基于 GM（1,1）和 DGM（1,1）模型的變形監測數據處理與分析

郭亞榮

（山東科技大學資源與土木工程系，山東 泰安271000）

0 引言

近些年來，人類對變形監測的重要性逐漸有了深刻地認識，在工程施工與運營期間在建筑物周圍布設了監測網并進行了重復的周期性觀測，積累了變形觀測數據。但由于條件的限制與人為的疏忽，觀測資料的保存、分析及利用還不很完善，又因為觀測數據自身所隱含的形變信息不能直接獲得，所以必須對觀測資料做仔細地分析與挖掘，才能更好地對變形做出正確的預測。因此對觀測數據做出正確分析和處理、建立合理的預報模型是十分必要的。本文基于GM（1,1）和DGM（1,1）兩個模型，以濟南魯商國奧城項目為例進行了相關的數據處理與分析。

1 理論介紹

1.1 GM（1,1）模型

GM（1，1）模型的動態模型為：

x(0)(k)+az(1)(k)=b

1）含義為一階的一個變量的模型；

2）a稱為發展系數，因為a的大小及符號，反映了x(0)(及x(1))的發展態勢。

3）b為灰作用量，因為b的內涵為系統的作用量，然而b不是可以直接觀測的，是通過計算得到的，是等效的作用量，是具有灰的信息覆蓋的作用量，故稱灰作用量。

4）z(1)(k)的序列

z(1)(k)=（z(1)(2)，z(1)(3)，...，z(1)(n)）

z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)

稱為白化背景值序列。基于每個白化背景值z(1)(k)都是x(1)(k)與x(1)(k-1)的平均值，故記 z(1)為 MEANx(1)。

1.2 DGM（1,1）模型

設非負模型：

X(0)(k)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}

其一次累加生成的序列為：

X(1)(k)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}

x(1^)(k )是原始序列數據的擬合值，β1、β2為待定參數，x(1^)(1 )為迭代基值。

1.3 DGM（1,1）模型與 GM（1,1）模型的關系

1）DGM(1，1)模型全面符合灰色預測模型的建模機理.是一種新的灰色預測模型.或者說是灰色預測模型的一種新形式 ；

2）原 GM(1，1)模型存在的缺陷在 DGM(1，1)中得到了解決,DGM(1，1)模型可以全面解釋原GM(1，1)模型從離散形式到連續形式轉變問題；

3）DGM模型可以看做是GM模型的精確形式，當GM模型中的a取值很小時，二者可替換 。

2 應用實例

2.1 工程概況

魯商國奧城位于濟南市東部，南臨經十東路，北臨解放東路，東臨賢文路，西臨規劃道路。擬建區內4號樓地上42層，地下4層.按照規范和設計要求需要進行沉降觀測。本工程共設水準點3個，K1、K3位于奧體中路西側，K2位于解放東路南側,假定K1高程為100m，水準基點采用假定高程。監測網使用的儀器為Trimble DiN03電子水準儀，水準尺為銦鋼水準尺。

水準點布設圖如圖1所示：

2.2 基于GM（1,1）模型和DGM（1,1）模型的數據處理

選擇2014年4月3日至2014年5月19日的累積沉降量作為原始數據，每五天為一期，共取10期。下面以L8、L9號點為例，其具體方法如下：

2.2.1 原始數據

兩點的原始數據如表1所示。

表1 原始數據

2.2.2 基于GM（1,1）模型的數據處理

使用EXCEL進行數據建模計算，該數據處理過程以L8點為例。

GM(1，1)模型原始數據序列：

X(0)=(X(0)(i))=（0.18 0.41 0.49 0.55 0.72 0.83 0.96 0.96 1.05 1.15）

X(1)={X(1)(i)}=（0.1800 0.5900 1.0800 1.6300 2.3500 3.1800 4.1400 5.1000 6.1500 7.3000）

根據z(1)(i)=0.5X(1)(i)+0.5X(1)(i-1)得出X(1)的緊鄰均值生成序列Z(1)=（0.3850 0.8350 1.3550 1.9900 2.7650 3.6600 4.6200 5.6250 6.7250）

則微分方程系數向量：

a=-0.115533134

b=0.432188173

得微分方程動態模型及時間響應函數：

求出生成數的回代計算值X(1)(i)然后計算原始數據的還原值：

計算殘差：

計算截圖（圖 2、圖 3、圖 4）：

2.2.3 基于DGM（1,1）模型的數據處理

DGM(1，1)模型原始數據序列：

X(0)=(X(0)(i))（0.18 0.41 0.49 0.55 0.72 0.83 0.96 0.96 1.05 1.15）

X(1)={X(1)(i)}=（0.1800 0.5900 1.0800 1.6300 2.3500 3.1800 4.1400 5.1000 6.1500 7.3000）

根據上述兩矩陣求解參數:

β1=0.122118491 β2=0.460034315

計算原始數據的還原值，取x(1)(1)=x(0)(1)，其預測模型為：

其還原值為：

計算殘差：

計算截圖（圖 5、圖 6、圖 7）：

2.2.4 數據的統計分析

計算結果統計如表2所示：

表2 L8沉降數據處理統計表

同理，L9原始值與模擬值折線圖

3 結論

本文通過兩種模型的對比分析得出，DGM(1，1)預測模型與GM（1，1）預測模型所得出的數值結果大致相同，從實例中證明了DGM（1,1）預測模型可應用于短期沉降觀測的數據處理。

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