注重數(shù)學(xué)思考 培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維 滲透數(shù)學(xué)思想

張志平+宋俊

本冊教材包括以下內(nèi)容：負(fù)數(shù)，百分?jǐn)?shù)（二），圓柱與圓錐，比例，數(shù)學(xué)廣角，整理和復(fù)習(xí)，綜合與實踐活動。和實驗教材相比，主要是細(xì)節(jié)部分發(fā)生變化。（見下表）

[教學(xué)內(nèi)容＼&修改說明＼&百分?jǐn)?shù)（二）＼&將原六年級上冊的百分?jǐn)?shù)的特殊應(yīng)用（折扣、成數(shù)、稅率、利率）移到本學(xué)期。＼&統(tǒng)計＼&將原六年級下冊綜合應(yīng)用學(xué)過的統(tǒng)計知識單元刪除。＼&整理和復(fù)習(xí)＼&將原四部分內(nèi)容（數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與可能性、綜合應(yīng)用）編排成五部分（數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、數(shù)學(xué)思考、綜合與實踐）。＼&實踐與綜合應(yīng)用＼&六年級上冊的“合理存款”移至六年級下冊并改為“生活與百分?jǐn)?shù)”。＼&]

第一單元??負(fù)數(shù)

（一）單元總體闡述

本單元內(nèi)容是在學(xué)生認(rèn)識了自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生熟悉的生活情境認(rèn)識正負(fù)數(shù)。

（二）與原教材相比的變化

[實驗教材＼&修訂教材＼&例2?生活中的正負(fù)數(shù)例3數(shù)軸上的正負(fù)數(shù)＼&例2、例3新教材更加強調(diào)結(jié)合具體的量認(rèn)識正、負(fù)數(shù)的現(xiàn)實含義，減少抽象的概念。＼&例4?比較數(shù)的大小＼&例4刪除正數(shù)、0、負(fù)數(shù)比較大小的內(nèi)容，降低難度。＼&]

（三）整個單元的具體編排

選取學(xué)生熟悉的生活情境，加深對正負(fù)數(shù)意義的理解，初步建立了數(shù)軸的模型，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。

例1溫度中的負(fù)數(shù)，實驗教材只出現(xiàn)16℃和-16℃兩個數(shù)，新教材用六個城市的天氣預(yù)報這一素材，出現(xiàn)12個數(shù)，這12個數(shù)中，有正數(shù)，有0，有負(fù)數(shù)，一開始出現(xiàn)0℃，表示正負(fù)數(shù)的分界點，并結(jié)合小精靈提出的問題“-3℃和3℃各表示什么意思？”來認(rèn)識正負(fù)數(shù)的現(xiàn)實含義，使學(xué)生對正負(fù)數(shù)的現(xiàn)實意義理解得更加深入。

例2收支中的負(fù)數(shù)，通過呈現(xiàn)存折上的明細(xì)讓學(xué)生進(jìn)一步體會正負(fù)數(shù)的含義，認(rèn)識怎樣用正負(fù)數(shù)來表示收入或者支出。

例3數(shù)軸上的負(fù)數(shù)，素材與實驗教材相同，通過東西向認(rèn)識數(shù)軸上的正數(shù)、負(fù)數(shù)。借助具體情境引出數(shù)軸的概念，幫助學(xué)生建立直觀模型。初步滲透數(shù)軸的概念，使學(xué)生初步體會數(shù)軸上正負(fù)數(shù)的排列規(guī)律，從而形成比較完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（四）單元教學(xué)的建議

1.教學(xué)時一定要在實際的生活情境中認(rèn)識負(fù)數(shù)。

2.結(jié)合現(xiàn)實素材對正、負(fù)號所表示的含義加以區(qū)分。

第二單元??百分?jǐn)?shù)（二）

（一）單元總體闡述

本單元在學(xué)生已掌握百分?jǐn)?shù)意義的基礎(chǔ)上，編排了解決百分?jǐn)?shù)實際問題的例題，具體內(nèi)容為：折扣、成數(shù)、稅率、利率。

（二）與原教材相比的變化

[實驗教材＼&修訂教材＼&例4折扣

例5稅率

例6利率＼&1.“成數(shù)”的內(nèi)容原為六年級上冊的“你知道嗎”，新教材變成正式教學(xué)內(nèi)容（例2）。

2.新編了例5“購物中的實際問題”。＼&]

