教育數學：緣起、旨趣、現狀和意蘊

朱華偉，徐章韜

（1.廣州市教育研究院，廣東 廣州 510030；2.華中師范大學 數學與統計學學院，湖北 武漢 430079）

教育數學：緣起、旨趣、現狀和意蘊

朱華偉1，徐章韜2

（1.廣州市教育研究院，廣東 廣州 510030；2.華中師范大學 數學與統計學學院，湖北 武漢 430079）

摘要：改造數學使之更適宜于教學和學習，是教育數學的緣起和旨趣所在.教育數學的研究分3條路徑展開：在難點和新點處下功夫，重構數學體系；圍繞教育數學的研究成果，開展數學教育研究；對教育數學是什么展開思辨研究.教育數學的發展將有助于數學教育理論的發展，有助于提高數學教育工作者的學術素養，有助于推動數學教育學學科的發展.

關鍵詞：教育數學；數學教育；學術素養

1　引 言

自20世紀80年代以來，數學教育開始研究學科內容知識在教師工作中的重要作用.學科教學知識（Pedagogical Content Knowledge, PCK）和面向教學的數學知識（Mathematical Knowledge for Teaching, MKT）理論都十分重視學科內容在教學中的重要性.又如，章建躍編審指出[1]，“理解數學，理解教學，理解學生”是做好數學教學的重要前提之一，而且“理解數學”是首要的.如果教師“理解數學”不到位，那么教好數學是不可能的.這些理論和認識正在逐漸打破數學教育潛在的理論假設：數學教師對所教的知識都是了如指掌的，都已具備“理解數學”的能力，不需要再對數學內容進行深入的研究.特別是近年來教育數學理論的提出，對學科內容的重視上升到了一個新的高度.教育數學研究者們認識到了數學內容在教育活動中的整合與創新的可能性和重要性.要徹底防止去數學化的數學教育研究，以及真正地把數學教育作為數學的二級學科，必須重視對數學內容本身的研究，但這種研究是教育取向的，是為教育服務的，不是為數學服務的.教育數學從理念提出到實踐探索，到逐漸形成一個研究方向是數學教育發展的使然.為了進一步地提升教育數學的研究水準，有必要梳理教育的源起、旨趣、現狀、以及發展趨勢等.

2　緣 起

“把數學本身變得容易些”是教育數學理念的源起.數學難學，這是一個不分地域、不分時代的難題.如平面幾何雖有很高的教育價值[2]，有利于培養學生形成科學的世界觀和理性精神，有助于培養良好的思維習慣，有助于發展演繹推理能力和邏輯思維能力等.但平面幾何的學習對大多數學生來說就是一個很大的障礙.張景中先生在中學執教時發現，用面積方法講授幾何和三角學頗受學生歡迎，且有助于學生成績的提高.然后，張景中把面積方法發揚光大，提出了面積解題方法，不僅使技巧多、思路難找、甚至一些有如雜耍的幾何問題有了統一解法，而且還用之于機器證明的研究，使幾何定理可讀證明的自動生成這個多年來進展甚小的難題得到突破.改革數學教育的難點催生了教育數學.

教育數學不滿足于僅僅對數學材料進行教學法加工，還致力于對數學本身進行再加工、再創造，使之能更好地反映客觀世界的空間形式與數量關系，并進一步改革數學課程，這是教育數學實踐的源起.在20世紀90年代，張景中把面積方法和教材改革聯系在了一起，提出了建立更合理、更容易學習的教材的標準.這樣的教材應當直觀、生動，內容豐富；在邏輯結構上，應當有明確的中心，有俯瞰全局的制高點；應當提供有通用效能的解題方法與解題模式，應當兼有幾何的直觀性和代數的簡潔性，像坐標法那樣有章可循，又像綜合法那樣耐人尋味；在和其它課程的關系上.它應當瞻前顧后，照顧“左鄰右舍”[3].用面積法改革平面幾何教材正是這方面的出色實踐.課程教材是數學教育研究的重點領域，教育數學首先從課程教材著手，顯示出教育數學克難攻堅，重構數學教育體系的恢宏氣勢.《從數學教育到教育數學》的出版以及2003年中國高等教育學會教育數學專業委員會的成立，標志著教育數學作為一個研究方向產生了.

