“一題多變”的解題教學，打開學生思維的通道

☉江蘇省蘇州市高新區實驗初級中學 練兆明

“一題多變”的解題教學，打開學生思維的通道

☉江蘇省蘇州市高新區實驗初級中學 練兆明

教師借助于例題進行教學，用習題衡量學生掌握知識的情況，設計形式多樣的練習促使學生將知識轉化為技能，這是教師教學中常用的方法.因此，重視研究習題和解題教學，是提高教學質量、鞏固深化知識、發展學生思維能力和增強學生解題能力的重要途徑.

波利亞說：“教學生解題是意志的教育，但學生求解那些對他來說并不太容易的題目時，他學會了敗而不餒，學會了贊賞微小的進展，學會了等待靈感的到來，學會了當靈感到來后全力以赴.如果在學校里沒有機會嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么他的數學教育就在最重要的地方失敗了.”

新的數學教學大綱要求教師樹立學生發展的教育觀念，改革教學方法和教學手段，激發學生學習數學的興趣，培養學生的創新精神和實踐能力，提高學生的素質，塑造學生創造性的人格.而現行初中數學課本中，不少習題內涵豐富，對學生思維能力的培養有著不同尋常的作用和豐富的教學價值.而我們教師在使用過程中要做到：一、精選；二、會用；三、善變.下面攫取一二，與各位老師共同探討.

一、習題變式，發揮概念對解題的作用

在講清概念，特別是幾何圖形的概念后，對題目進行簡單的變式，讓剛講完的概念對解題起到舉足輕重的作用.

案例1在講完等腰梯形的概念后，可通過以下幾道變式的題目進行鞏固.

（1）如圖1，等腰梯形的兩底長分別為3cm和7cm，高為4cm，則它的腰為_________.

（2）如圖2，等腰梯形的兩底長分別為3cm和7cm，∠B=60°，則它的腰為_________.

（3）如圖3，等腰梯形的兩底長分別為3cm和7cm，AC⊥BD，則它的腰為_________.

圖1

圖2

圖3

二、增加解題靈活性，發展學生思維

在學生具備了一定的解題能力，或者在章節學完后進行復習鞏固時，可以提供以下檔次的題目.

案例2講完“正方形”這節內容后，就可以進行以下的題目訓練：如圖4，四邊形ABCD是正方形，點G是BC上的任意一點，DE⊥AG于點E，BF∥DE，且交AG于點F，求證：AF-BF=EF.

利用正方形的有關性質與學生最熟悉的全等三角形知識，學生相對比較容易做出該題.所以教師可以作以下的變化，讓學生再思考：

在正方形ABCD中，點P是CD上一動點，連接PA，分別過點B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足為E、F，請探索BE、DF、EF這三條線段長度有怎樣的數量關系？

圖5是先讓點P在正方形的邊長CD上“運動”，學生可以模仿課本上的題目進行猜想與證明，圖6與圖7則讓點P在正方形的邊長CD的延長線上“運動”，把學生的思維引領到另一個高度.

圖4

圖5

圖6

圖7

如圖8，ABCD是一個正方形花園，E、F是它的兩個門，且DE=CF，要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關系？

圖8

利用同樣的知識點學生也是相對比較容易做出該題，這兩道題可以放到一起進行訓練，讓學生進行比較，總結相同與不同之處.也可以分開一段時間，講新課時先做一題，留一題到復習時再用，那么就可以起到鞏固提高的作用.如果是復習時再用，那么教師又可作以下的變動，讓學生再思考：

已知正方形ABCD，如圖9，E是AD上的一點，過BE上一點O作BE的垂線，交AB于點G，交CD于點H，求證：BE= GH.

圖9是在原題上稍作變動，即把原題中的一個結論BE⊥GH作為已知，G為AB上任意一點，指導學生去作輔助線AH′∥GH（如圖12），然后證明全等才能得到最后的結果.

圖9

圖10

圖11

圖10在圖9的基礎上又作變動，E、F、G、H四點都在正方形的邊上，EF⊥GH，結論變為求證：EF=GH.指導學生去作輔助線AM∥EF，DN∥GH（如圖13），然后再證明全等就可得到最后的結果.

圖12

圖13

圖14

圖11干脆把E、F、G、H四點搬到了正方形邊長的延長線上，還是EF⊥GH，結論還是求證：EF=GH.指導學生根據上兩題的思路，把EF、GH平移回到正方形內部（如圖14），采用相同的方法可以得到相同的結論.

需要作輔助線的題目，對初中學生來說就是一個難點，甚至成了一道不易跨越的鴻溝，在教學當中教師精選課本上的習題，把這些典型的題目用好、變通，讓學生從題海中跳出來，不失為老師與學生的共同福音.

解題是數學的重要教學活動，解題過程中當學生思維受阻，處于時而豁然開朗、時而陷入困境時，給予恰當的點撥，會對學生影響極深；當學生對待困難處在猶豫不決時，給予點撥與鼓勵，學生會信心十足；當學生的解法有創新時，給予點撥與肯定，學生會更上一層樓……這不僅是點撥解題，也是點撥人生.

三、增加題目的難度和變化

對于有數學天賦、學有余力的學生，則可設置一些選學內容或課本習題中較難的題目加以變化，讓他們的聰明智慧能得到淋漓盡致的發揮.

案例3在一副三角板中，將一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點D放在一塊含45°角的三角板ABC的斜邊AC的中點上逆時針方向旋轉，直角三角板DEF的短直角邊為DE，長直角邊為DF，且AB=BC=4.

（1）如圖15，在上述旋轉過程中，DM與DN，BM與CN有怎樣的數量關系？

（2）在上述旋轉過程中，兩塊三角板重疊出四邊形DMBN的面積是否發生變化？若變化，如何變化；若不變，求出當時四邊形DMBN的面積.

（3）繼續旋轉至圖16、圖17的位置，圖16延長AB、BC交DE、DF于M、N；圖17延長FD、ED交BC、AB于N、M，則DM與DN，BM與CN有怎樣的數量關系，請寫出結論.

圖15

圖17

圖16

還可以把圖形變換成以下兩個“矩形”與“三角形”，如圖18，O為矩形ABCD的中心，將直角三角板的直角頂點與O點重合，轉動三角板使兩直角邊始終與BC、AB相交，交點分別為M、N.如果AB=4，AD=6，OM=x，ON=y，則y與x的關系是_________.

總之，長期的教學實踐使筆者體會到：如能對基礎題加以研究，觸類旁通，將收到事半功倍的效果.一題多變是開發智力、培養能力的一種行之有效的方法，進行思維分析，探討解題規律和對習題的多角度“追蹤”，能“以少勝多”地鞏固基礎知識，提高分析問題和解決問題的能力.掌握基本的解題方法和技巧，這對溝通不同知識之間的聯系，開拓思路，培養發散思維能力，激發學生的學習興趣都是十分有益的.

圖18

1.文衛星.數學教學中的育人藝術［J］.中學數學教學參考，2003（7）.

2.肖研.關于初中數學解題教學的幾點建議——讓學生在“講題”中提高數學能力［J］.課程教育研究，2013（10）.

3.平志明.培養學生良好的解題習慣優化初中數學教學［J］.數學學習與研究，2011（14）.H