基于TrTS取樣的股票收益率RV測度的改進

趙軍力，梁 循

(1.中國人民大學信息學院，北京 100872; 2.上海交通大學安泰經濟與管理學院，上海 200030)

基于TrTS取樣的股票收益率RV測度的改進

趙軍力1,2，梁 循1

(1.中國人民大學信息學院，北京 100872; 2.上海交通大學安泰經濟與管理學院，上海 200030)

由于噪聲的存在使得高頻數據的分析過程存在著諸多困難，本文探討了高頻數據情況下的金融資產收益率已實現波動率的估計問題。在離散化的跳躍模型基礎上，通過混合泊松分布而非傳統的連續擴散模型來描述價格過程，并進一步提出了不同于以往文獻研究的噪聲假設，即在獨立同分布的噪聲假設基礎上放松約束條件，保持噪聲的獨立性，但是允許噪聲強度隨時間變化，以此改善了傳統的固定時間間隔取樣模式。為了進一步改善估計效果，我們結合了TrTS(Transaction Time Sampling)以及一階偏誤修正的RV(realized variance)估計方式RVAC(1) (first-order AutoCorrelation to RV)。對來自兩個交易所不同板塊股票的價格數據進行的實證研究結果表明，本文的估計方式雖然對于個別股票價格數據會產生與實際背離潛在真實價格參數，但整體上對于已實現波動率的估計效果是比較穩健的。

金融高頻數據；金融資產收益率波動性；市場微觀噪聲；混合泊松分布

1 引言

隨著金融市場的快速發展以及更多復雜金融工具的誕生，對于金融時間序列所蘊含的波動性有一個理論與實踐上的深刻認識變得越來越重要。許多波動性相關模型被提出來，比如最初的GARCH模型(Generalized Autoregressive Conditional Heterosk- edasticity), 后來逐漸發展起來的隨機波動(Stochastic Variance, SV)模型，以及指數平滑移動平均模型。然而，相關文獻分析指出大多數的潛在波動性模型不能夠充分的描述實際觀察到的金融時間序列的典型特征。例如，GARCH模型雖然能夠對波動性集群現象進行比較好的描述，并可通過模型擴展(例如EGARCH)對杠桿效應進行一定的刻畫，但是對于金融時間序列厚尾性(Heavy Tail)的典型特征的刻畫與實際數據的測量存在較大的差距，并且由于對參數限定條件較強導致了參數估計較困難[13]。SV模型雖然繼承了GARCH模型的優點并且在厚尾性的刻畫上得到了比較大的改進[15]，但其參數估計仍然相當的困難，并且由于模型的相對復雜使得實際應用能力大大減弱[13-15]。因此，隨著金融高頻數據的可獲得性日益增強，高頻數據所蘊含的大量的價格信息使得非模型化的波動率的描述手段得到了很大的發展[16]，其中對于金融資產收益率已實現波動性(Realized Variance, RV)的研究更是相當的眾多。當有效價格過程可以被觀測的時候，傳統的收益率平方和在高頻取樣情況下得出關于波動性的無偏估計。然而在實際情況下，市場微觀結構產生的噪音(Microstructure Noise)會導致觀測價格與有效價格之間產生偏離[4]，從而使得RV成為積分波動率IV(Integrated Volatility)的一個非一致估計量[9]。而且隨著取樣頻率的增大，誤差項也會不斷增大。為了充分利用高頻數據中蘊含的大量信息需要盡可能高的取樣頻率來獲取更多的分析數據，但是現實中市場微觀結構不完善等原因使得高頻收益率之間會產生一定的相關性，這便要求我們選擇合適的取樣頻率以及取樣模式來權衡數據信息的利用程度和相關性導致的估計偏誤。

在實際研究中，除了利用估計偏誤來判斷IV估計量的優劣外，另一個更加重要的指標是MSE(Mean Squared Error)。實際數據與理論假設存在差別使得采用傳統的RV估計量時不能任意提高取樣頻率，而是需要選取一個適中的取樣頻率以在估計偏誤與估計方差之間權衡，多數文獻以最小化MSE為標準選取最優取樣頻率。很多文獻對于IV的估計進行了改進，比如稀疏取樣法，過濾法，核函數法[2]等，本文則通過放松基礎的噪聲假設，在原來i.i.d.噪聲假設下引入可變的噪聲強度，以此調節已有的固定間隔取樣模式，提高RV估計的合理性。

