動力系統的Poisson結構和可積變形

張亞欣,黃晴

(西北大學數學學院,陜西 西安 710127)

1 引言

Hamilton系統是非線性科學研究中的一個重要領域,廣泛存在于數理科學,生命科學和社會科學中.經典力學的Hamilton理論是定義在偶數維相空間上的,如果一個自由度為n的Hamilton系統H有包含H在內的n個泛函獨立且兩兩對合的守恒積分,則稱系統H在劉維爾意義下是完全可積的[1-2].此外,如果完全可積系統H還存在僅與H對合且相互獨立的m個守恒積分,m滿足n

目前對給定可積系統進行可積變形的研究已有一些結果,文獻[11]基于具有斜積映射的Poisson代數構造了一類三維Lotka-Volterra方程的可積變形.文獻[12]基于相容Poisson結構族的構造得到了Bogoyavlenskij-Itoh系統的可積變形族.文獻[13]通過推廣守恒積分構造了Euler陀螺的可積變形.文獻[14]將Poisson-Lie群作為Lie-Poisson代數的變形,給出了某些可積型R?ssler和Lorenz系統的可積變形.文獻[15]給出了最大超可積系統的可積變形方法.

本文以保守Lorenz系統為例,構造該系統的Poisson結構,通過添加任意可微函數推廣守恒積分,利用這些新的函數構造一個新的系統,稱為原來系統的可積變形,并給出變形后系統的Poisson結構.

2 廣義Hamilton系統

定義 2.1[5]光滑流形M上的廣義Poisson括號是定義在光滑函數空間C∞(M)上的一個運算{·,·},對于任意的函數F,G,K∈C∞(M),該運算滿足如下四條性質:

(i)雙線性:{aF+bG,K}=a{F,K}+b{G,K};

(ii)反對稱性:{F,G}=?{G,F};

(iii)Leibnitz 法則:{F·G,K}=F·{G,K}+G·{F,K};

(iv)Jacobi恒等式:{F,{G,K}}+{G,{K,F}}+{K,{F,G}}=0.

具有廣義 Poisson括號結構的流形M,稱為 Poisson流形,記作 (M,{·,·}).在定義2.1中,沒有限定M的維數,M可以是任意有限維或無窮維流形,特別地可以是奇數維流形,并將廣義Poisson括號簡稱為Poisson括號.設Poisson流形的局部坐標為 (x1,x2,···,xn),其結構矩陣P(x)的元素由Pij(x)={xi,xj}定義,并有如下命題.

命題 2.1[5]對于任意一個函數矩陣P(x)=(Pij(x))(x=(x1,x2,···,xn)),該矩陣是一個Poisson括號的結構矩陣的充要條件是:

由結構矩陣P(x)可定義任意兩個函數F,G的Poisson括號

設系統的Hamilton函數為H(x),則系統的運動方程可表示為Hamilton形式

稱如上系統為廣義Hamilton系統.

3 動力系統的Poisson結構

經驗證{Fi,Fj}=0,i,j=1,2,···,n?1,因此廣義Hamilton系統 (3)是劉維爾完全可積系統.

當αβ時,Pα?Fβ=0,α,β=1,2,···,n?1.在(3)式中可以取F1,F2,···,Fn-1中的任意一個函數作為Hamilton量,其余的記作該Hamilton系統的Casimir函數,因此Rn中的所有自治動力系統(1)都是廣義Hamilton系統,其形式如(3)式所示,并且用這種方式構造的結構矩陣的秩為2.

4 保守Lorenz系統的可積變形

Lorenz系統由如下方程給出

其中σ,ρ,β是實參數.這里考慮系統(4)的保守極限,由如下的伸縮得到

取極限ρ→∞.在該變換下,系統(4)為

易得系統(5)的兩個守恒積分

選取F1作為Hamilton量,F2作為Casimir函數,則系統(5)的廣義Hamilton形式為計算得

同樣地選取F2作為Hamilton量,F1作為Casimir函數,得到其結構矩陣為

因為P1+P2是一個結構矩陣,所以 Poisson括號{·,·}1和{·,·}2是相容的,系統 (5)有如下形式=P1?F1=P2?F2,由此系統(5)是bi-Hamilton系統.

如果一個動力系統的時間變量重新參數化,其守恒積分仍唯一地確定系統本身,那么可以利用這一性質構造它的可積變形.對上述守恒積分求導得

根據這一性質,通過添加兩個任意的可微函數g1(x1,x2,x3),g2(x1,x2,x3)推廣守恒積分(6)

(7)式關于時間變量求導得

解方程組(8)得到系統(5)的可積變形

如果g1,g2是常值函數,那么系統(9)退化為初始系統(5).易證(7)式是系統(9)的守恒積分.

下面構造系統(9)的Poisson結構.令H:=1,對應的結構矩陣1滿足

從而通過可積變形得到的劉維爾可積系統(9)可表示為廣義Hamilton系統.

5 總結

本文研究了保守 Lorenz系統的 Poisson結構和可積變形.利用守恒積分構造Poisson結構,將動力系統表示為廣義Hamilton系統的形式,從而證明了動力系統的完全可積性.通過推廣守恒積分構造系統的可積變形,得到了新的劉維爾可積系統.