微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用

藺守臣

摘要：通過(guò)應(yīng)用微積分知識(shí)解決物理量的變化率、電容器充放電以及運(yùn)動(dòng)學(xué)變量求解等問(wèn)題，同時(shí)結(jié)合具體的實(shí)例來(lái)探討求證，為解決一些初等物理問(wèn)題提供了一些新的思路，體現(xiàn)了微積分在物理學(xué)中的作用。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 微分 積分 定積分

高等數(shù)學(xué)中的微積分不僅是一些計(jì)算公式，更包含了一種數(shù)學(xué)思想。微分的思想就是“無(wú)限細(xì)分”，而積分的思想就是“無(wú)限求和”。其中的“無(wú)限”便是極限，極限是用運(yùn)動(dòng)的思想分析和解決問(wèn)題，是微積分思想的基礎(chǔ)。正因如此，微積分在生活中各個(gè)領(lǐng)域、各個(gè)學(xué)科中都有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。

一、導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)是指當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。

1.物理量的變化率求解

變加速直線運(yùn)動(dòng)中，有位移、時(shí)間、速度、加速度等物理量，而加速度就是速度的變化率。解決這類問(wèn)題較為直觀的是利用v-t圖像，加速度a就是圖像的斜率（即a=△v/△t），面積便是位移s，而圖像的斜率和面積是幾何意義上的微積分。

3.積分

積分是微分的逆運(yùn)算，在實(shí)際應(yīng)用中，被大量應(yīng)用于求和，通俗的說(shuō)是求曲邊三角形的面積。

仍以引子中電容器的問(wèn)題為例，如果把從0到t時(shí)間內(nèi)的△q加起來(lái)，用求和符號(hào)“∑”表示，則有：q=∑i△t。因?yàn)閠=N△t，當(dāng)△t取無(wú)窮小時(shí)，i△t便有N→∞個(gè)，因此要把無(wú)窮個(gè)i△t進(jìn)行相加，方便起見(jiàn)，可以用微積分符號(hào)idt表示q=lim∑i△t=idt，稱為對(duì)i在時(shí)間上求積分。

這樣做的意義在于：從i-t圖像上看，q=limt∑i△t=idt就是i-t圖像中的面積。若是恒定電流，△q=i△t，即小塊矩形面積；若為變化的電流，用△q=i△t來(lái)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)有一小塊近似三角形面積的誤差，但是當(dāng)△t取無(wú)窮小時(shí)，該誤差會(huì)無(wú)限接近為零，可以忽略不計(jì)，計(jì)算的面積無(wú)限接近于實(shí)際面積。

4.定積分

定積分就是求函數(shù)f（X）在區(qū)間[a，b]中圖線下包圍的面積。即由y=0，x=a，x=b，y=f（X）所圍成圖形的面積。這個(gè)圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形，可以通過(guò)以下幾個(gè)小例子看到定積分在物理學(xué)中的作用：

（1）勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移問(wèn)題

研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以把時(shí)間無(wú)限細(xì)分。在每一份時(shí)間內(nèi)，速度的變化量非常小，小到幾乎可以忽略，認(rèn)為物體在做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)已有知識(shí)位移可求；接下來(lái)把所有時(shí)間內(nèi)的位移相加，即“無(wú)限求和”，則總的位移可以知道。由此可以理解，物體在變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)候的位移等于速度時(shí)間圖像與時(shí)間軸所圍成圖形的面積。

（2）變力做功問(wèn)題

變力做功問(wèn)題不能直接利用公式，可以把位移無(wú)限細(xì)分，在每一份位移上，幾乎可以看作是恒力做功，根據(jù)公式算出力所作的功，再無(wú)限求和，即求積分，就可以求出變力做的總功。

綜上所述，利用微積分的一些思想、觀點(diǎn)、原理和方法，可以拓展解題思路，從更深刻的層面理解物理規(guī)律，使得繁瑣的解題過(guò)程更加清晰。微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用還很多，值得做更多更深入的探究和考證。

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