尋覓理性的數學課堂

江蘇常州市實驗小學（213000） 張祖潤

數學，最為重要的特征就是數學的抽象性，概念、判斷、推理是數學學習和研究的最基本的思維形式。對于兒童，理性的數學就是讓兒童學會用數學的眼光認識世界，探索數學規律，總結數學方法，形成數學思想，提煉數學精神，并從上述活動中得到經驗的累積、思想的深化和心靈的升華。數學教學的內涵比較豐富，主要包括問題、語言、方法、思想等，數學教學需要通過正確的路徑引導兒童把握數學學科的本質，讓兒童正確理解數學概念，準確領悟數學思想方法，感悟數學特有的思維方式，提升對數學美的鑒賞，進而上升到追求數學的理性精神。也只有這樣，才能凸顯出數學課程的價值。

回到當下，許多教師在備課時往往先思考這樣一個問題：“這節課設計什么活動讓學生探究比較合適呢？如何變換教材中的問題情境才能更貼近學生的生活實際呢？”這些教學思考看似將新課程改革理念予以落實，其實容易陷入“只關注數學學習的表面形式，而忽略數學本質的理解”，沒有真正關注數學教學的目標價值。數學教學應該依據數學的學習內容和學生學情準確確定教學的目標價值，然后才考慮通過什么樣的“探究活動”來實現教學目標。其次，數學學習材料中有大量便于學生進行操作的內容，許多教師便十分關注學生“動手實踐、自主探索、合作交流”的活動組織，針對某一知識概念，為操作而操作，為活動而活動，并不計量操作活動的量與度的價值。再者，數學教學的核心價值在于提高兒童的數學素養，這種數學素養主要體現在“基本的數學知識與技能”的掌握與“數學的思考方式”的形成上，且以“數學的思考方式”為重點，許多課堂教學便十分關注某一數學內容在生活中的原型，引入生活現象的支撐，這是必要的，但數學具有理性的內核，數學不等同于生活，淺層次的鏈接或簡單的疊加容易忽略了這一內容在生活中的合理性與真實性，從而淡化了學生對數學理性精神的閱讀與理解。

理性的數學課堂需要教師提升對數學本質的理解與把握。因為有什么樣的價值觀就有什么樣的行為方式，有什么樣的行為方式就有什么樣的行動結果。作為數學內容的本真意義，就需要我們對具體內容進行深入挖掘，層層追問。隱藏在客觀事物背后的是什么數學規律？這個數學知識的本質屬性是什么？統攝具體數學知識與技能的數學思想方法是什么？讓無數次的叩問逼近數學的本質，讓教學的張力在本真意義的統領下變得飽滿起來。

一、尋覓數學知識中的“理性精神”——向兒童展示數學結果的本真面目

建構主義學習理論認為，學習是兒童主動的建構活動，學習應與一定的情境相聯系。基于這種教學理念，很多教師總喜歡在課堂上營造一些數學教學情境，但這種情境一般過于注重數學知識的外在形式，不能觸及數學知識的本質。而數學知識的本質，它是一種過程，更是一種創造，是一種積淀，更是一種傳承，是一種自由，更是一種矛盾。

【案例】“圓的周長”教學片斷

師：“周三徑一”是我們祖先在長期的生活實踐中總結得出的，現在我們一起去認識它。

師（播放課件）：這幅圖中有哪些圖形？

生1：圓。

生2：六邊形。

生3：正六邊形。

……

師：正六邊形的周長和直徑的比值是幾？這和我們剛才所了解的“周三徑一”的結論是一樣的。比較圓和正六邊形的周長，有什么發現？

師：注意觀察，現在我們把圓平均分成了多少份？（12份）連接圓上這12個點，會是個什么圖形？

生4：正十二邊形。（課件展示：連接12個點，成為十二邊形）正十二邊形的周長和正六邊形的周長相比，誰更接近圓的周長？

生5：正十二邊的周長更接近圓的周長。

師：如果繼續分，得到二十四、四十八邊形，又是怎樣的？我們就這樣一直分下去，你會有什么發現？

生6：分得越多，多邊形的周長就越接近圓的周長。

師：那么，正多邊形的周長和直徑的比值就越來越接近——圓的周長和直徑的比值。

（多媒體顯示：劉徽用“割圓術”求圓的周長和直徑的比值，計算到正九十六邊形時，得到這個多邊形的周長和直徑的比值是3.1416（將板書c/d=3改成c/d=3.141））