（三）整個單元的具體編排

新教材把實驗教材六年級上冊的百分?jǐn)?shù)分成兩段（百分?jǐn)?shù)的意義的理解和百分?jǐn)?shù)的具體應(yīng)用），把有關(guān)百分?jǐn)?shù)的具體應(yīng)用移至本冊。

例1折扣，與人們的生活聯(lián)系密切，教學(xué)中使學(xué)生理解“打幾折”實質(zhì)上是求一個數(shù)的百分之幾是多少的問題。可適當(dāng)補充對比，如：生活中出現(xiàn)的“OFF，70%”和“打七折”表示的意思有什么不同等。

例2成數(shù)，表示方法要重點講解，溝通成數(shù)和折扣之間的關(guān)系，比如說“三成五”如果用折扣怎么表示。

例5解決實際問題。編排了一個生活中購物的實際問題，一個是商場打五折，這個比較好理解，另一個商場“滿100元減50元”也是學(xué)生在實際生活中經(jīng)常碰到的促銷方式，這需要學(xué)生去理解。還可適當(dāng)補充一些問題讓學(xué)生思考：不計算，知道哪個商場的折扣多嗎？在B商場，相當(dāng)于打了幾折？什么時候兩個商場折扣差別最小？什么時候差別最大？

（四）單元教學(xué)的建議

1.加強數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。

2.開放教學(xué)過程，培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。

第三單元??圓柱與圓錐

（一）單元總體闡述

學(xué)習(xí)本單元內(nèi)容有利于發(fā)展學(xué)生的空間觀念，為進(jìn)一步應(yīng)用幾何知識解決實際問題打下基礎(chǔ)。

（二）與原教材相比的變化

[實驗教材＼&修訂教材＼&例5圓柱的體積公式推導(dǎo)

例6圓柱的體積的應(yīng)用＼&1.圓柱的體積略微調(diào)整，刪除“什么叫物體體積？”這一問題。

2.增加例7，新編了一道“解決實際問題”的例題;增加“你知道嗎？”關(guān)于圓柱容球的知識。＼&]

（三）整個單元的具體編排

本單元是一個傳統(tǒng)單元，和原來的教材編排基本一樣，但可以看到一些細(xì)節(jié)上的變化。

例4是一個圓柱表面積的具體應(yīng)用，一個廚師帽只需要計算一個底面就可以了，不需要計算所有的面。多項練習(xí)中的實際情況都需要學(xué)生去理解，自己去判斷表面積包括哪些面，這些面是怎樣的圖形。涉及到圓的周長、面積，圓柱的表面積和體積的計算，建議教師讓孩子使用計算器計算，或者讓孩子帶著π去計算，最后再將π的數(shù)值3.14代入。

例7是體積的具體應(yīng)用。教材是靜態(tài)的呈現(xiàn)，教學(xué)時，這個例題要充分體現(xiàn)新課標(biāo)提出的“四基四能”，首先在基礎(chǔ)知識中涉及到容積的概念、圓柱體積的計算，有關(guān)的基本技能，如測量和計算，還涉及到基本的數(shù)學(xué)思想：將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的思想，需注意轉(zhuǎn)化過程中什么條件是變的、什么條件不變。

（四）單元教學(xué)的建議

1.加強數(shù)學(xué)知識與實際生活的聯(lián)系，提高運用所學(xué)知識解決實際問題的意識與能力。

2.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的探索過程，培養(yǎng)自主解決問題的能力。

3.充分關(guān)注操作與想象相結(jié)合，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，如旋轉(zhuǎn)的操作，切面的操作等。

第四單元??比例

（一）單元總體闡述

比例在生活和生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用，比例的學(xué)習(xí)為初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等知識打基礎(chǔ)。

（二）與原教材相比的變化

[實驗教材＼&修訂教材＼&例1比例的意義和性質(zhì)

例2解比例＼&“比例的基本性質(zhì)”中增加了讓學(xué)生用字母來表示比例基本性質(zhì)的內(nèi)容。＼&例1、例2、例3成正比例的量、成反比例的量＼&1.將標(biāo)題“成正比例的量”“成反比例的量”改成“正比例”“反比例”。2.改編了正比例的素材。＼&例2根據(jù)比例尺和圖上距離求實際距離

