找準核心問題 構建探索課堂——小數乘法教學研究報告

北京育翔小學回龍觀學校（100085） 趙 震

“好”的課堂教學除了傳授知識外，必須能調動學生學習的積極性，引發學生的思考。既能培養學生良好的學習習慣，也能讓學生掌握有效的學習方法。“小數乘法”是小學數學計算教學中的重點內容，其中的小數乘小數是教學中的難點之一。如何在理解算理、掌握算法的過程中促進學生的思維？如何有效培養學生的運算能力、幫助學生積累必要的數學活動經驗？筆者基于對教學的整體把握，結合教學研究與實踐，積極尋求有利于促進學生思維的核心問題，引發學生對小數乘法算理的探索。

一、問題初顯——學情后測

學生在五年級系統完成了小數四則運算的學習之后，實際效果是怎樣的呢？筆者對本校剛剛升入六年級的249名學生進行了調研。

1.小數四則運算的調研

調研題目：

9.3+2.7= 3.21+5.8= 1.9+3.16=

7.6-5.7= 8.52-1.8= 4.07-0.69=

3.4×7= 5.9×1.3= 1.25×4.2=

7.83÷0.9= 12.6÷0.28= 3.264÷1.6=

調研結果：

運算類型 ＋ － × ÷正確率 9 6.0% 9 4.8% 9 1.6% 8 8.4%

其中，小數乘法三個題目的錯誤情況：（總計21人次出錯）

題目 3.4×7= 5.9×1.3= 1.2 5×4.2=錯誤人數 3 6 1 2

從學生計算小數乘法的錯誤類型來看，50%以上的錯誤與小數點有關。

主要錯誤：沒點小數點；小數點點錯位置。

初步結論：

（1）小數乘法計算的錯誤率不亞于小數除法；

（2）不會確定積的小數位數（小數點的位置）是造成計算錯誤的主要原因。

2.側重小數乘法算理的調研

調研問題：在計算2.4×0.8時，有的學生說：“先把2.4和0.8看成24和8做乘法計算，再把乘積從右往左數出兩位點上小數點。”這樣做有什么道理？

調研結果：

情況分類 明確解釋 知道道理 沒有正面回答所占比例 3 8.5% 2 5.6% 3 5.9%

僅有38.5%的學生（95人）能結合“積的變化規律”進行明確解釋和說明，35.9%的學生（89人）用“這樣做簡便”“這樣好做”等語言描述這樣做的好處或是重復敘述計算過程。說明：隨著時間的推移，學生對算理的理解已逐漸淡化，并在運算能力達到自動化的同時不自覺地變成了計算的工具。當然，這絕對不是我們每一位教師愿意看到的。因此，在教學中應加強學生對小數乘法算理的理解。

面對后測的結果，自然地讓我們尋找造成這一現象背后的原因：作為教師，我們在以往小數乘法的教學中到底缺失些什么呢？學生在小數乘法的學習中認知的障礙點是什么？

二、辦公室里的“閑談”——教師訪談

帶著這些具體的問題，筆者對兩位有著20年以上教學經驗的教師進行了訪談。

問題一：T、L兩位老師好！首先，兩位能不能簡單地向我們介紹一下在教學小數乘法這部分內容時通常采用的做法？

T教師回答：小數乘法教學中一般分為小數乘整數和小數乘小數兩個階段來進行。在教學中我一般先引導學生把整數乘法筆算的經驗遷移到小數乘整數上來，然后通過觀察比較計算實例，總結積的小數位數和因數小數位數之間的關系，最后把小數乘整數作為新的重要經驗再遷移到小數乘小數上來，最后還是能比較順暢地突破重點難點的。

L教師回答：基本上我也是這么實施教學的。我認為教學中最重要的就是引導學生利用整數乘法學習中“積的變化規律”進行遷移，從而理解小數乘法的算理、掌握算法，培養學生的推理能力，再進行適當地練習學生就能形成較好的運算思維。

問題二：學生在學習時一般存在哪些主要的困難？您又是如何解決的？

T教師回答：小數乘法是五年級上冊第一單元的內容，學生受新學期剛開學的影響，有不少人在新課學習時往往聽課的狀態不好，理解上不夠明確。不過在后續的練習中還是能夠比較快地理解和接受。如果說困難的話，就是學生對積的變化規律認識不牢固，尤其是兩個因數都是小數時會出現錯誤。比如一位小數乘一位小數時認為積也是一位小數，兩位小數乘一位小數時就把積定為兩位小數。不過，通過對積的變化規律教學進行補救，還有反復說理，還是能夠解決這個困難的。

L教師回答：我感覺學生的困難不是很大。雖然剛開始用豎式計算時，在對位上、在確定積的小數點時會出現一些錯誤，但通過辨析糾錯和練習還是能改正過來的。

從對兩位教師的訪談中，可以清晰地了解包括我們在內的眾多教師的認識和看法：（1）積的變化規律是核心算理；（2）從整數乘法——小數乘整數——小數乘小數來看，遷移是有效的教學策略；（3）加強說理、注重辨析、輔助練習是提高運算能力的重要手段。