3　旨 趣

知識旨趣是啟動、維持與強化認識活動，推動知識生產的內在力量與根本動力.掌握知識旨趣有助于強化學習目標、激發求知熱情，有助于理解知識的實質內容與探究形式[4].教育數學認為，把數學家的研究成果，僅僅是進行教學法上的加工，而不進行數學上的再創造，難已形成好教材.教育數學的旨趣是對數學家的已有成果，進行數學上的再創造，使之成為“經典”的教程，使之有更簡單的邏輯結構、更高效的解題方法、更平易近人的數學概念.對教育數學的“經典”教程再經教學法的加工之后，才能形成好的教學教材.改造數學使之更適宜于教學和學習，是教育數學的旨趣所在.

知識的概念、類型、價值與獲得等知識論問題先于知識的選擇、組織、傳遞和評價.知識觀是知識教育的基礎性、根源性問題[5].教育數學三原理認為[6]：在學生頭腦里找概念，從概念里產生方法，方法要形成模式.事實上這是從知識論的角度闡明了教育數學的旨趣.教育數學認為，利用學生已有經驗或前科學概念進行揚棄，能使學生學得親切.這事實上說明了知識的來源，知識是什么的問題——知識是對學生已有經驗的改造.教育數學認為，知識要技能化，形成方法，不能從概念到概念；知識技能化實質上是要形成程序化的知識，這種程序化的知識應有一條鮮明的主線，它能如彩線串珠般將知識貫通起來，而不是雜亂無章.教育數學把知識分成概念與技能，與現代信息加工理論的觀點不謀而合.

下列話語形象地揭示了教育數學的旨趣：把學數學比作核桃，核桃仁美味而富有營養，但要砸開才能吃到它.數學教育要研究的，是如何砸核桃吃核桃.教育數學呢，則要研究改良核桃的品種，讓核桃更美味、更營養、更容易砸開吃凈.教育數學著眼于學生心理，改造數學本身；數學教育著眼于學生心理，使現有的數學更容易學習.兩者的目標取向一致，但路徑和方式不一樣，兩者可以互補.數學教育有了教育數學的支持，將不再走一條去數學化的數學教育之路；教育數學有了數學教育的支持，將有利于教育數學的最新成果引入到課堂教學之中.

4　現 狀

教育數學產生之后，引起了許多學者的注意.教育數學的研究分3條路徑展開.第一條路徑是在數學的大后方進行教育數學的改造工作，在難點和新點處下功夫，重構數學體系.第二條路徑是圍繞教育數學的研究成果，開展數學教育研究.第三條路徑是對教育數學是什么展開思辨研究.

第一條路徑上的出色工作者有林群院士和張景中院士.林群院士讓數據說算，從計算的角度重構微積分，并把微積分歸結到一個哲學公式[7]；張景中從兩個數的平均數落在兩個數之間這樣一個淺顯的事實出發，構建起通俗易懂而又具有嚴格的理論基礎的第三代微積分[8].張景中的成果寫進了大學數學教材[9].上述工作是高等數學初等化的研究.在初等數學方面，張景中用面積法重構了平面幾何，用面積法定義了正弦，又重構了三角[10]，進而又把代數、幾何、三角融為一體了[11].這是教育數學的出色工作，把初等數學進行了簡化與統整.這條路徑的工作可用張景中的話來總結：想的是教育，做的是數學.通過提出新概念新定義，建立新方法新體系，發掘新問題新技巧，尋求新思路新趣味.

第二條路徑是圍繞上述研究成果進行教育學研究.崔雪芳2008年在初中一年級兩個普通班進行了角的正弦的教學實驗課（1課時），結果表明，初一學生能夠較好地掌握用“菱形面積定義的正弦概念”.后來又在更多學校進行了6個課時的教學實踐，獲得了好的效果[11].王文俊以高中學生和教師為研究對象，做了更詳細的實驗與調查，結果表明，大部分學生和老師是比較欣賞和認可三角函數新定義體系[12].廣州大學的研究生基于第一條路徑的研究，開展了課程方面的研究，探討了初中數學課程結構的改革及教科書的編寫[14~17].這條路徑的工作主要是檢驗、驗證教育數學提出的方案的可行性.賴虎強在這方面做出了突出的成績，其根據教學改革實驗的實踐，編著出版了《妙用正弦學數學》，在行動研究中踐行了教育數學的思想.

