真實的學習在課堂上發生了嗎？（上）

著名數學教育家弗賴登塔爾曾說過一個經典案例：巨人之手。一位數學老師在黑板上畫了一個大大的手印，學生們看到后都感到驚奇。教師就對學生說： “昨晚有一位巨人訪問我們學校，在黑板上留下了一個巨大的手印。今天晚上他還要來，請大家為巨人設計桌椅、書本的高度和大小。”孩子們眼里閃爍著探索之光，全身心地投入到測量、計算等活動中，他們用自己的手和巨人的手作比較，得出比例，然后把桌椅、書本按比例放大。

案例中，孩子們的學習“真”的發生了嗎？我們無法走進學生的大腦去探尋，我們只能利用學生外顯的行為來作判斷，即按照我們觀察到的學生的學習過程和結果來判斷。上述過程中，孩子們興奮、專注；結果孩子們用正確的方法解決了問題。毋庸置疑，真實的學習在數學課堂上發生了。讓我們踏上學習在數學課堂上的發生之路吧。

一、教師：上通數學—下達課堂。

弗賴登塔爾作為數學家，顯然上通數學，又作為數學教育家，肯定下達課堂。我們常說，教師在課堂上要能“深入淺出”，作為數學教師，“深入”就是要能上通數學，“淺出”就是要能下達課堂。當然，我們的數學教師，不可能人人像弗賴登塔爾一樣，既是數學家，又是數學教育家。我們的上通數學，應當通到什么程度，現舉幾例說明。

教孩子數數，是一個最簡單不過的問題。但數學老師不能停留在小學生的水平，必須具備集合論的思想。

數數的第一步是“唱數”：1、2、3、4、5、……孩子就像唱兒歌一樣，幾經重復以后，只有微弱的前后順序（還不能倒著數）的感覺，但不知有大小關系，也就是只有“序數”的萌芽，還沒有“基數”的概念。

數數的第二步是“指物點數”：一開始孩子口手速度不一致，往往是口快手慢，經過一段時間以后，孩子才能做到口手一致的點數，這就是兩個集合中元素的“一一對應”。

數數的第三步是“說出總數”：能夠熟練完成“指物點數”的，一般都能順利地說出物體的總數。

數數的最后一步是“按數取物”：這是實踐層面的，正是孔子的“學而時習之。”家長、孩子同說乎！

關于數數，隨著年級的升高，孩子會提出很多的問題，比如：自然數與偶數哪個多？我就親耳聽到有教師回答自然數多，偶數只有自然數的一半。嗚呼哀哉，數學教師，不能只有中學數學水平啊，要明白，自然數集和偶數集都是可數集，它們的基數是相等的。

小學數學教材中有一內容：確定位置，用數對（坐標）確定位置。我們不去討論教材的定位是否有偏差，有一點是肯定的，用坐標確定位置不是數學的主題，電影院里可以有，地圖上可以有，而坐標的數學主題應當是“數形結合”。一對坐標確定一個點，點是幾何圖形的基本元素，與其不斷訓練幾排幾座，不如判斷A（1，2）、B（4，2）、C（3，4）連接起來是什么圖形。只有上通數學，才能把握正確的方向。當方向錯了，越認真地教學，離真實的數學越遠。

關于教學，我喜歡陶行知的說法：“先生的責任不在教，而在教學，教學生學。”上通數學只是提供了教學的內容，還需下達課堂，讓學生樂于接受。

如何做到像上面的經典案例“巨人之手”那樣，充分激發學生的好奇心，牢牢抓住孩子的注意力。現以《按比例分配》為例，我是如何把不太有趣的教學內容，變得有趣，讓學生難忘。

教材只是一個例子，教材，不是圣經、不是法典，它是教學的憑借、教學的資源，只是素材之一。在教學中，如果我們能找到比教材中更好的資源、素材，我們會毫不猶豫地放棄教材中提供的例子，選擇對教材進行整合、重組。

書上的例題是將長方形方格按比例分配后涂上顏色，遠離學生的實際生活，我就完全放棄了，而是以兒童周圍世界為源泉，選擇兒童日常生活中熟悉的內容。 看下面一組信息——

星湖花園有兩戶人家，一家住著唐明和他的父母，另一家住著孿生兄妹陳龍、陳鳳和他們的父母。2003年，兩家分別拿出25萬元在市中心合資購得一店面房出租，兩年共得租金24萬元，這樣唐、陳兩家各分到12萬元；由于房價看漲，他們將店面房以218萬元的價格賣出，每家又分得109萬元；為了慶賀這次投資成功兩家人決定去英國旅游，共花去14萬元，每家攤得費用7萬元。

學生閱讀兩遍后，回答以下問題：

1. 一共分配了幾次？

（三次：各分到12萬元；又分得109萬元；攤得費用7萬元。）

2. 都是怎樣分的？

（平均分）

3. 這樣分合理嗎？

（前兩次合理，第三次不合理，因為兩家人數不同。）

讓學生明白，在實際生活中，平均分不一定是合理的，第三次該怎樣分配費用才算合理呢？這樣就要尋找一種新的分配方法，由學生嘗試進行分配。

90%以上的學生都能按兩家的人數比進行了分配，這樣由學生自主，根據實際生活的需要，研究出按比例分配的方法，既鍛煉了學生的能力，又讓學生有一種成就感。

鞏固練習的安排，以增加趣味性為主，有聯系生活的，有關黃金比的，如——

1. 自行車廠裝配一批三輪車，第一車間共有150名工人，每人裝一只輪子的時間一樣，應分別安排多少工人裝前輪和后輪？

2. 究竟是“生命在于運動”，還是“生命在于靜養”？研究表明，當人們一天的作息時間符合黃金比5：3時，最有利于健康。你能計算出一天中人最適宜的活動時間和睡眠時間嗎？

