小學數學抽象思想滲透的思考與實踐

黃德忠

《義務教育數學課程標準》（2011年版）（下面簡稱《標準》）已將數學基本思想納入義務教育階段的數學學習目標[1]。抽象是數學基本思想之一，通過抽象，“人們把外部世界與數學有關的東西抽象到數學內部，形成數學研究的對象”[2]。數學研究的對象是抽象了的東西，所以學習數學離不開抽象。受到小學生年齡特征和知識水平的局限，所以小學數學抽象思想教學方法主要是“滲透”。如何在小學數學教學中滲透抽象思想呢？我們從以下幾方面進行了思考與實踐。

一、 研究學習素材，挖掘抽象思想滲透資源

《標準》建議，“教材所選擇的學習素材應盡量與學生的生活現實、數學現實、其他學科現實相聯系，應有利于加深學生對所要學習內容的數學理解。”小學生學習數學常常依賴于具體的學習素材，第一學段學生尤其如此。小學數學教材中所選擇的學習素材也往往是蘊含數學知識的生活現實，但這些生活現實只是“舉例”，只是數學知識載體，是數學學習的“橋梁”，教材選擇這些生活現實的真正目的是通過這些“例子”引領學生理解和掌握這些“例子”所蘊含的數學知識，而這些數學知識要通過“抽象”才能獲得，因而要求教師要對教材中的學習素材進行研究、挖掘，即從這些具體的學習素材中要抽象出那些學生要掌握的數學知識以及如何讓學生感悟到抽象思想在數學學習中的作用。

我們以蘇教版一年級數學上冊教材《認數》單元所選擇的學習素材分析為例，從課題中我們已明白，本單元要求學生學會認“數（自然數）”，而這些“數”要從學生的生活現實中抽象產生。

教材以學生熟悉的“教師節快樂”節日現場為主題圖，并以學生現有的知識（數數）為支撐，學生邊數數（數氣球個數）邊抽象出自然數1、2、3、4、5……由于單一的數學現實不足以完成抽象思想的形成過程，況且學生的思維也會因“單一”而“定勢”。鑒于此，教材又在配套練習中選編了不同個數的黃瓜、辣椒、紅蘿卜、菠蘿、草莓、香蕉、梨、樹、花等學生熟悉的生活現實，進一步抽象概況出數字1、2、3、4、5……的數學模型。教師還可以引導學生運用抽象出的數來說說這些數還可以表示生活中的哪些數量，以此再把“純數學知識”運用到生活中去，體會“數學”與“生活”的聯系，學生也因此隱約體悟到抽象思想在數學學習中的作用。

隨著小學生年齡和數學知識的增長，一些已經抽象出的數學知識作為學習素材也會直接編入教材，目的是為了進一步抽象出其他數學知識，形成數學知識體系。

例如，一年級中有這樣的填數題：

8+□<12 8-□<3 6>14-□ 12>□+7

到了第二、三學段，教師就可以通過聯系上面此類素材引導學生抽象、構建出不等式數學模型，學生也因素材熟悉而不感到突然，抽象的過程也就水到渠成。

那么此素材在一年級教材中如何滲透抽象思想呢？經分析，這些“填數題”是要求學生在“□”中填一個合適的數，但教師應明白，若把“□”（“□”仍具有很強的直觀性）進一步抽象成“X”，則這些“填數題”就抽象成不等式，變元“X”就有確定的取值范圍，教師應當挖掘出教材的編排意圖，了解符號“□”在這里起“位置占有者”作用，把握素材蘊含的抽象的符號變元這一思想，從而引導學生思考、討論：“□”內最大能填幾？最小能填幾？最多能填幾個？而不僅僅是填幾個數了事。教材中蘊含的進一步抽象的數學思想使數學知識前后相互聯系、相互支持，形成體系，而不是孤立的知識點。

可見，抽象思想資源是要靠教師對學習素材進行研究、挖掘才得以“顯現”的，學生今后要逐步學習與研究的四則運算、幾何圖形、分數等數學知識都離不開抽象思想，所以不論哪一學段數學教師都要逐步、不斷地滲透抽象思想，唯如此，學生才能對抽象思想經歷一個從模糊到清晰的領悟過程。

二、 實施漸近原則，強調抽象思想滲透無痕

小學生數學抽象思想的形成，要無痕“滲透”，滲透時要把握好尺度，不能過早或過遲，要循序漸進、螺旋上升，切不可操之過急，試圖一步到位的做法是不可取的。因為學生對包括抽象思想在內的任何一種數學思想的認識都是在反復體會與領悟中得以形成的，它要經歷從個別到一般，從低級到高級，從感性認識到理性認識，從直觀理解到抽象概括的“小坡度”拾級而上的過程。

下面以蘇教版《有余數的除法》教學為例來理解二年級學生抽象思想逐步領會的過程。

1.從實物分配到算式運算過渡

對于小學生來說學習數學是從生活經驗開始的，在低年級學生腦子里“除法”“有余數的除法”就是“動手分東西”。 鑒于此，蘇教版教材在編寫時安排了小朋友“分鉛筆”的情境（主題圖），如圖2：

提出問題：把10枝鉛筆分給幾個小朋友，每人分得同樣多，可以怎樣分？小朋友操作時會“試”著進行分配“每人分2枝”和“每人分5枝”都沒有多余。列成除法算式是：10÷2=5（人）和10÷5=2（人）。

