永磁球形電動機永磁體渦流損耗分析

李洪鳳 沈彥波

永磁球形電動機永磁體渦流損耗分析

李洪鳳 沈彥波

（天津大學電氣與自動化工程學院 天津 300072）

永磁球形電動機的磁極呈球面錐體結構，各定子線圈相互獨立分布于定子球殼內表面，針對這些特性，提出了一種計算永磁球形電動機永磁體渦流損耗的三維解析模型。該模型將雙重傅里葉級數法與矢量磁位解析法相結合，首先利用雙重傅里葉級數法求得定子內徑處電流密度分布，繼而將其作為邊界條件，借助三維拉普拉斯方程，獲得了矢量磁位的特解，最后推導得到了永磁球形電動機永磁體渦流損耗的解析表達式。該模型充分考慮到了時間諧波與空間諧波對渦流損耗的影響，并分析了不同的電機結構參數對永磁體渦流損耗的影響。將解析法與有限元法所得結果進行了比較，結果一致，證明了該解析模型的有效性。

永磁球形電動機 雙重傅里葉級數法 矢量磁位法 永磁體渦流損耗解析模型

1 引言

目前，機械手、機器人等裝置多自由度運動的實現需要多臺單自由度電機的相互配合，但是，這樣的系統具有體積大、精度低、摩擦大等缺點。為了改善系統的性能，國內外的學者將研究的重點放到了單軸可以實現多自由度運動的電動機上。其中，永磁球形電動機以體積小、重量輕、力能指標高、控制簡單等優點，成為多自由度電動機研究的熱點[1-9]。

永磁體的渦流損耗是永磁球形電動機設計的一個關鍵性問題。現階段，永磁體大多采用釹鐵硼， 這是因為其具有較高的矯頑力和剩磁，但其電導率比較高且耐熱性差，渦流會使永磁體發熱并升溫，甚至會導致部分不可逆退磁。縱觀國內外學者關于永磁體渦流損耗的研究，本質上主要局限于采用解析法和有限元法對傳統單自由度永磁電動機永磁體渦流損耗二維模型進行的分析[10-16]。其中，文獻[10]將定子線圈電流等效為位于定子槽口處的等效電流片。還考慮了空間諧波分量和時間諧波分量對渦流損耗的影響，給出了解析表達式，并與有限元仿真進行了比較，驗證了解析表達式的正確性。文獻[11]通過對理論推導和實驗進行比較，得出了將永磁體分為多個單元并進行相互隔離時能夠減小永磁體中產生渦流損耗的結論。文獻[12]應用解析法分析了永磁同步電機帶交、直流負載時的渦流損耗情況，為如何降低帶載時的轉子渦流損耗提供了寶貴的數據材料。文獻[13]對比分析了永磁體渦流損耗對電動機與發電機的溫升的影響情況。文獻[14]利用數值方法，計算了發電機在三相負載不對稱時負序電流在轉子上產生的渦流損耗以及由渦流損耗引起的溫升。文獻[15]則考慮了PWM調制對無刷直流電機轉子的渦流損耗的影響，通過改變占空比，分析了渦流損耗的變化情況。

本文的研究對象的實物模型如圖1所示，定子線圈被分為3層，每層18個線圈，6塊永磁體按N極與S極交替安裝在球形轉子上，各結構名稱如表1所示。首先，應用雙重傅里葉級數法推導得到了定子線圈的等效電流片的電流密度分布。其次，采用解析法，以矢量磁位為求解變量，對永磁體渦流損耗進行了理論推導，得到了永磁體渦流損耗的解析表達式，最后用有限元法驗證了解析方法的正確性。