值得繼續思考的問題：

（1）這都是我們習慣的教學呀！以往教學中的問題究竟在哪兒呢？

（2）學生的運算能力肯定不是僅僅依靠練習就能形成的，后測中學生的問題又該怎么解決呢？

（3）我們在實際教學中實現繼承中的發展究竟又該做些什么呢？

三、不同版本教材的梳理

查閱現行幾套主流教材發現，人教、蘇教、新世紀版教材均安排在四年級下冊或五年級上冊系統學習小數四則運算，且都顯示出以下共同特點：

1.充分注重學生學習小數乘法必要知識經驗的積累：如小數的意義、整數乘法中積的變化規律、小數點的移動等；

2.選擇貨幣、長度、面積和典型數量關系等作為小數乘法教學的實際背景，從而加強學生對小數乘法意義的理解。（如下圖）

兩點啟發：

1.新世紀版教材注重推理，除去積的變化規律外，還采用了面積模型、單位轉化的推理等方式豐富和加深學生對算理的理解；

2.適當拉長從理解算理到總結算法的過程，加強理與法的融合。各套教材均沒有用文字明確歸納出計算法則，人教版在例4中才對豐富的計算實例進行算法的分析、歸納。

兩個新的、無法回避的核心問題：

1.運算能力的內涵到底是什么？

2.小數乘法計算教學究竟該給孩子們留下什么？

四、尋找目標——課標解讀帶來的啟發

1.十個核心詞之運算能力

運算能力：主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行計算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。一是指運算；二是指運算能力。運算能力不僅僅指會算和算正確，還包括對于運算本身的理解。

就小數乘法而言，何為運算本身呢？（1）運算對象——要解決的是什么問題（運算背景的意義和價值）；（2）運算的意義——小數乘法的意義；（3）算理——指積的變化規律，包括小數的意義、乘法的意義尤其是小數乘法的意義，還有運算律等。

美國德拉華大學蔡金法教授在“關于中國數學雙基教學的思考——基于中美學生數學學習的系列實證研究”提出了一個觀點：就計算教學領域而言，我們的計算教學不應以計算的正確率為唯一目的，而應當讓內容適當作為問題解決的范疇，成為引發學生進行開放性地、創造性地思考和解決問題的重要過程。正如課程標準所言：學生自己發現和提出問題是創新的基礎；獨立思考、學會思考是創新的核心；歸納概括得到猜想和規律，并加以驗證，是創新的重要方法。

2.關于“四基”中的“基本活動經驗”

隨著新課程改革的不斷深入，幫助學生在數學學習中積累必要的基本活動經驗已經引起廣大教師的關注與重視。

何為基本的數學活動經驗？主要是思維的經驗和實踐的經驗。

啟發與思考：我們以往所謂傳統的教學還是明顯呈現出過度的追求知識性目標，換句話說還是急于總結歸納出計算法則，把學生計算的正確律乃至運算速度作為評價學習效果的唯一標準。欠缺的是對過程性目標的關注與落實，即上述提到的學生對運算本身的理解。

另外，就小數乘法算理、算法的理解而言，學生的認知、理解能力目前又是怎樣的水平呢？真正的障礙點在哪里？怎樣做才能豐富和加深學生的認識？

五、走進學生——系列性學生調研的收獲

學前調研題目1：用你喜歡的方式解決下面兩個實際問題。

（1）一個杯子售價3.5元，買3個這樣的杯子要花多少元？

（2）一根跳繩長1.6米，5根這樣的跳繩一共多少米？

測試目的：實際背景下學生對小數乘整數的理解。

情況分析：在對五（1）、五（3）兩個教學班（不同任課教師）實際調研中，面對貨幣、長度情境下的小數乘整數計算，有90%以上的學生依據小數加法、積的變化規律、單位間的轉化、運算定律等已有知識經驗進行正確解答。部分學生做法：

學前調研題目2：用你喜歡的方法計算下面兩個小數乘法題：

0.2×4= 0.3×0.2=

測試對象：五（2）、五（4）（任課教師同上）。

測試目的：無實際背景情況下學生對小數乘整數、小數乘小數的解決辦法。

情況分析：

（1）小數乘整數：依然有88%以上的學生能利用上述幾種方法正確分析并解答。

（2）小數乘小數：正確率為45%，其中，5%的學生利用小數乘整數的經驗進行推理，12.5%的人用豎式計算，27.5%的學生利用積的變化規律得到結果。有55%的學生在計算“0.3×0.2=？”時結果錯誤，除個別學生出現空白和“00.6”之外，錯誤答案均為0.6。