例3綜合運用比例尺解決實際問題

例5、例6應(yīng)用正、反比例的意義解決問題＼&1.增加一道求比例尺的例題，改編了應(yīng)用比例尺畫平面圖的例題，降低了難度。

2.練習(xí)部分增加了一些有利于學(xué)生自主探究、有利于培養(yǎng)學(xué)生實踐能力的綜合性習(xí)題。＼&]

（三）整個單元的具體編排

1.比例的基本性質(zhì)，增加了“小精靈”的提問“你能用字母表示這個性質(zhì)嗎？”編者意圖是促進(jìn)學(xué)生思維的一般化。解比例并不一定要學(xué)生完全用比例的基本性質(zhì)來進(jìn)行，方法可以靈活多樣。

2.正比例和反比例。新教材從這一部分開始讓學(xué)生接觸函數(shù)的思維。將標(biāo)題“成正比例的量”“成反比例的量”改成“正比例”“反比例”，意圖是突出量與量之間的關(guān)系。這個單元以后的學(xué)習(xí)慢慢從算數(shù)向關(guān)系型的代數(shù)思維轉(zhuǎn)化，學(xué)生應(yīng)充分體會這樣的函數(shù)思想。

接觸正比例時，利用學(xué)生最熟悉的、最簡單的數(shù)量關(guān)系來引出量與量之間的依存變化關(guān)系。加強了正比例的意義與圖像的關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)了數(shù)與形之間的結(jié)合。

3.比例的應(yīng)用：（1）“比例尺”。實驗教材例3是讓學(xué)生自己確定比例尺來畫一個簡單的平面圖，新教材把它改為做一做。而實驗教材52頁的“做一做”變?yōu)樾陆滩睦?，給定一個比例尺，學(xué)生再來作圖，降低難度的同時，還提示了學(xué)生解題的程序。

（2）“圖形的放大和縮小”。小精靈的提問更有針對性：“內(nèi)角、邊長、周長，什么變了？什么沒變？”實驗教材三個圖形統(tǒng)一的1：3，改為正方形1：3、長方形1：4、三角形1：2的不同比例縮小。這樣編排目的是讓學(xué)生注意觀察圖形的不同要素，不要只停留在對形狀的理解，給學(xué)生提供更多直觀的操作感受。教學(xué)可將這種相似變化與前面學(xué)過的全等變化（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)）進(jìn)行對比。

（3）“用比例解決問題”。例6的素材由“捆書”換成“照明用電”。這里解決的問題都是過去已經(jīng)學(xué)過的歸一、歸總問題，數(shù)量關(guān)系沒有變化，但解題的角度發(fā)生了變化。原來要把中間量求出來，現(xiàn)在中間量不需要求，而是用兩個比的比值或兩個量的乘積相等來解決。

（四）單元教學(xué)的建議

1.應(yīng)讓學(xué)生理解變量、常量等概念，滲透函數(shù)思想。

2.提高學(xué)生綜合運用知識的能力。

第五單元??數(shù)學(xué)廣角

（一）單元總體闡述

數(shù)學(xué)廣角的主要教學(xué)內(nèi)容是抽屜原理，也叫鴿巢原理，有三種形式。

（二）與原教材相比的變化

[實驗教材＼&修訂教材＼&例2把5本書放進(jìn)兩個抽屜

例3“抽屜原理”具體應(yīng)用＼&1.增加了撲克牌魔術(shù)的主題圖。

2.對例2的數(shù)據(jù)進(jìn)行了調(diào)整。

3.增加了“你知道嗎？”＼&]

（三）整個單元的具體編排

增加了一個有關(guān)魔術(shù)撲克牌的主題圖，這個素材可以在課前激發(fā)學(xué)生興趣，產(chǎn)生一探究竟的好奇心。

例1把4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒里，有2種形式：一種是羅列;一種是把4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒里，每一個筆筒盡量少放，而盡量少的時候是平均分，即使在最不利的情況下，也總有一個抽屜里至少有2支鉛筆，這有點類似于找次品中的“最不利原則”。新教材在這里與以往不同的地方是，專門提出了“總有”和“至少”是什么意思。

例2是把7本書放進(jìn)3個抽屜里，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進(jìn)3本書。8本呢？10本呢？教材的數(shù)據(jù)發(fā)生了變化。實驗教材是2個抽屜，2個抽屜不管怎么放，比如5本書放進(jìn)2個抽屜，余數(shù)總會是“1”，得出的結(jié)論是總有一個抽屜是至少放進(jìn)“商+1”本書。很多學(xué)生誤認(rèn)為這里的“1”是余數(shù)1，實則不然，這里余數(shù)無論是多少，只要有余數(shù)，總有一個抽屜里至少放進(jìn)“商+1”本書，而不是“商+余數(shù)”本書。進(jìn)行微小的調(diào)整，可避免學(xué)生形成錯誤的觀念。