圖1 永磁球形電動機實物模型Fig.1 The prototype of the PMSM

表1 結構名稱Tab.1 The names of different structures

2 定子線圈電流密度分布

為了計算永磁球形電動機永磁體的渦流損耗，需要計算出定子線圈在氣隙與永磁體內的電磁場分布，而這需要得到線圈在定子內徑處的電流密度分布。

圖2 永磁球形電動機的三維模型Fig.2 The 3-D model of the PMSM

圖2 (a)給出了電機全部磁極與線圈的三維模型，圖2(b)給出了單個磁極與局部線圈模型，其中Rs、Rm和Rr分別為定子內徑、磁極外徑和磁極內徑，αb表示線圈間隙對應機械角度，θr為單個磁極的經度角，φr為單個磁極的緯度角，O為球心。假設把電機的三層線圈沿定子周向延展開，將圓形線圈電流等效為位于線圈間隙間的厚度無窮小的圓環狀電流片，由于存在α，φ兩個變量，需要應用到雙重傅里葉變換對等效電流片電流密度進行分析。為了簡化分析，進一步將圓環狀的電流片等效為方形的[5]，如圖3中陰影部分所示。那么，定子上的每一個線圈在定子內徑處的電流密度都可由其等效成的方形的電流片的電流密度值Js所表示。

圖3 等效電流片模型Fig.3 The model of equivalent current sheet

本文以永磁球形電動機的自轉為例來分析電機的永磁體渦流損耗，方法同樣適用于其他形式的運動。將永磁球形電動機沿赤道一周的定子線圈分為三相（位于同一經度的三個線圈為同一相，且通電方式是一樣的），采用典型的三相橋式電路對定子線圈進行供電來實現電機的自轉。

以任意選取的位于赤道處一層的一個線圈A1為分析對象，分別沿α，φ方向進行剖分，可以得到兩個剖面圖4(a)與圖4(b)，如圖4所示。

圖4 永磁球形電動機的剖面圖Fig.4 The cross sections of the PMSM

當僅有A相通電，電流為i時，電流密度的分布如圖5所示。

圖5 等效電流片電流密度Fig.5 The current density of the equivalent current sheet

J的表達式可表示為

αy表示單個線圈所對應的機械角度，N為單個線圈總匝數，且方形電流片面積S為將J進行雙重傅里葉分解，即:

其中，v與w分別為沿α，φ方向的空間諧波次數，i為虛數單位，ps為定子極對數，且

其中，T1與T2分別為對α，φ進行雙重傅里葉分解的周期值，并引入ω1與ω2，分別為對應的角頻率，且

所以，綜合式（3）與式（4），可推得

以上電流密度僅分析了A相通電時的情況，由球形電動機的通電方式可知，位于同一經度的三個線圈為同一相，因而不涉及三相電流疊加，只需將沿α方向的三相電流進行疊加。由于三相電流在空間與時間上對稱，假定各次時間諧波次數為u，幅值為Iu，則A、B、C三相電流時間表達式為

式中，ωr為轉子角速度，θu為各次時間諧波相角，pr為轉子極對數。

將式（10）代入式（9），可得三相電流密度傅里葉級數表達式

其中，

所以，位于定子內徑處的等效電流片的電流密度分布表達式為

3 定子線圈電磁場分布

得到了定子線圈的電流密度分布，可以對線圈的電磁場分布進行分析。引入矢量磁位A，其在包含永磁體與氣隙的三維求解域內滿足三維拉普拉斯方程

矢量磁位A在球坐標系下的通解為

其中，X和Y為待定系數，且

其中

給定永磁球形電動機邊界條件

矢量磁位可解得

將式(13)代入上式，可得

由此矢量磁位可以得到定子線圈電磁場的Br，Bθ和Bφ三個磁密分量，如圖6所示。

圖6 磁密分布Fig.6 The flux density distribution

由圖6可知，三個分量的幅值相差不大，都在0.15特斯拉左右，永磁球形電動機的結構的特殊性使其較常規電機多了一個磁密分量Bφ，且其幅值較大，不容忽視，這也說明了對永磁球形電動機進行三維建模和分析的必要性。