正確做法：

存在困難：

（1）尋求實際背景無果。

（2）尋求直觀模型無果。

（3）整數積的變化規律不能正確遷移。

（4）整數乘法、小數加減法經驗的負遷移。

（5）小數意義、小數乘法意義理解上的磨難。

兩次前測后得出初步結論：

（1）小數乘整數與小數乘小數有著明顯的難度差異，困難集中在小數乘小數。

（2）小數的意義、積的變化規律等都應當加強理解并作為學習小數乘小數的重要基礎。

（3）教學中教師有必要向學生提供小數乘小數問題的實際背景，促進學生有效思考。

學前調研題目3：

（1）一個廣場長30米，寬20米，面積=____×____=（ ）平方米。

（2）一個花壇長3米，寬2米，面積=_____×_____=（ ）平方米。

3.一塊地磚長0.3米，寬0.2米，面積=____×____=（ ）平方米。

請寫出上面第（3）個問題的思考過程。

測試目的：面積背景、題組信息形式下學生對小數乘小數的認識水平與推理能力。

測試對象：五（5）、五（6）。

情況分析：61.2%的學生得到正確答案，正確率明顯改觀。更多的學生把整數乘法中積的變化規律遷移到小數乘法中，并進行分析推理，形成了相對完整的分析過程，也有部分學生從運算律、單位間的轉化、小數乘法的意義等方面進行解答，體現了學生對算理豐富而深刻的思考。

但突出的困難也依然存在：“0.3×0.2=？”，仍有相當一部分學生認為答案是0.6，其中一小部分學生能對結果的正確性產生懷疑，但對正確結果0.06又存在著一定的理解困難。此時，0.3×0.2的結果到底是0.6還是0.06？“0.3×0.2=0.06”的道理究竟是什么呢？明確的問題已然成為學生探索小數乘法算理時有效的思維支點。這時就需要教師在實際教學中借助具體情境引發學生對獲得正確結果的思考，在明確的探索與交流的過程中借助直觀手段加強對小數乘小數意義的理解，從而厘清認識，形成正確見解。

六、教學實踐——在課堂中將學生的思維引向深入

課程標準在課程設計思路中明確提出：義務教育階段數學課程的設計，應充分考慮本階段學生學習的特點，符合學生的認知規律和心理特征，有利于激發學生的學習興趣，引發數學思考；充分考慮數學本身的特點，體現數學的實質；在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。

1.教學目標

（1）引導學生自主探索小數乘法的計算方法，能正確進行筆算，并能對其中的算理做出合理的解釋。

（2）在自主探索的過程中，培養學生觀察與推理、抽象與概括的能力，進一步培養估算的意識和習慣。

（3）在師生共同探索的過程中獲得積極的數學情感，在主動參與問題解決的過程中增進探索精神、提高學習能力。

2.教學流程

（1）圍繞題目，提出數學問題（題目見學前調研3）。

（2）引發認知沖突：“0.3×0.2”，結果究竟是0.6還是0.06？

（3）借助估算，初步排除不合理的結果。

（4）明確探究目標和要求，嘗試思考并解決。

（5）反饋、交流（具體內容大體與學前調研3的情況）。

（6）質疑、點撥。

a.有的學生是這樣解答的：“0.3×0.2=0.3÷10×2=0.03×2=0.06”。有道理嗎？

b.課件直觀介紹0.3×0.2的意義，即把0.3平均分成10份，取其中的兩份。

（7）多種算法的融合。

a.呈現豎式計算方法（略）。

b.將豎式與學生的算法相聯系，在豎式計算中找到各種算法的共通點：把小數乘法轉化成整數乘法，并根據積的變化規律獲得結果。

3.課堂實踐效果分析

（1）0.3×0.2的結果究竟是0.6還是0.06？來自于學生認知的矛盾沖突成為引發學生思考的核心問題，有效地激發了學生的好奇心。

（2）通過直觀圖明確加強了學生對運算意義的理解，并與單位間的換算、運算律等共同實現了學生對算理豐富而深刻的理解。

（3）豎式計算與學生多種算法的比較梳理，有效達到了從算理到算法的過渡。

實踐證明，利用積的變化規律解決小數乘小數的計算問題，確實符合學生的認知規律和思維特點，也有利于學生實現從算理到算法的過渡。因為其分析推理過程與豎式計算過程非常接近，這樣做充分關注了小數與整數之間的內在聯系。進而，借助直觀圖加強對小數乘法意義的理解，將會引導學生關注小數與分數之間的緊密聯系。再加上單位間轉化的巧妙推理、嚴謹的運算律演繹都極大地促進了學生對算理的豐富理解，不僅有利于加深學生對算法的認可與接納，也有效促進了學生思維的發展。

綜上所述，在整體把握教學的基礎上，找準數學核心問題能使課堂充滿探索、充滿智慧，從而有效促進學生思維的發展，并在對算理的深入探索過程中有效培養學生積極的數學情感和態度。