（四）單元教學(xué)的建議

1.應(yīng)讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程。

2.要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的“模型思想”。

3.重視實踐活動，在自主探究中理解原理，并由具體的情形推廣到一般的情況。

第六單元??整理和復(fù)習(xí)

（一）單元總體闡述

這個單元對整個小學(xué)階段的內(nèi)容進(jìn)行整理和復(fù)習(xí)，也對初中的學(xué)習(xí)進(jìn)行鋪墊和準(zhǔn)備。具體內(nèi)容：數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、數(shù)學(xué)思考、綜合與實踐。

（二）與原教材相比的變化

[實驗教材＼&修訂教材＼&數(shù)與代數(shù)＼&1.實驗教材將“數(shù)學(xué)思考”部分編排在“數(shù)與代數(shù)”里，新教材則把“數(shù)學(xué)思考”獨立出來與四部分內(nèi)容并列，并且增加了2個新例題。

2.新教材減少了“設(shè)計運動場”活動，?新增“綠色出行”和“北京五日游”兩個綜合與實踐活動。

3.具體內(nèi)容的編排、呈現(xiàn)形式發(fā)生較大變動。?＼&空間與圖形＼&統(tǒng)計與可能性＼&綜合應(yīng)用＼&]

（三）整個單元的具體編排

復(fù)習(xí)時要緊緊抓住“四基”，因此教材分五塊編排：

1.基礎(chǔ)知識的整理和復(fù)習(xí)。

（1）以點帶面，突出核心概念、核心原理。利用提供的倫敦奧運會的素材，呈現(xiàn)各種各樣的數(shù)來復(fù)習(xí)有關(guān)數(shù)的一些知識。

（2）加強知識的橫、縱向聯(lián)系，幫助學(xué)生建立網(wǎng)絡(luò)狀的知識結(jié)構(gòu)。教材改變了“數(shù)的運算”的呈現(xiàn)方式，就是想讓學(xué)生明白：整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)等的各種運算規(guī)則，不會因為這個數(shù)而發(fā)生變化，所有數(shù)的運算含義都是統(tǒng)一的。

2.基本技能的拓展和提升。教材新編排了兩個實踐活動“綠色出行”和“北京五日游”，對學(xué)生各方面能力都提出了一個很高的要求，是綜合能力的考量。學(xué)生對設(shè)計要綜合考慮，不能漏項，時間的安排是有先后的，各方面的問題還需要收集相關(guān)材料。例如去北京，要收集各種門票、火車票的價格，思考怎么通過互聯(lián)網(wǎng)去收集需要的東西，這都是對學(xué)生提出的新的技能要求。

3.基本思想的體會與掌握。此次數(shù)學(xué)思考部分安排了4個例題。例1是合情推理的思想。例2是實驗教材已有素材，通過列表格的策略培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、演繹推理的能力。例3是讓學(xué)生通過等量代換、等式的傳遞性解決問題。例4是怎么去證明對頂角相等，不要求學(xué)生說出什么是對頂角，也不需要學(xué)生記住這樣的結(jié)論，而是在證明過程中發(fā)展學(xué)生演繹推理的能力。

4.基本活動經(jīng)驗的積累和運用。主要涉及對知識分門別類進(jìn)行整理的經(jīng)驗和運用，梳理知識之間聯(lián)系的經(jīng)驗和運用，綜合運用各方面知識解決實際問題的經(jīng)驗和運用，在生活實踐中應(yīng)用數(shù)學(xué)的經(jīng)驗和運用。

（四）單元教學(xué)的建議

1.加強整理和復(fù)習(xí)的系統(tǒng)性，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上自主整理知識。

2.在系統(tǒng)整理、復(fù)習(xí)的過程中注意查漏補缺，加強練習(xí)的針對性、有效性。

3.注意引導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，總結(jié)問題解決的策略。

（作者單位：張志平，武漢市江漢區(qū)小學(xué)教研室;宋??俊，武漢市江漢區(qū)北湖小學(xué)）

責(zé)任編輯?林云志