)學思維靈活性的重要標志，也是培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力、拓寬思路、綜合運用各種知識能力的重要標志和有效途徑。一題多解，從解題目的來看，在于找到最有效的解題方法；從思維訓練的角度來看，在于提高學生思維能力，培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)。

從以上幾種解法中，我們看到：解法一是根據(jù)方程的根的“本來面目”來思考的，學生容易想到；解法二是從方程的根與系數(shù)的關系出發(fā)來考慮，它抓住了數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系；解法三則是從另一個角度來思考的，與解法二的一個共同特點是用整體的思想和方程的思想將看作一個整體k，則只要列出關于k的方程，通過解方程就可使問題得到解決。

因此，教學中，教師應充分發(fā)揮教科書例題的作用，啟發(fā)學生積極思考，探索這些解題方法或證明方法，講明這些方法是怎樣想出來的。這對于學生融會貫通知識間的聯(lián)系，綜合運用各方面的知識，拓寬知識面，培養(yǎng)學生思維的靈活性大有幫助。

三、一題多變，培養(yǎng)學生思維的靈活性

“變”能使學生從不同角度考慮問題，發(fā)揮想象力、觀察力，發(fā)現(xiàn)異同，從而改變解題思路和方法。所以，在教學過程中，對例題和習題的條件和結論進行某些交換，題目原有的解法也相應發(fā)生變化，這樣的教學方法同樣有利于培養(yǎng)學生思維的靈活性。

例3.已知，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于弘AD，求證：DC是⊙O的切線。

證法如下：如圖1，連接OD，OA=OD ∴∠1=∠2

∵AD//OC ∴∠1=∠3 ∠2=∠4

∵∠3=∠4

∵OB=OD ∠3=∠4 OC=OC

∴△OBC≌△ODC

∴∠OBC=∠ODC

∵BC是⊙O的切線

∴∠OBC=90°∴∠ODC=90°

∴DC是⊙O的切線。

現(xiàn)將此題作如下幾種變換：

變換一：已知：BC是⊙O的切線，切點為B，DC切⊙O于D，OC平行于弦AD，求證：AB是⊙O的直徑。

證明：如圖2，連接BD

BC，CD分別切⊙O于B，D

∴CD=CB，OC⊥DB又∵OC//AD，∴∠ADB=90°

∴AB是⊙O的直徑

變換二：已知AB是⊙O的直徑，OC平行于弦AD，CD切⊙O于D，求證：BC是⊙O的切線。

證明：如圖3，連接OD

∵OC//AD，∴∠1=∠3，∠2=∠4

由∠1=∠2，∴∠3=∠4

又OD=OB，OC是公共邊，

∴△COD≌△COB，∴∠B=∠ODC

∵CD切⊙O于D，∴∠ODC=90°，∴∠B=90°∴BC是⊙O的切線

……

此題將題目中的某些條件和結論互換以后得到一些新題。

總之，在教學實踐中，教師應充分挖掘教材，提煉其中所蘊含的火花，并歸納總結上升到思想方法的高度，抓住實質(zhì)，揭示規(guī)律，從更高層次上發(fā)揮例題、習題的功能作用，提高學生分析問題、解決問題和探索創(chuàng)新的能力。

編輯 王團蘭endprint