小題大做做出精彩
——一道課本習題的探究歷程與感悟

☉湖北省老河口市第三中學 朱小斐

小題大做做出精彩
——一道課本習題的探究歷程與感悟

☉湖北省老河口市第三中學 朱小斐

近讀《中學數學》，發現有多篇文章倡導教師關注教材、理解教材、研究教材，命題研究也應回歸教材.受此啟發，筆者近期在教學“相似三角形”時，對課本中一道看似平常的“小題”進行“大做”，起到了事半功倍的效果.本文講述該題的改編思路、探究歷程及教學感悟，與同行研討.

一、習題改編

原題（人教版九年級下冊第58頁第9題）如圖1，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，AD與BE相交于點F，連接ED.你能在圖中找出一對相似三角形，并說明相似的理由嗎？

這道題主要考查相似三角形的判定，是一道開放題，起點低，入口寬，學生基本都能完成.如若只是滿足于找出一對相似三角形，顯然沒有發揮出此題的價值，于是筆者在想：圖中共有幾對相似三角形？細心研究后竟然找出了8對！看來這道“小題”確實值得“大做”一番.怎樣做才能更精彩呢？經過認真思考，筆者將原題做了一些發展性的改編.

圖1

改編題：如圖2，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，AD與BE相交于點F.

（1）你能在圖中找出幾對相似三角形？請寫出并說明相似的理由.

（2）連接ED，圖中又增加了幾對相似三角形？請寫出并證明.

改編思路：改編后變為兩問，第（1）問圖形更為簡潔，有利于學生在相互交流中找出圖中所有的相似三角形，第（2）問讓學生動手連接ED，引導學生關注新生成的三角形，借助第（1）問的結論，找出△CDE∽△CAB，△ABF∽△EDF.這樣設計有利于學生思維的連續性，問題逐次展開，緊密關聯，從而使學生的探究活動呈自然生長的態勢.

圖2

二、探究歷程

1.第（1）問的探究

生1：如圖2，由∠ADC=∠BEC=90°，結合公共角∠C=∠C，可得△ADC∽△BEC，同理可得△AEF∽△ADC，△BDF∽△BEC，我找到了3對相似三角形.

師：很好，你這是一法多用，其他同學有補充嗎？

生2：我還發現△AEF∽△BDF，因為∠AEF=∠BDF= 90°，∠AFE=∠BFD，所以△AEF∽△BDF.

師：好，已經有4對了，還有嗎？

生3：我又發現了一對，是△AEF∽△BEC，因為∠EAF+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，所以∠EAF=∠EBC，又因為∠AEF=∠BEC=90°，所以△AEF∽△BEC.

生4：我也找到了△AEF∽△BEC，不過我利用了相似三角形的傳遞性，由△AEF∽△ADC，△ADC∽△BEC，可得△AEF∽△BEC.

生5：我受到生3的啟發，發現還有一對，是△BDF∽△ADC，證明方法是類似的.

生6：這一對同樣也可以利用相似三角形的傳遞性.

師：對.現在我們一共找到了6對相似三角形.

生7：（驚喜地）老師，我發現這6對相似三角形實際上只涉及4個三角形，它們是△AEF，△ADC，△BDF，△BEC，它們之間都是相似的，能不能把它們連在一起寫？

師：當然可以.（板書：△AEF∽△ADC∽△BDF∽△BEC）

生8：我明白了，由△AEF∽△ADC∽△BDF∽△BEC，任意選取兩個三角形，就能組成一對相似三角形，這樣一共就有6對相似三角形.

師：說的真好！這樣我們就能快速而又不重不漏地找出所有的相似三角形，值得大家學習和借鑒.

點評：教師給學生提供了充分的思考、交流、展示的機會，在師生、生生之間的對話交流與學習借鑒中，學生新的發現、精彩的觀點或方法不斷涌現.如生5受到生3的啟發，又發現了一對相似三角形；生4和生6的證明借助了相似三角形的傳遞性；生7和生8的總結更是精彩，一語道破了問題的本質，為本環節的探究畫上了一個圓滿的句號.

2.第（2）問的探究

師：一道看似平淡無奇的題目，只要善于鉆研，就會精彩綻放.下面我們繼續探究，請同學們連接ED，看看圖中又增加了幾對相似三角形？請找出并給予證明.

生9：如圖1，除了剛才發現的6對相似三角形外，我還發現了△CDE∽△CAB，先由△ADC∽△BEC，得將比例式變形為，又因為∠C=∠C，所以△CDE∽△CAB.

