一類二維HM方程局部光滑解的存在唯一性*

陳 靜，朱美玲

(1.楚雄師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南 楚雄 675000；2.云南經(jīng)濟管理學院工程學院，云南 昆明 650000)

一類二維HM方程局部光滑解的存在唯一性*

陳 靜1，朱美玲2

(1.楚雄師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南 楚雄 675000；2.云南經(jīng)濟管理學院工程學院，云南 昆明 650000)

本文先得到二維HM方程△ut-ut+vduy+J(u，△u)+△u=0的5個局部估計，接著證明了該方程局部光滑解的存在唯一性.

HM方程；局部估計；局部光滑解

1.引言

在文獻[1]中周毓麟先生等考慮了廣義形式的流體動力方程

ut-△ut+J(u,△u)+A△ux+B△uy+f(u)x+g(u)y=h(u) 的周期初邊界問題和Cauchy問題. 在文獻[2]中,韓永前和郭柏林用半群的方法討論了二維HM方程

ut-△ut+J(u,△u)+kuy=0 ,

得到其弱解的存在唯一性. 在文獻[3]中，張瑞風考慮了HM方程的整體吸引子. 在文獻[4]中，金珍考慮了HM方程

ut-△ut+J(u,△u)+α△ux+γ△u+βux+vduy=f

的周期解的存在性.陳靜在文獻[5]中討論了二維HM方程

△ut-ut+vduy+J(u,△u)+△u=0

弱解的存在性.

本文進一步考慮描述漂移波和離子聲波耦合非絕熱的電子響應部分的非線性方程

△ut-ut+vduy+J(u,△u)+△u=0

(1.1)

滿足周期邊界條件

u(x+2D,y,t)=u(x,y+2D,t)=u(x+2D,y+2D,t)=u(x,y,t)，(x,y)∈R2,t≥0

(1.2)

及初始條件u(x,y,0)=φ(x,y)

(1.3)

J(f,g)=?xf?yg-?yf?xg.

2.局部估計

引理1 若φ(x,y)∈H4(Q)，則存在常數(shù)t0>0，使當0≤t≤t0時，對近似解uN(x,y,t)有估計式

(2.1)

證明 用2△3uN與(1.1)做內(nèi)積得

從而有

由Sobolev內(nèi)插值公式

其中“·”表示兩個向量的點積,最后得

推論1 在引理1的條件下，對近似解uN(x,y,t)有進一步估計

(2.2)

(2.3)

(2.4)

其中p(2≤p<∞)由Sobolev空間的插值公式?jīng)Q定，K2,K3,K4是與N和Q無關(guān)的常數(shù)，只與‖φ‖H4(Q)有關(guān).

證明 由Sobolev插值公式可得(2.2)與(2.3).

由于J(uN,△uN),J(uN，△uN)與在L∞(0,t0;H2(Q))上有界，得(2.4)成立.

引理2 若φ(x,y)∈H2k+2(Q), (k≥1)，則存在常數(shù)t0>0，當0≤t≤t0時，對近似解uN(x,y,t)有估計式

(2.5)

其中K5，t0是與N和Q無關(guān)的常數(shù)，t0與‖φ‖H4(Q)有關(guān).

證明 用2△2k+1uN與(1.1)作內(nèi)積得

注意到

因此

于是

引理2得證.

推論2 在引理2的條件下，對近似解uN(x,,y,t)有估計式

(2.6)

則

引理3 若φ(x,y)∈H2k+1(Q)，k≥2，對近似解uN(x,y,t)有估計式

(2.7)

其中K7，t0是與N和Q無關(guān)的常數(shù)，而與‖φ‖H2k+1(Q)有關(guān).

證明 用2△2kuN與(1.1)作內(nèi)積得

引理4k≥1時，若φ(x,y)∈Hk+3(Q)，對近似解uN(x,y,t)有估計式

(2.8)

其中l(wèi)=0, 1, …,k+1,K8,t0是與N和Q無關(guān)的常數(shù)，而與‖φ‖Hk+3(Q)有關(guān).

證明l=0,l=1時，從引理1—引理3及其推論可得結(jié)論. 下證l≥2的情形.

記

由文獻[5]得

(2.9)

(2.9)對t求m階導數(shù)得

(2.10)

當k-m為偶數(shù)時，令k+1-m=2k′-1，則

當k-m為奇數(shù)時，令k+1-m=2k′，則

同理可得‖utm+1N(.,.,t)‖Hk+2-m(Q)=‖‖是有界的.

于是引理得證.

3.局部光滑解的存在唯一性

定理1 若初始函數(shù)φ(x,y)∈Hk+3(Q)且滿足周期邊值條件，則存在常數(shù)t0>0,使u(x,y,t)∈W(Qt0)是問題(1.1)-(1.3)的局部光滑解.

定理2 在定理1的條件下，問題(1.1)-(1.3)的局部光滑解

(3.1)

方程(3.1)與w(x,y,t)作內(nèi)積得

(3.2)

注意到

再利用[5]中的以下估計式

和(2.1),(3.2) 可化為

由Grounwall不等式得‖w(.,.,t)及‖w(.,.,t),

[1]ZhouYulin,GuoBolingandZhangLinghai.PeriodicboundaryproblemandCauchyproblemforthefluiddynamicequationingeophysics[J].PartialDiff.Eqs, 1993, 6：173—192.

[2]GuoBoling,HanYongqian.ExistenceanduniquenessofglobalsolutionoftheHMequation[J].Math.Phys., 2004, 45：1639—1647.

[3]ZhangRuifengandGuoBoling.GlobalattractorforHM[J].AppliedMathematicsandMechanics, 2006, 27(5)：567—574.

[4]金珍.一類HM方程周期解的存在性[J].江西師范大學學報，2008，32(5):593—596.

[5]陳靜,朱美玲.一類二維HM方程弱解的存在性[J].楚雄師范學院學報，2014，29(9)：6—10.

(責任編輯 李艷梅)

The Unique Existence of the Local Smooth Solution to the HM Equation in Two Dimension

CHEN Jing1& ZHU Meiling2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,ChuxiongNormalUniversity,Chuxiong, 675000,YunnanProvince;2.SchoolofEngineering,YunnanUniversityofBusinessManagement,Kunming, 650000,YunnanProvince)

In this paper, we firstly get five local estimates about HM Equation △ut-ut+vduy+J(u，△u)+△u=0intwo-dimension,thentheuniqueexistenceofthelocalsmoothsolutionabouttheHMEquationisproved.

HM Equation ；local estimate ；the local smooth solution

楚雄師范學院學術(shù)后備人才項目，項目編號：11YJRC12。

2015 - 04 - 23

陳 靜(1975—)，女，副教授，研究方向：微分方程。

O

A

1671 - 7406(2015)06 - 0005 - 04