第三條路徑是對教育數學是什么做思辨研究.張奠宙指出[18]，教育數學是數學的教育形態，主張體現數學本質要做到返樸歸真、平易近人、言之有理、感悟真情.在數學教學中，應突出數學的文化本質，以本原問題驅動展現數學本質，利用數學史加深學生對數學本質的理解.沈文選認為[19]，整合創新優化數學是走進教育數學研究的行動綱領，需要現實地改造并組織好數學材料，需要恰當地改變數學內容的呈現方式；返璞歸真優化數學是走進教育數學研究的主要途徑，需要從各方面展現數學價值；需要滲透數學建模思想；需要從數學史的角度加深對數學本質的理解；需要追本溯源，以本源問題展現數學方法的本質；需要將火熱的思考提高到“數學思想”的高度.這些見解或主張引起了美國童增祥教授的注意，其在長期的數學實踐和數學教育研究中，認識到數學內容本身優化的重要性，不僅發表了一系列有關教育數學的論文，而且成立了美國第一個教育數學研究生班，從事教育數學的研究與實踐[20].

教育數學將著重點放在改良數學上，最終是為了服務數學教育.這個主張將鞏固數學教育的“鐵三角”——課程論、教學論和學習論，有可能在鐵三角的中心安置一個點，這個點就是教育數學的著力點.在吃透、優化、重構數學內容的本身的過程中，闡釋教育教學上的見解.這樣一來，教育數學的主張和MKT的主張不謀而合了[21].

5　意 蘊

教育數學的發展將有助于數學教育理論的發展.正如張景中“信息技術要深入學科”的主張，得到多方面的認同[22].同樣，對學科教育而言，需要有“深入學科的教育理論”.如果一般教學理論、學習理論和課程理論能完完全全地指導學科教育的發展，那么學科教育就沒有發展空間了.普適的理論在于能啟迪人們的思維，開闊人們的眼界，但當把普適的教育理論用之于學科教育時，就要考慮學科的特點.要在深入學科的基礎上發現教學與學習的規律，反過來豐富發展一般的教育理論.教育數學并不反對數學教育研究，只是強調要在“數學”上下功夫，不能認為對數學的理解已經完成了，要能吃透數學，能重構數學.當然能重構數學需要相當的數學功力，并非人人能為，但努力理解數學本質，在此基礎上闡發教育上的見解，卻是人人皆可為之.每個數學教育的研究者都應當有自己的學術信念，不能為了迎合一般性理論而進行去數學化的數學教育研究.上面談到MKT的主張和教育數學的見解是一致的，這樣在教育數學和數學教育之間有了溝通之橋.教育數學更有可能實現“上通數學，下達課堂”的恢宏目標，而這正是數學教育所追求的.

教育數學的發展將有助于提高數學教育工作者的學術素養.數學教育是一個具有相當綜合性的研究領域，需要研究者有多方面的素養.任何一個數學家一旦轉而談論數學教育時，他未必就是當然的數學教育家；也并非任何一個教育家轉而議論數學教育時，就能理所當然地成為數學教育家[23].理想的情況是，數學教育的研究者不僅要有扎實的數學功底，能進行數學的研究，還應當有深厚的教育理論功底，能從事教育的研究，還應當有豐富的教學實踐經驗，能指導教學實踐活動.數學教育的研究課題的多樣性，研究對象的復雜性，研究方法的多樣性，研究成果表述的規范性，要求數學教育的研究者能努力提高自己的學術素養.以研究方法為例，數學教育研究者不僅要了解定量研究、定性研究、思辨研究、實證研究、質的研究的異同，還要能熟練地運用這些研究方法，特別是量的研究方法和質的研究方法.數學教育研究者所從事的工作的難度并不亞于社會學、心理學、教育學及數學研究者所從事的行業.這更需要數學教育的研究者有扎實的數學功底，能把數學方法創造性地運用到數學教育研究中去，發展量的研究方法，教育數學取向的研究就是提高數學教育研究者數學素養一條途徑.