文章其余的部分結構如下：第二部分回顧已有的純跳躍價格模型，并介紹了本文改進RV測度的理論基礎；第三部分簡單介紹了兩個已有的主要改進方向，闡述了非固定取樣間隔的實現方式；第四部分延續已有的穩健性分析方式，簡述非固定取樣間隔情況下穩健性分析原理；第五部分并對現實的高頻數據進行了初步RV估計以及穩健性分析；第五部分為總結。

2 模型

2.1 模型描述

定義1:{ p(t) }t∈[a,b]為時間段[a,b]內所觀測到的交易價格的對數的集合。

在已有文獻中，關于高頻金融數據的分析大多是建立在連續時間序列的基礎上，一般簡單的假設對數價格服從以下連續擴散隨機波動過程：

dp(t+τ)=μ(t+τ)dτ+σ(t+τ)dW(t+τ)

(1)

其中，W(u)是一個Brown運動，σ(t)描述價格的瞬時波動性，用以對市場的局部特征進行刻畫，且W(u)與σ(u)相互獨立。u(t)描述價格的漂移成分，于是：

(2)

IV即我們所要估計的積分波動率，它刻畫了收益率在[a,b]時間段內的潛在波動性。在充分高的取樣頻率下，任一固定時間間隔內的收益率方差可以用這一時間段內收益率的平方和估計，即：

(3)

(4)

由上可知：

(5)

k>1時，cov(R(Δtj,tj),R(Δtj-k,tj-k))=0

(6)

進而：

(7)

隨著取樣頻率的增大，誤差項會不斷增大。

在本文中，我們效仿Oomen[1]所采取的基于離散化的過程引入市場微觀噪聲，假設觀測到的對數價格序列是一個純粹的跳躍過程。雖然離散模型與連續擴散模型在形式上具有較大的區別，但是兩者在一定的假設條件下會得出許多一致性的結論，具體的證明過程可參見Oomen[5]。在跳躍過程假設下，P(t)遵循一個下列形式的混合泊松過程：

(8)

通過賦權的方式將可變的噪聲強度引入取樣頻率的選擇過程中，以此修正傳統的固定間隔取樣模式。當= 0的時候，(7)式對應著CPP-MA(0)模型，即不存在微觀噪聲的理想化模型；當> 0，q=1時，與之相對應的是i.i.d.MonotypeCorsiva的噪聲結構，此時的CPP-MA(1)模型為：

(9)

2.2 模型分析

在CPP-MA(1)假設下，[ t-τ, t ]時間段內的對數收益率為:

(10)

有如下關系：

(11)

(12)

本文在傳統的標準i.i.d.噪聲假設基礎上引入可變的σv2，并根據CPP-MA(1)調整原來固定的取樣頻率。為了使得RV的分析能夠更加容易進行，我們不改變對于σε2的假設，即(2)中關于有效價格的性質保持不變，這樣便使得在我們改進后的假設下的IV與傳統假設下RV的估計目標保持一致，使得傳統的穩健性分析手段得以適用。

在已有文獻的分析中普遍認為，當日交易的密集程度以及噪聲比率是影響取樣頻率的主要因素，在TrTS模式下，隨著交易密集度的增大，噪聲強度的減弱，最優取樣頻率增大，估計效果也會得到改善。Oomen[5]針對這一問題對IBM2000年至2003年的日間數據做了以下回歸分析

(13)

其中, Ft為第t日的最優取樣頻率的估計值。

下面，我們結合已有的日內噪聲比率不變假設下的取樣模式，通過賦權的方式引入可變噪聲比率對原來的固定取樣間隔進行調節，得到可以根據局部噪聲強度進行相應調節的可變取樣間隔，以求得到更加有效的IV估計。并且按照我們的初步的分析可得，隨著噪聲強度的增強，取樣間隔會相應的擴大。

3 測度的改進

3.1 RV測度的改進

由于實際數據與理論假設存在差別，導致已有的RV測度會不可避免的產生偏誤。已有很多文獻對于RV測度提出了不同改進方案，并對不同改進機制之間的優劣進行了模擬分析[12]。本文主要關注以下兩個改進方向：