4 永磁體渦流損耗計算

將式(22)在靜止坐標系下的表示形式轉換為旋轉坐標系下的表示形式，有α=θ+ωrt ，所以

永磁體中由時變的定子線圈電磁場感應產生的渦流可以由下式表示

其中，ρ為永磁體的磁阻率，C(t) 的引入是因為每個磁極對外界總電流密度表現為零，所以永磁體內的感應電流需滿足如下約束條件

其中，φ1、φ2為磁極上下邊緣處的緯度。永磁球形電動機的永磁體渦流損耗為

令φr=φ2-φ1，P1、P2分別為

其中，

5 永磁體渦流損耗分析

渦流損耗的計算需要應用到相電流各次時間諧波的幅值Iu，可以應用有限元法得到相電流波形。電機的相關參數如表2所示。永磁球形電動機空載轉速為45rpm時，有限元法得到的A相的相電流波形圖如圖7所示。

表2 結構和材料參數Tab.2 Structure and material parameters

圖7 A相電流波形Fig.7 The current waveform of phase A

可以看出，電流波形為非正弦，含有諧波分量。對此波形進諧波分析就可以得到各次時間諧波的幅值Iu與相位θu，可以將此結果應用到解析模型。其中各次諧波的幅值如圖8所示。

圖8 電流諧波Fig.8 The current harmonics

可以看出，除基波外， 5、7、11、13次諧波的幅值還是比較高的，隨著轉速的增加，它們在電機不同部位產生的損耗將會很高。

由式(26)可以得到永磁球形電動機永磁體渦流損耗隨不同參數變化的三維圖形，如圖9所示。其中，轉速為300rpm，相電流為10A，空載。

圖9 永磁體渦流損耗隨不同參數變化的三維圖形Fig.9 The influence of different parameters on eddy current loss 3-D diagram

圖9 a給出了永磁體渦流損耗隨永磁體經度角θ和永磁體厚度R的變化情況。圖9b給出了永磁體渦流損耗隨永磁體經度角θ和氣隙長度δ的變化情況。為了便于分析，圖10給出了當永磁體經度角θ為360°時的二維圖形，圖10a給出了R對渦流損耗的影響，圖10b給出了δ對渦流損耗的影響。

圖10 θ為360°時不同參數對渦流損耗影響的二維圖Fig.10 The influence of different parameters on eddy current loss2-D diagram when θ is 360°

由圖10a可以看出，永磁體內的渦流損耗隨著永磁體厚度的增大而增大。當永磁體太厚時，交變的磁場在永磁體內衰減較快，因而出現了圖中所示的永磁體大于10mm后渦流損耗幾乎不再增加的情況。永磁體太厚也會增加轉子重量，提高成本，降低工作性能，所以應該減小永磁體厚度，但是不能太薄，否則會嚴重削弱永磁體的磁密分布[4]。適當地減小永磁體厚度（不大于10mm），將減少永磁體運動時產生的渦流損耗，并且提高電動機的工作性能。

由圖10(b)可以看出，隨著氣隙逐漸增大，渦流損耗迅速下降。這是由于氣隙的增大會使諧波磁動勢在氣隙處的降落增大，從而使永磁體遭受的磁動勢降低，進而減少了渦流損耗。但氣隙不能過大，否則會降低輸出轉矩。因此，在不影響電機運行的前提下，適量增加氣隙長度（不小于1mm）將會大大降低永磁體渦流損耗，減少永磁體的發熱，延長電機的壽命。

6 有限元仿真驗證

對于永磁體渦流損耗，可以應用三維有限元法得到的渦流密度分布J直接計算得到[16]，計算公式為

圖11為永磁球形電動機不同轉速時的磁極內渦流密度分布的有限元仿真結果。

圖11 渦流密度分布圖Fig.11 The eddy current density distribution

為了分析磁極不同區域渦流密度分布情況，分別對a、b和c三個點進行作圖，其中，a點位于非赤道一層的線圈所對應的區域，b點位于赤道一層的線圈所對應的區域，c點位于赤道一層的兩個相鄰的線圈所夾空隙對應的區域，隨轉速的不同，各點處渦流密度變化曲線如圖12所示。