教育數學的發展將有助于推動數學教育學學科的發展.數學教育成了數學的二級學科了，這無疑是一個非常令人振奮的消息，這標志數學教育的影響力在提升，學科地位在上升.進入到數學行列之后，如何評價這個學科的研究工作，如何評價這個行業的從業者的學術水平，是一個相當復雜的社會問題.簡單點說，如果數學教育的研究者既能發表SSCI或CSSCI的作品，又能發表SCI的作品，那么其它領域的研究者就不能無視這個領域的存在.教育數學的研究取向勾勒了數學教育工作者可能的研究路徑：先做教育數學的研究，發表SCI作品；把在做教育數學的過程中獲得的見解，用教育學的術語表達出來，做數學教育的研究，發表SSCI 或CSSCI的作品.對任何一個學科或學者而言，沒有高質量的作品問世，很難贏得應有的學術地位.

6　展 望

數學教育的本質是教育，但是，數學教育更本質的是一種特殊的教育[24].文[23]和文[24]，提出了數學教育的邏輯起點問題，文中指出學科教育不但要遵循“教與學對應”原則，還應該遵循“教與數學對應”的原則.按這種觀點，教育數學更是“教與數學對應”的典范，應當成為數學教育工作者的一個重要的研究領域，這也是數學教育不可被大教育或心理學研究所替代的重要理據之一.未來的數學教育將更加更重視對學科內容本身的研究，建立更有數學學科特點的數學教育學理論.

［參 考 文 獻］

[1]章建躍，陳向蘭.數學教育之明道取勢優術[J].數學通報，2014，（10）：1-7.

[2]鮑建生.幾何的教育價值與課程目標體系[J].教育研究，2000，（4）：53-58.

[3]張景中，曹培生.從數學教育到教育數學[M].成都：四川教育出版社，1989.

[4]潘洪建.知識旨趣：基本蘊涵、教育價值與教學策略[J].當代教育與文化，2014，（7）：50-55.

[5]潘洪建.教學知識論[M].蘭州：甘肅教育出版社，2004.

[6]張景中.什么是“教育數學”[J].高等數學研究，2004，（6）：2-6.

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[11]張景中.一線串通的初等數學[J].北京：科學出版社，2009.

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[16]李蘋芳.現有初中數學體系與初等數學新體系的整合研究[D].廣州大學，2013.

[17]曹路路.基于教育數學思想的初中數學教材體系研究[D].廣州大學，2013.

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[23]涂榮豹.論數學教育研究的規范性[J].數學教育學報，2003，12（4）：2-5.

[24]單墫，喻平.對我國數學教育研究的反思[J].數學教育學報，2001，10（4）：4-8.

[責任編校：周學智]

Education Mathematics: Origin, Purport, Status and Implication

ZHU Hua-wei1, XU Zhang-tao2
(1. Guangzhou Institute of Educational Research, Guangdong Guangzhou 510030, China; 2. College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China)

Abstract:The transformation of mathematics makes it more suitable for teaching and learning, which is the origin and purport. The researches on education mathematics launched three paths. The reconstruction of mathematical system is carried out around the difficulties and the new knowledge points. Some researchers carry out mathematics education around the outcome of the education mathematics. What is education mathematics is the third research. The development of education mathematics will contribute to the development of the theory of mathematics education, and help improve the academic literacy of mathematics education researches, and help to promote the development of the disciplines of mathematics education.

Key words:education mathematics; mathematics education; academic literacy

作者簡介：朱華偉（1962—），男，河南汝南人，博士，教授，博士生導師，主要從事教育數學和數學教育研究.

基金項目：廣東省教育科學“十二五”規劃課題強師工程重點項目——教育數學創新教學實驗——以初中數學為例（2014ZQJK001）

收稿日期：2015-03-12

中圖分類號：G40-03

文獻標識碼：A

文章編號：1004-9894（2015）04-0030-03