歸納推理

歸納推理以其獨有的技巧，在高考試題中具有特殊的地位和作用，考查考生閱讀、理解、遷移新知識、歸納推理的能力，以及運算求解能力. 多以填空題的壓軸題的形式呈現，難度為中偏高檔或高檔，總分值約為4～5分.

（1）以數列、不等式、函數等為背景的歸納推理題.

（2）以數學史料為背景的歸納推理題，如古希臘畢達哥拉斯學派研究的多邊形數等.

破解歸納推理題的關鍵是：

（1）發現共性→通過觀察特例發現某些相似性（特例的共性或一般規律）.

（2）歸納推理→把這種相似性推廣為一個明確表述的一般命題（猜想）.

（3）檢驗，得結論→對所得的一般性命題進行檢驗. 一般地說，“求同存異”“逐步細化”“先粗后精”是求解由特殊結論推廣到一般結論型創新題的基本技巧.

例 已知

12= ×1×2×3，

12+22= ×2×3×5，

12+22+32= ×3×4×7，

12+22+32+42= ×4×5×9，

則12+22+…+n2=________（其中n∈N ）.

破解思路 觀察所列出的四個等式右邊所具有的特點，歸納出其規律，推測12+22+…+n2的表達式.

答案詳解 當n=1時，12= ×1×2×3= n（n+1）（2n+1），

當n=2時，12+22= ×2×3×5= n·（n+1）（2n+1），

當n=3時，12+22+32= ×3×4×7= n（n+1）（2n+1），

當n=4時，12+22+32+42= ×4×5×9= n（n+1）（2n+1），所以應填 n·（n+1）（2n+1）.

1. 如圖1所示，一組數排成倒三角形，其中第一行各數依次為1，2，3，…，2014，從第二行起，每一個數都等于它“肩上”的兩個數之和，最后一行只有一個數M，則M=______.

1 2 3 … 2012 2013 2014

3 5 7 … 4025 4027

8 12 … 8025

… … …

… …

M

圖1

2. 數學與文學之間存在著許多奇妙的聯系. 詩中有回文詩，如：“云邊月影沙邊雁，水外天光山外樹”，倒過來讀，便是“樹外山光天外水，雁邊沙影月邊云”，其意境和韻味讀來真是一種享受！數學中也有回文數，如：88，454，7337，43534等都是回文數，無論從左往右讀，還是從右往左讀，都是同一個數，稱這樣的數為“回文數”，讀起來還真有趣！

二位的回文數有11，22，33，44， 55，66，77，88，99，共9個；

三位的回文數有101，111，121， 131，…，969，979，989，999，共90個；

四位的回文數有1001，1111， 1221，…，9669，9779，9889，9999，共90個.

由此推測：2014位的回文數總共有___________個.endprint