師：我們一起來感受一下祖沖之的研究過程，在這樣一個大圓里,祖沖之分割出正12288邊形。這個多邊形每條邊的長度是0.852毫米。雖然如此，祖沖之并沒有停止，他繼續分割,得到正24576邊形,每條邊的長大約是0.4毫米……這時，多邊形和圓會怎么樣？

生7：會貼得很緊。

師：求出的多邊形的周長和直徑的比值就會——

生8：非常接近圓的周長和直徑的比值。

師：請同學們大聲讀出祖沖之的研究成果。

……

兒童閱讀數學知識、習得數學技能時，他們是多么渴望知道數學知識的來源，了解數學知識的本來面目，想探索數學知識存在的原因是什么、產生的過程又是怎樣的，從而觸摸到數學的“理性精神”。因而數學課堂應該極力讓兒童觸及數學概念的本質，感受來源，體驗產生過程，感受數學的博大與前人的情懷。教師借助畫圖軟件呈現劉徽割圓術，用多媒體播放祖沖之的偉大成就，引領學生了解圓周率的探索歷程，充實了數學活動的內容，拓寬了學生探索的空間。學生通過觀察、聯想、猜測、推理，在了解知識的本來面目之后，感受到數學中的極限思想，體悟到數學研究的魅力。感受發現圓內接正多邊形的邊數越多，正多邊形的周長越接近圓的周長，正多邊形的周長與直徑的比值越接近圓的周長與直徑的比值，圓周率的探索活動，既是一種領悟數學思想方法的過程，更是一個體驗數學理性精神的過程。

作為小學數學教師，應該深刻理解小學數學的知識體系，能夠從數與代數、圖形與幾何、統計與概率、實踐與綜合應用等方面通曉小學數學全部的教學內容，逐步了解各部分滲透的數學思想方法，避免顧此失彼。斯苗兒老師曾經說過：“一些課上得不好的原因不在于方法和技巧，而是教師本身的數學功底。”因此，我們應該做到從整體上把握教材，認清教材的特點，理清教材的思路，梳清教材的脈絡，從整體上構建教材的數學思想的立體框架。在研讀教材時，要多問自己幾個為什么，如：怎么樣才能引發學生進行深層次的數學思考？如何引導學生主動探究新知識？怎樣根據教材的編排意圖適時地滲透數學思想方法？……努力讓數學課本上看得見的思維結果折射出看不到的思維活動過程，弄清新知識的形成過程，將教材的編排思想內化為自己的教學思想，找準新知識教學的生長點。

二、尋覓過程體驗中的“理性精神”——向兒童呈現數學成長的本真價值

數學的理性精神往往沉積、凝聚在數學結論的背后，常常滲透在兒童獲得知識和解決問題的過程中。著名數學家波利亞認為，學習任何知識的最佳途徑，都是由自己去發現、探究，因為這種理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系。我們應該有效地引導兒童經歷知識形成的過程，讓兒童在觀察、實驗、分析、抽象、概括的過程中，體驗到知識背后所承載的方法、蘊涵的思想。只有如此，兒童所掌握的知識才是鮮活的，這樣的學習才是充滿智慧的學習，兒童在經歷思想觀念的過程中去感受和理解數學思想，從而對數學知識的理解超越機械的水平，達到理解和領悟的水平。