師：不錯！借助第（1）問的結論，利用相似三角形的性質獲得了證明的思路，這種方法對大家有什么啟發？

生10：還有△ABF∽△EDF，是由△AEF∽△BDF，得，將比例式變形為，又因為∠AFB=∠EFD，所以△ABF∽△EDF.

生11：我還有一種證法，由△CDE∽△CAB，得∠CDE=∠CAB，即∠EBD+∠BED=∠EAD+∠BAD，而∠EBD=∠EAD，所以∠BED=∠BAD，又因為∠AFB=∠EFD，所以△ABF∽△EDF.

師：很好，看來這兩位同學是受到了啟發，還有不同的思路嗎？

生12：還可以這樣證：如圖3，取AB的中點O，連接OD，OE，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得OA=OB=OD=OE，所以A、B、D、E四點在以點O為圓心，OA為半徑的圓上，再由同弧所對的圓周角相等得∠ABE=∠ADE，∠BAD=∠BED，所以△ABF∽△EDF.

圖3

師：這個方法很新穎，你是怎么想到的？

生12：Rt△ABD和Rt△ABE有公共斜邊AB，可以得出A、B、D、E四點共圓，上學期學“圓”的時候研究過.

生13：我由四點共圓得到啟發，發現了△CDE∽△CAB的另一種證明方法.由圓內接四邊形的對角互補得∠BAE+∠BDE=180°，又因為∠BDE+∠EDC=180°，所以∠EDC=∠BAE，又因為∠C=∠C，所以△CDE∽△CAB.

生14：我補充一下，用這個方法也可以找到∠DEC=∠ABD，又因為∠C=∠C，所以△CDE∽△CAB.

師：非常好！通過構造輔助圓，達到圓與相似的完美結合，值得大家學習.

點評：給學生充足的思考、書寫時間，讓他們盡情地表達、交流，在思維的碰撞中，在經驗的分享中，一個個證明方法自然生長出來.尤其是生12想到構造輔助圓，借助同弧所對的圓周角相等，使證明變得簡單、明朗，具有很高的思維含量，同時也加深了知識之間的內在聯系，提高了學生分析問題和解決問題的能力.

三、教學感悟

1.深刻理解教材，用好教材經典例習題

章建躍教授在文1中指出：“教材不同于一般出版物，教材是要經得起反復閱讀的……教材的結構體系、內容順序是反復考量的，語言是字斟句酌的，例題是反復打磨的，習題是精挑細選的.”教師要尊重教材，更要研究教材，善于對教材中的例習題做深度追問，進行適當的變式與拓展，力爭達到“做一題，會一類，通一片”.上面展示的習題是“相似”這一章的復習題，旨在鞏固相似三角形的判定，通過改編，將其“小題大做”，雖然占用了半節課的時間，但學生的收獲卻是豐厚的.怎樣用好教材中的經典例習題，需要我們深入研究與實踐.在這方面，劉東升老師基于教材例習題設計開發的“每日一題”活動（詳見文2），值得我們學習和借鑒.

2.通過開放設問，追求開放的數學教學

上文中習題的兩問都是開放式問題，既有答案的不唯一，又有求解方法的多樣化，旨在通過開放式設問帶動開放的數學教學.開放式教學鼓勵學生對話交流，讓不同學生表達不同的思考，教師的關鍵在于引導學生傾聽，思辨他人思路，分享經驗方法.如第（2）問的探究，生10和生11就是受到生9解題思路的啟發，借助前面已證的兩個三角形相似，得出兩組對應邊成比例，進而證明出△ABF∽△EDF，生13和生14受生12四點共圓思路的啟發，發現了△CDE∽△CAB的另一種證明方法，這些精彩的課堂生成正是源自開放的數學教學.試想，這樣的問題，這樣的思辨如果多一些出現在我們的數學課堂上，課堂生成一定會豐富多彩，課堂教學必然精彩綻放.

1.章建躍.中學數學課改的十個論題［J］.中學數學教學參考（上），2010（3～5）.

2.劉東升.經歷問題生成，深刻理解教材——人教八上“每日一題”的命題實踐與思考［J］.中學數學（下），2014（4）.

3.夏盛亮.引導回歸教材，倡導開放教學——一次縣級期末卷的命題取向分析［J］.中學數學（下），2014（1）.

4.鄭毓信.“開放的數學教學”新探［J］.中學數學月刊，2007（7）.H