和差角公式與二倍角公式

本節內容是三角恒等變形的核心知識，兩角和與差的三角公式揭示了“同名不同角的三角函數的運算規律”，二倍角公式揭示了角的系數變化與三角式次數變化之間的“守恒”規律，應用公式求值、化簡及恒等式的證明時要善于觀察差異，尋找聯系，實現轉化，同時注意公式的正用、逆用及變用. 不論是考查三角的選擇題、填空題還是解答題一般都會考查到這兩組公式，這是高考每年必考的內容，特別是用和差角公式順用、逆用、變形運用來進行三角求值的問題.

本節內容包括利用三角公式進行三角函數式的化簡、三角函數的求值及三角恒等變換. 三角函數式化簡的一般要求：①函數名稱盡可能少；②項數盡可能少；③函數式盡可能簡單（不含根式）；④次數盡可能低、盡可能求出值. 求值問題的基本類型及方法：①給角求值；②給值求值；③給值求角.

三角恒等式的證明實質是：①通過恒等變形，消除三角恒等式兩端結構上的差異（如角的差異、函數名稱的差異等）；②證三角恒等式的基本思路是“消去差異，促成同一”，即通過觀察、分析，找出等式兩邊在角、名稱、結構上的差異，再選用適當的公式，消去差異，促進統一；③證明三角恒等式的基本方法有化繁為簡、左右歸一、變更問題.

例1 已知sin（α+β）= ，sin（α-β）=- ，且α，β>0，α+β< ，則tan2α=________.

破題思路 對于三角求值中的給值求值問題主要是找到已知角與所求角之間的聯系，然后通過三角公式變形求解，本題注意到2α=α+β+α-β即可.

答案詳解 0<α+β< ，- <α-β<0，由sin（α+β）= ，可得cos（α+β）= ，所以tan（α+β）= . 由sin（α-β）=

- ，可得cos（α-β）= ，所以tan（α-β）=- .

故tan2α=tan[（α+β）+（α-β）]= .

例2 sin410°+sin450°+sin470°的值為________.

破題思路 利用二倍角余弦公式的變形公式——降冪公式，用兩次來解決，變形方向總是朝著特殊角方向化簡. 解答本題除了必須熟練掌握三角公式之外，還需要一定的恒心和代數功底.

答案詳解 遇到高次函數時，一般采取降冪的策略. sin410°+sin450°+sin470°= 2+ 2+ 2= （1-2cos20°+cos220°+1-2cos100°+cos2100°+1-2cos140°+cos2140°）= [3-2（cos20°+cos100°+cos140°）+（cos220°+cos2100°+cos2140°）]，而cos20°+cos100°+cos140°=2cos60°cos40°+cos140°=cos40°+cos140°=0.

cos220°+cos2100°+cos2140°= ·（1+cos40°）+ （1+cos200°）+ （1+cos280°）= [3+（cos40°+cos200°+cos280°）]，

而cos40°+cos200°+cos280°=2cos120°cos80°+cos（100°+180°）=

-cos80°-cos100°=0，

故cos220°+cos2100°+cos2140°= ，所以sin410°+sin450°+sin470°= ×3+ = .

1. 已知sinθ+cosθ= ，則 -2（sin4θ+cos4θ）=________.

2. sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值為________.