【案例】“兩位數乘兩位數的筆算乘法”教學片斷（2014年江蘇省小學數學優課評比一等獎）

1.創設情境，產生問題

師：秋天到了，果園豐收了。小熊幫媽媽搬迷你南瓜，你看到了什么？

師：現在一共有多少個南瓜？會說一個算式嗎？（24乘2等于48個）小熊繼續搬，現在有幾箱啦？有多少個呢？

師（出示例題圖）：小熊還沒搬完，它又搬了2箱，現在一共有多少個呢？

師：這個問題怎么解決呢？會列算式嗎？我們需要算一算。

2.思考算法，體悟多樣

師：你想怎樣算？會把自己的想法寫下來嗎？（展示生的不同算法）

師：給大家介紹一下，你們是怎樣算的？（師在生解釋的過程中將對應的圖圈一圈）

師：同學們真會思考，想到了這么多算法，而且都是轉化成以前學過的知識來解決的！

3.主動嘗試，建構豎式

師：今天，我們再一起來學習兩位數乘兩位數的筆算，這個豎式會算嗎？先算什么？聯系我們以前學過的兩位數乘一位數的筆算想一想，再拿出作業紙試一試。

（生嘗試繼續算，師巡視收集典型的寫法）

師：仔細觀察，這兩個豎式都對嗎？

師：第2個豎式對嗎？它是怎樣算的呢？在小組里討論。

生1：用 10乘 24，得到 240，再把 48和 240加起來，得到288。

師：用十位上的1乘24，得到24個十，也就是240。

師：再來看剛才這個有問題的豎式，你知道錯誤原因是什么嗎？

生2：24的位置寫錯了。

生3：24的位置寫錯了，用十位上的1乘24，得到的是24個十，這樣寫變成24個一了！

師：那這個24應該放哪呢？

生4：放在百位和十位。

師：按照大家的建議，我把它往前移，相同數位相加，得到288。（把錯誤的豎式改正確）現在它表示的也是24個十了。所以這兩種豎式的寫法都是對的。為了書寫簡便，這里的0我們一般省略不寫。記住這位新朋友了嗎？

4.回顧算法，比較溝通

師：回顧一下研究過程，先分三步口算出了24乘12的得數，再用豎式計算出結果。比較一下，你發現了什么？

生5：我發現它們的過程都是一樣的，先算出48，再算出240，最后把它們加起來，就是288。

師：是呀，48求的是2箱的個數，24個十求的是10箱的個數，把它們加起來，就是12箱的個數。原來它們的計算道理都是一樣的，只不過一個是分步算式，一個是豎式形式，都是求幾個幾加幾個幾十。你們覺得哪一種更方便？

生6：用豎式比較方便，口算的三步寫起來比較麻煩。

5.聯系生活，內化算理

師：好學的小熊也學會了筆算，他還幫媽媽解決了一個問題“媽媽買21瓶蜂蜜，每瓶23元，一共多少元？”

師：小熊不知道自己算得對不對，我們可以幫他驗算。（生獨立驗算）

師：這時候它的小伙伴跳跳虎來了，他可看不懂這個豎式，每一步求的是什么呢？你能跟跳跳虎說說嗎？

離開數學本質的數學課堂教學，不管多么華麗，都是形式主義，不僅不利于學生數學素養的養成，更為嚴重的是會阻礙學生數學思想和數學思考的形成。面對逐漸走向理性化的數學課程，既要讓課堂體現生活化、情境化、趣味化，又要讓學生學習真正的數學，發展數學思維。案例中，教師放手讓學生獨立嘗試，在嘗試的過程中，學生自覺地把新知轉化為舊知，自主解決了新問題，逐步感受到用轉化解決問題的數學思想方法。讓學生聯系已有的兩位數、三位數乘一位數的筆算經驗，自主探究豎式的計算過程，引導學生在交流中去發現、思索、比較、領悟，通過舊知遷移“用個位上的2乘24”，自主生成“用十位上的1乘24”。再通過典型資源的收集，豎式的對錯辨析，從而理解第二部分積的定位，幫助學生突破本課的知識難點，在理解算法的基礎上，進一步感受豎式的優化。同時在教師的引導下，學生發現了豎式計算與橫式計算之間的聯系與區別“計算方法相同，計算原理相同，書寫形式不同”，既溝通了算法算理的關系，又突出了兩位數乘兩位數的本質，使學生理解了兩位數乘兩位數的算理。在鞏固練習中，充分利用學生的已有生活經驗，再將豎式的計算過程與生活情境聯結起來，讓學生在情境中加深對兩位數乘兩位數算理的理解，體會到學習數學的價值。同時也使學生進一步感悟整數乘法的核心要素，培養了學生的數學理解能力。