當每人分3枝時，就會發現：10枝鉛筆，每人分3枝，可以分給3人，但還剩1枝。每人分4枝、6枝都有剩余。

引導學生寫成除法算式：

10÷3=3（人）……1（枝）。

10÷4=2（人）……2（枝）。

10÷6=1（人）……4（枝）。

在分鉛筆過程中剩余的不夠再繼續分的鉛筆數：1（枝）、2（枝）、4（枝）就是余數。這里的從“鉛筆的實物分配”到“列除法算式”是一個抽象思想運用的過程，同時也抽象出了“余數”這一新的數學概念，為進一步抽象概括出余數的相關規律作了必要的鋪墊。

2.從算式特點抽象概括出余數的規律

教材繼續舉分實物的例子，要求學生列算式，不過和開始主題圖不同的是，此例并不要求學生再次真的“動手操作”，而是讓學生看著實物在腦子里想著“分桃子”“分氣球”，教材之所以這樣編排，可能是幫助學生經歷一個“半抽象”的過程，我們可以把這一過程看作是從“具體”到“抽象”的一個過渡，也是對學生多次反復地進行抽象思想的滲透過程，使學生逐步領悟到抽象思想在數學中運用。例如，學生根據“分桃子”圖抽象出算式：7÷3=2（盤）……1（個）；根據“分氣球”圖抽象出算式：17÷5=3（個）……2（個）。至此，學生已經從具體到抽象得出若干個“有余數的除法算式”（余數為0時，通常說是“整除”），火候已到，教材便提出問題：“比較每道題里的余數和除數的大小，你發現了什么？……”學生會趁熱打鐵再次將“余數”知識抽象概括到一般化規律層面。如抽象概括得出：余數一定比除數小，被除數等于除數乘商加余數等。

可見，小學生抽象思想的滲透要與具體知識教學相聯系，要順應學生認知發展規律，按照反復孕育→初步領悟→簡單應用的路徑逐步進行，這樣才能取得潛移默化、水到渠成的效果。

三、 突顯學生參與，為了抽象思想滲透對象

學生是學習的主體，意味著抽象思想滲透的對象是學生，教學的一切活動都必須建立在學生學的基礎上，因此，滲透數學抽象思想的前題是組織學生積極參與數學的學習活動全過程，此過程是學生在師生、生生互動中、在教師的引導下漸漸體會、領悟、形成、掌握抽象的數學思想過程。學生對具體的數學知識學習與對數學抽象思想的感悟有明顯的不同，學生對數學知識的學習主要是理解與記憶，而對數學抽象思想的感悟則重在體會與應用；學生數學學習主要是在數學活動中進行的，脫離了數學活動過程數學抽象思想的感悟也就成了空中樓閣。為更好地讓學生感悟抽象的數學思想，設計的數學活動一定要服務于學生的學習，適合學段學生的特點。

低段學生要體會抽象思想是要靠直觀教材輔助的，這是由低段學生的年齡特點與思維特征決定的。如在教學《認識角》時，為了讓學生抽象出“角有大有小，且角的兩邊張開大，角就變大；張開小，角就變小”這一特點。我們創編了很有數學味的“小紅帽造角”情境，旨在引導二年級學生積極參與到這個數學學習活動中，教師將角的這一特點的抽象過程設計在整個的教學活動中，最后引導學生很自然地抽象出角“變大、變小”的特點。

師：現在輕松一下，帶大家參觀一個工廠。

（學生高興極了！教師課件出示“造角廠”，學生有的驚訝，有的興奮……）

師：造角廠里有一個造角的機器，還有一個小工人，請出他們。

（課件顯示一個標上數字的鐘面和小紅帽，教師引導大家回憶鐘面上的相關知識。）

師：請大家看，小紅帽開始造角了。

（課件動態演示小紅帽分別拉動分針的過程，呈現出分針與時針的不同夾角，如圖3。）

（課件動態演示：從“分針與時針的不同夾角”抽象出數學上的平面圖形“角”——銳角、直角、鈍角。）

師：這些角中誰最大？誰最小？為什么？

……

小學生參與的數學抽象活動，往往不是“純抽象”的數學活動，而是要借助有趣的且又有數學味的生活情境，目的是通過“直觀”走向“抽象”，生活情境是學生通向抽象思想的“橋梁”。如本案例，通過“造角廠”這個情境，一方面在鐘面上造角，利用數格子的方法，將角的大小量化，變“機械演練”為“數學思考”，學生易于抽象出角有大有小的；另一方面，動態地呈現小紅帽造“角”的過程，將靜態的知識形象化、動態化，進而從契合了小學生好玩、好動、好奇的天性。小紅帽這一形象也讓學生感到親切，易于接受，整個學習過程充滿童真童趣。整個抽象思想學習過程水到渠成、潤物無聲，學生不知不覺中體會到抽象思想的作用。之所以設計這么有趣的數學活動，目的是為了讓學生更好地體會抽象的數學思想。

綜上我們不難發現，小學數學概念的獲得、法則的概括、規律的探索、解決問題策略的提煉等所有數學知識的學習都離不開抽象，數學知識的探究過程實質上也是數學抽象思想的感悟過程，抽象思想的教學要融入到具體的數學知識教學過程中，讓學生在數學知識的探究過程中逐步領悟抽象的數學思想。抽象思想的教學不是通過幾堂課就能完成的，需要教師把抽象思想的教學要求作為數學教學目標納入到日常教學的備課環節、課堂之中和課后反思的全過程中，需要教師深研教材，充分挖掘具體的數學學習素材所隱含的抽象思想，抓準抽象思想與具體數學知識的結合點，進行長期的無痕滲透，使學生都能夠順利地獲得抽象思想這一數學學習的法寶，從而實現學生數學素養的提升。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.（2011年版）義務教育數學課程標準[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 史寧中.漫談數學的基本思想[J].中國大學教學，2011（7）.

[3] 史寧中.數學的基本思想[J].數學通報，2011（1）.

【責任編輯：陳國慶】