3.1.1 通過對取樣頻率與取樣模式的選擇來改善估計結果

高頻數據之間的相關性使得實際數據與理論假設的情況產生偏離，從而影響估計的準確性，取樣頻率的太高會導致收益率之間的相關性增強，估計的偏誤增大，取樣頻率過低則會導致數據中包含的價格信息不能夠被充分利用，使得有效性減弱，因此大多數文獻以最小化估計的MSE為原則來確定最優取樣頻率Nz*：

(14)

其中，z代表不同的取樣模式，比如CTS(Calendar Time Sampling)、BTS(Business Time Sampling)、TrTS、TkTS(Tick Time Sampling)。下面我們將分別討論這四種模式。

(4)按照交易價格變化取樣(TkTS)：選取所有價格相對于前一價格發生變化的觀測點作為樣本，在此基礎上取樣計算。

Oomen[4]的研究表明，在每種取樣模式對應的最優取樣頻率附近，TkTS優于TrTS，TrTS優于CTS，尤其是在交易密度變化較大的時候，TrTS與TkTS的優勢會更加的明顯，但是不同的取樣模式下噪聲的特性也會發生變化。本文在TrTS基礎上對其取樣模式進行初步改進。

3.1.2 通過直接修正傳統RV估計量來得到無偏估計

這一思想最早由在Hansen和Lunde[7]一文中提到，在傳統的i.i.d.噪聲假設，用基于樣本數據求出的相關性數據對原始RV進行修正，并進一步給出了無偏的RVAC(First-order AutoCorrelation to RV)及其MSE表達式。由于改進后的RVAC仍基于i.i.d.噪聲假設，導致在取樣頻率非常高的情況下仍會產生偏差，但其效果仍優于傳統的RV估計量。Hansen和Lunde在之后的文獻中根據更加一般性的噪聲假設改進了RVAC估計量，使其能夠修正噪聲之間的序列相關以及噪聲與有效價格之間的相關性[8-9]。在修正取樣頻率后，本文計算RV的過程也將借鑒RVAC估計量：

(15)

公式qm中，m為取樣頻率，q為修正階數。在i.i.d.噪聲情況下，q = 1。

研究表明，不同的噪聲假設對IV估計的改善程度隨著取樣模式的改變以及所處理的價格對象的不同而不同：當我們處理買賣報價而非交易價格時，廣義的噪聲假設會更加符合現實情況[6]，但在處理交易價格時，更加一般化的噪聲假設相對于傳統i.i.d.噪聲假設的優勢并不明顯。本文是在交易價格基礎上進行研究的，因此選擇在傳統i.i.d.噪聲假設基礎上進行改進。

3.2 基于TrTS的RV測度的改進

3.2.1 計算出日間噪聲強度σv2隨時間的變化路徑

由于結合(11)、(12)兩式計算不同時點的噪聲強度要求多個交易數據聯合求解，本文采用移動平均的方式，并對不同計算區間及移動間隔進行了對比分析。以隨機選取的平安銀行(000001.SZ)在2013-02-21的高頻交易數據為例，我們分別按照計算區間為120s、240s，移動間隔為30s、60s，進行了簡單分析，結果如圖1所示。在圖中，(a)為計算區間為120s，移動間隔為30s情況下的移動平均計算結果；(b)為計算區間為120s，移動間隔為60s情況下的移動平均計算結果；(c)為計算區間為240s，移動間隔為30s情況下的移動平均計算結果；(d)為計算區間為240s，移動間隔為90s情況下的移動平均計算結果。橫軸表示時間，縱軸表示σ2的估計，紅線為σv2的估計路徑，藍線為σε2的估計路徑。從圖中可以得出3條結論：(1)收益率之間的一階自相關系數均為負值(即-σv2為正)，與CPP-MA(1)的假設一致。但是，由于(12)式在估計過程中未限定σε2的符號，因此在某些樣本數據下便會得到負的σε2估計量，但是σε2整體上還是處于正值部分，這也符合CPP-MA(1)的假設。考慮到σε2估計量存在的問題，我們在調整取樣頻率的過程中運用此處所得σv2的估計量，而對σε2采取調整估計區間長度的方式改善估計結果。(2)移動間隔的變化更多地影響了估計路徑的平滑性，隨著移動間隔的縮短，估計結果將更加平滑；而計算區間的長度則會對整體波動性水平產生較大的影響，計算區間的擴大將熨平噪聲強度的波動，當計算區間擴展為一整天便與傳統的i.i.d.假設相一致了。(3)傳統的日內噪聲強度恒定的假設存在較大的不足之處。此處考慮到計算區間長度可能導致的偏誤以及從平滑性，我們暫且采取間隔120s的計算長度以及30s的移動長度。文中利用WIND咨詢金融終端所提供的股票交易數據進行分析。