三、尋覓數學思維中的“理性精神”——向兒童顯現數學思考的本真內涵

數學的本質是要學會數學地思維，在數學學習的過程中要引導兒童將思維不斷激發、將思考不斷深入，應該引導兒童由“學會數學地思維”向“通過數學學會思維”的方向發展，關注兒童數學思維中的“理性精神”，設法改變兒童的思維方式，正確將兒童引向數學思維中的“理性精神”，讓學習與思考共隨，讓方法與精神同存，及時優化思維方式，在思維中體會數學的巨大力量，直抵數學的本質。

比如在一年級教材中，會出現這樣的習題：

雖然這些題目只是要求在空格中填進一個合適的數，但教師應該明白，若把□換成x，則上面的題目就變成了不等式，這時x就是一個變元符號，就會有一定的取值范圍。這一個“位置占有者”的作用就會凸顯出來。因此可以引導學生思考、討論這樣的問題：□內最大能填幾？最小呢？最多能填幾個數？同樣，在此基礎上還可以進一步深化：□＋○＜7，可以填些什么數？這樣的處理更好滲透了符號變元這一數學本質，教學內容的思維價值也顯露出來，能夠更深層次地引導學生進行數學思維，從而獲得思想的發展與提升。

【案例】“認識整億數”的教學片斷

師：同學們，最后做一個游戲。我們今天來玩一個“變數游戲”，這里有一個數字卡片2，如果放到數位順序表這個位置，表示多少？

生1：2000000000。（師對準數位順序表板書）

師：你也能像老師這樣放一放，變出一個數嗎？看誰變得多。（展示若干不同的數據）思考一下，同樣一個2，為什么會變出這么多不同的數？

生2：在不同的數位上表示的大小也不同。

師：數學上一共有10個數字，如果這10個數字放到這么多的數位上，能組成多少個數呢？（無數個數）這正是數字的奇妙之處，也是數學的奧秘所在。

師：剛才放了這么多數，最大的數是200000000000，除了千億，我們知道還有比它更大的計數單位，但你有沒有想過計數單位除了“個”外，會不會還有比“個”更小的計數單位呢？

生3：我覺得應該有，在個位右邊應該還有比“個”更小的計數單位。

認數背后有“理性精神”嗎？認數的本質是什么？兒童為什么要認數呢？為什么要有計數單位呢？十進制的原理價值在哪？劉加霞老師指出學習自然數的兩個核心價值：進制和位值制。同一個數字，由于它在所寫的數里的位置不同，所表示的“位置值”的值也不同。案例中巧妙的變數游戲讓學生初步感受到位值原理的價值，感受到數學的神奇與偉大。計數單位的左延與右拓，給予學生思考的空間，從精神的源頭賦予探索的方向，讓學生主動將思維的觸角指向數學的背后，努力去思考數學知識中所蘊藏的價值力量，感受“認數知識”后的精妙的“理性精神”。

數學有一種“自我生長”的力量，一步步推理，客觀、冷峻、嚴密，仿佛她不依靠人類的探索，而是一直守候在那里，等著被人們發現。我們的數學課堂就應該讓兒童去感知數學那特有的眼光和素養，回歸到數學的思想、方法、精神等特質上，觸摸數學的“理性精神”。微風人獨立，驀然一回首，那數學的“理性精神”將永存兒童心間。