3. 人體的正常體溫是37℃左右，研究發現，當環境溫度與人的正常體溫的比符合黃金比5：8時，人體的生理功能、生活節奏等新陳代謝水平均處于最佳狀態。你能計算出人在什么的環境氣溫下生活感到最適宜？

4. 金字塔的高和底座邊長的總和是364米，它們的比是5 ： 8，求出它的高。

雖然上課的時間不短，由于練習富有趣味又能增長知識，還能感受到數學的美，所以學生并不感覺累，有的學生說：“一節課怎么這么快就過去了。”

二、學生：下達課堂—上通數學。

教學活動，是教師與學生的雙邊活動，教只是教學活動的一半，另一半是學生的學習活動。教師的下達課堂，如果沒有學生的積極參與，只是一言堂，那就不成之為課堂。學生下達課堂，就是學生沉浸在課堂中，甚至是“沉迷”于課堂，有一種打破砂鍋問到底的鉆勁。

諾貝爾獎得主著名物理學家李政道曾說過：我國歷來講究做學“問”，要學會怎樣問，而我們現在的學校教育往往是學“答”，學會的是做答案。學生在課堂上尋找答案已成常態。讓學生從答案中發現問題，從“。”重新走向“？”，讓學生從學“答”，走向學“問”，進而達到解決自己提出的問題。

【題】運輸隊有8輛同樣的卡車，每輛卡車每次運貨物12噸，用這些卡車同時運600噸煤，幾次能運完？

解法一：

600÷（12×8）

=600÷96

=6（次） ……24（噸）

6+1=7（次）

解法二：

（2） 600÷8÷12

=75÷12

=6（次） ……3（噸）

6+1=7（次）

答：7次能運完。

答句寫完，畫上句號，一般來說解題結束。問題能到此結束嗎？恰恰相反，這不是問題的終結，問題才剛剛開始。

請注意兩種解法的余數，一個是24，另一個是3。兩種解法余數的不同，對產生不同余數的成因，作出具體解釋是必須的：解法一，先求出8輛車1次運96噸，24噸是8輛車運了6次余下的；解法二，先求1輛車運75噸，3噸是1輛車運運了6次余下的，8輛車的話，還回到解法一的余數24噸。

看似已經很到位了，但如果只到這里，反思是不徹底的。根據“等式”的傳遞性：6……24=6……3，豈不荒唐。還需刨根問底：600÷96=6…24和75÷12=6…3是等式嗎？原來，這里的“=”不是等于號，只是不完全商和余數的一種記法而已。

如果學生能夠做到這樣充分下達課堂，離上通數學就不遠了。在學習了平面圖形的面積后，只停留在由長方形面積、正方形面積的計算公式，推導出平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式是低層次的。如果學生用聯系的觀點，反過來看，長方形、正方形、平行四邊形、三角形的面積都用梯形的面積計算公式來計算，就是一種高境界了。

根據梯形的面積=（上底+下底）×高÷2，計算下面圖形的面積。

長方形：長10厘米，寬6厘米

正方形：邊長6厘米

平行四邊形：底10厘米，高6厘米

三角形：底10厘米，高6厘米

把長方形和平行四邊形看作上底、下底相等的梯形：

（10+10）×6÷2=60（平方厘米）

把正方形看作上底、下底、高都相等的梯形：

（6+6）×6÷2=36（平方厘米）

把三角形作上底為0的梯形：

（0+10）×6÷2=30（平方厘米）

學生可以作進一步思考：從長方形、正方形面積的計算公式到圓的面積計算公式最本質的特征在哪里？這不是每位學生都能做到的，但總有學生會想到。經過思考后發現：無論哪種圖形的面積計算公式中都含有兩條線段長度相乘的積。這兩條線段的位置關系如何？兩條線段互相垂直：長與寬、邊長與邊長、底與高，但圓似乎是個例外，同一條半徑相乘。有例外就不成規律，取兩條互相垂直的半徑，如何？完全可以。于是得出結論：我們所學過的平面圖形的面積計算公式中都含有兩條互相垂直線段的長度相乘。

那不同圖形的面積計算公式，又不同在哪里呢？把長方形和正方形面積公式都添個“乘1”，很明顯：平面圖形面積計算公式都含有互相垂直線段長度的積，另外再乘一個數，有的是1，可以省略，有的是，有的是圓周率л。

由此推出，體積計算公式也有類似的規律：不同圖形的體積都有兩兩互相垂直的三條線段的長度相乘。最后讓學生猜測：球的體積計算公式應當是什么樣的？

教師、學生的交集是課堂，只有教師、學生同時出席課堂，投入課堂，讓“學習”在數學課堂上真實地發生，才會有教師的上通數學變為學生的上通數學。

（作者單位：南通師范學校第二附屬小學）