3.2.3 權重因子的引入及非固定間隔取樣的實現

利用前兩步所得的σv2與σε2的估計，對每個交易價格賦權，即改變傳統取樣中每個交易價格等權重的假設，通過引入基于噪聲強度的權重因子對每個交易價格區別對待。然后在傳統的固定取樣頻率基礎上，取代每隔N個交易價取樣，采用每隔N個權重單位來取樣。在新的非固定取樣長度下得到相應的價格點，結合RVAC一階偏誤修正方法求得新方法下的RV估計量。

關于初始的取樣頻率的選擇，我們選取Oomen[4]所提出的基于MSE的最優取樣頻率：

(16)

可用當天發生的交易次數M(1)作為Λ(1)的無偏估計。由上式容易看出每個取樣長度對應的交易次數正比于2/3。因此，根據之前估計的σv2及σε2的估計量，將每個觀測價格按照?2/3賦權，其中?= mean(σv2) σε2/ σv2mean(σε2)。然后按照每相隔*個權重單位進行以抽樣的方法，這樣便將已知的可能影響取樣頻率的三個主要因素全部涵蓋進了取樣頻率的選擇過程中。仍以平安銀行(000001.SZ)在2013-02-21的交易數據為例，除去9:30之前與15:00之后的數據。通過JAVA編程計算所得的取上下午時間段計算當日的交易價格的權重路徑見圖2中藍線所示，最終得到RVAC= 6.858。當我們將下午時間段再次平分，所得的權重路徑見圖2中紅線，圖中可以看出進一步細分σε2計算區間對于權重w的計算結果影響不大，并且所得RVAC= 6.78，也與原計算結果比較相近。而且從圖中可以看出，對不同時間點的交易價格所計算的權重相差較大，而在傳統的固定間隔取樣模式下是假設全天的噪聲比率為恒定值，也即權重路徑為一條水平線，其顯然與我們的實際測量存在較大差距，進一步揭示了傳統的固定間隔取樣模式的不足之處。

圖1 2013-02-21平安銀行(000001.SZ)的交易明細在不同移動平均模式下的估計

圖2 平安銀行在2013-02-21的交易數據

4 穩健性分析

通過以上方法得到RV之后，仍需要進一步探討所得RV估計的可靠度。已有的針對RV有效性的分析方法主要有通過MSE指標的變化來對比分析不同估計方法的優劣[1,11]，以及通過實證數據構造置信區間的方式來分析所得RV的可靠性[8]。由于本文中還未給出估計方式所得到的RVAC的MSE的表達式，從可行性的角度靠考慮，我們選取Hansen和Lunde[8]所提到的構造平均每日波動性置信區間的方式，來考察本文所得到的RVAC是否位于在平均日波動性的周圍，而平均日波動性可以通過計算低頻取樣所得的每日RV的平均值很好地估計。

(19)

5 實證分析

5.1 RV估計

為了進一步分析非固定取樣方式所得到的RV估計結果，我們在上證A股，深圳A股，中小企業板，創業板各選取了5只交易次數較多的股票在一周內的交易數據(2013-04-8至2013-04-11)進行了分析。這20只股票為：上證A股的首創股份(600008.SH)、包鋼股份(600010.SH)、民生銀行(600016.SH)、保利地產(600048.SH)、上汽集團(600104.SH)，深圳A股的平安銀行(000001.SZ)、中興通訊(000063.SZ)、海王生物(000078.SZ)、濰柴動力(000338.SZ)、中原特鋼(002423.SZ)，中小企業板的華邦穎泰(002004.SZ)、華蘭生物(002007.SZ)、大族激光(002008.SZ)、科華生物(002022.SZ)、海鷗衛浴(002084.SZ)，創業板的機器人(300024.SZ)、華誼兄弟(300027.SZ)、國騰電子(300101.SZ)、樂視網(300104.SZ)、天立環保(300156.SZ)。