圖12 渦流密度對比Fig.12 The comparison of eddy current density

由圖12可以看出，相比之下，c點所處區域的渦流密度數值很小，而b點所處區域的渦流密度明顯大于其他區域，這與永磁球形電動機的定子線圈的分布情況有關，多個線圈的相互獨立的排列形式造成了永磁體內渦流密度的不均勻分布。

將本文提出的永磁體渦流損耗三維解析模型與有限元法所得結果進行比較，如圖13所示。

圖13 電機不同轉速下單塊磁極渦流損耗Fig.13 The eddy current loss of a single pole at different speeds

可以看出兩者結果基本吻合，驗證了此解析模型的有效性。

7 實驗

永磁球形電動機的實驗平臺如圖14所示。該實驗平臺采用三相橋式電路對永磁球形電動機定子線圈供電，實現了永磁球形電動機的連續自轉運動。空載實驗時，當電動機轉速為45rpm時，A相電流波形如圖15所示。圖中，縱軸坐標對應2A/div。

圖14 永磁球形電動機實驗平臺Fig.14 The experiment platform of the PMSM

圖15 A相電流波形圖Fig.15 The current waveform of phase A

虛線部分的放大圖為圖16，縱軸坐標對應2A/div，可以看出，空載時，通過定子線圈的電流為4A，該實驗波形與有限元仿真波形圖7相吻合。

圖16 局部放大圖Fig.16 The partial enlarged diagram

8 結論

本文采用雙重傅里葉級數法得到了永磁球形電動機定子線圈的等效電流片模型，基于矢量磁位,建立了永磁體渦流損耗解析模型，得到了等效電流片的磁密分布，并求解出永磁體渦流損耗的三維解析表達式，該表達式考慮到了空間諧波與時間諧波對永磁體渦流損耗的影響。分析了不同永磁體厚度與氣隙等結構參數情況下永磁體產生的渦流損耗。通過有限元仿真，驗證了該解析法的準確性。本文的解析模型對永磁球形電動機的初始設計與優化具有一定的借鑒意義。

附錄 A

式（13）的推導過程如下，

當v=3c-u（c =0,±1,±2...）時，有

所以，

當v=3c+u（c =0,±1,±2...）時，有

所以，

綜上，

附錄 B

電樞反應磁場的Br，Bθ和Bφ三個磁密分量，

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Eddy Current Loss Analysis in the Rotor magnets of Permanent Magnet Spherical Motor

Li Hongfeng Shen Yanbo
（School of Electrical Engineering and Automation Tianjin University Tianjin 300072 China）

The rotor magnets of the permanent magnet spherical motor(PMSM) have a structure of spherical cone, and all of the stator coils are distributed on the inner surface of the stator shell independently of each other. In view of these characteristics, a three-dimensional(3-D) analytical model is presented to study the eddy current loss of magnets in the PMSM. And this model combines the double Fourier series decomposition and the magnetic vector potential method. First, the current density distribution at the inner diameter of the stator is described by employing the double Fourier series decomposition. With the current density distribution and other boundary conditions, the unique solution of magnetic vector potential is obtained by solving 3-D Laplace’s equations. Further, the analytic expression of PM eddy current loss in the PMSM is derived. This model considers the effect of harmonics, and the influence of different motor parameters on the eddy current loss has been analyzed. The results of analytical method and finite element method(FEM) are compared, proving the effectiveness of the proposed analytical model.

PMSM, double Fourier series decomposition, magnetic vector potential method, analytical model of PM eddy current loss

TM351

李洪鳳 女，1979年生，副教授，研究方向為電機與電器。

國家自然科學基金（51007061）。

2014-07-10

沈彥波 男，1991年生，碩士，研究方向為電機與電器。