為了處理σε2為負的情形，我們分別以上下午為時間段對其進行估計，若仍為負值，則以整天數據進行估計以保證權重非負。計算結果見表1，其中***表示出現漲停板的股票。(·)為σε2的估計長度調整為全天以獲得非負估計的情況，[·]表示在全天時長下σε2仍為負值的情況。

5.2 穩健性分析

我們仍以前面所選的20只股票為例，在表1的基礎上，進一步得到的它們RVAC均值與90%的置信區間(表2)。由表2可以看出，除一只股票(600048.SH)均值稍高于置信區間上界外，其余RVAC估計值均在置信區間之內，表現出較好的穩健性。

為了進一步觀察計算結果的穩健性，我們又選取了兩只深圳交易所上市股票平安銀行(000001.SZ)與茂華實業(000637.SZ)在2013-02-21至2013-03-21期間的交易數據進行分析，這次將移動平均處理過程中的估計區間長度調整為240s，移動間隔調整為60s。每日RVAC估計值以及對應的90%置信區間如表3所示，從表中看出，估計值均在置信區間之內，且估計所得的RVAC均值都處在置信區間偏中間部分，表現出較好的穩健性。

表1 在CPP-MA基礎上利用移動平均計算所得的20股票一周內的RVAC

表2 十只典型股票在兩周內的RVAC估計的均值及日平均波動性90%置信區間所對應的上下限

表3 平安銀行(000001.SZ)以及茂華實業(000637.SZ)在2013-02-21至2013-03-21期間的交易數據

6 結語

本文針對金融高頻數據，在已有的RV估計方法的基礎上，借鑒了Oomen[1,4]以及Hansen& Lunde(2004)[7]的研究成果，對RV測度做了進一步的試探性改進。文章建立在離散化價格變化路徑基礎上，假設價格服從一個混合泊松過程，并進一步放松了傳統的標準i.i.d.噪聲假設，保持噪聲因素之間的獨立性的同時引入異方差性，并在此基礎上改進了以往的固定間隔取樣模式。通過對實際股票價格數據研究發現，此估計方式雖然對于個別股票價格數據會產生與實際背離潛在真實價格參數(σε2)，但整體估計效果比較穩健。

文中仍存在不足之處，有待在進一步研究。例如，文中雖然針對已有RV估計提出了一種新的度量方式，但并未給出其數理特性，比如MSE的表達式。在對被我們放松假設約束的市場微觀結構噪聲的性質有一個比較清晰的認識之前，很難像已有的一些RV估計方式那樣給出RV的統計分布[3,11]。因此分離出的噪聲強度的變化路徑以及其產生的微觀基礎的研究便成了我們進一步改進以上估計方式的下一個側重點，這有待今后進一步的理論和實驗分析。

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An Improvement on the Estimate of Realized Variance of Stock Yield Based on Transaction Time Sampling

ZHAO Jun-li1,2, LIANG Xun1

(1.Renmin University of China, School of Information, Beijing 100872, China;2.Shanghai Jiao Tong University,Antai College of Economics and Management,Shanghai 200030,China)

The analysis of high-frequency data is diffucult, because of the white noise. In this paper, the estimate of RV on financial assets is studied, especially when high frequency asset prices are available. The analysis is based on a pure jump process for prices. The compound Poisson process (CPP) is introduced to describe the dynamics of price.Additionally, a new assumption is made on noise that generalizes the traditional i.i.d.one, which allows the variance of noise varying across the day. With the CPP model, the path of noise is separated from the observed price and then the noise path is used to improve the traditional sampling scheme. For further improvement, our new sampling scheme is combined with the transaction time sampling scheme and the first-order correction RV. Experiments on the stock price data from both stock exchanges in China demonstrate that although our estimator may produce an outlier occasionally, it can pass the robustness tests in general.

high-frequency data; realized variance; microstructure noise; compound Poisson process

2013-04-22；

2014-07-21

中國人民大學科學研究基金項目(10XNI029)； 北京市自然科學基金資助項目(4132067);國家自然科學基金資助項目(71271211)

趙軍力(1990-)，男(漢族)，山東人，中國人民大學信息學院，研究生，研究方向：金融資產收益率波動性研究.

1003-207(2015)07-0026-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.07.004

F830.91

A