復合材料圓柱殼體水下非線性屈曲數值分析

潘光, 魯江鋒，沈克純

(西北工業大學 航海學院，陜西 西安 710072)

復合材料圓柱殼體水下非線性屈曲數值分析

潘光, 魯江鋒，沈克純

(西北工業大學 航海學院，陜西 西安 710072)

為解決水下復合材料仿真精度低的問題，采用非線性數值分析方法對復合材料圓柱殼體的水下屈曲行為進行研究。通過算例表明了非線性屈曲數值分析與試驗結果的吻合性較好，驗證了數學模型和計算方法的有效性。對比了鋁合金、Carbon/Epoxy、Boron/Epoxy和Glass/Epoxy4種材料圓柱殼體的水下非線性屈曲行為，結果表明纖維的拉伸模量對于圓柱殼體的耐壓能力有較大影響，Carbon/Epoxy是水下圓柱殼體比較理想的一種材料，最后分析了矩形、T形和L形肋骨復合材料圓柱殼體的水下非線性屈曲行為，通過分析可知，T形肋骨對于提高圓柱殼體的屈曲壓力是最明顯的。研究結果對于復合材料在水下的應用及研究有較大的參考價值和指導作用。

復合材料；圓柱殼體；非線性屈曲；缺陷系數；弧長法；有限元；肋骨

圓柱殼體作為基本的單元在飛行器艙段、火箭殼體、發射管、船舶桅桿、傳動軸、石油管道、魚雷殼體等領域起著很重要的作用，而且復合材料以其機械性能的可設計性、比強度高、耐高溫、耐腐蝕、工藝性好、使用壽命長、維護方便[1]等性能在航天、航空和航海領域得到了廣泛的應用，所以對于圓柱復合材料殼體的研究就顯得意義格外重大。復合材料在航天、航空的應用比航海廣泛得多，航天、航空方面圓柱殼體主要受到軸向壓縮載荷，軸向壓縮屈曲破壞是其主要的破壞形式[2]，所以對復合材料圓柱殼體的研究較多的是集中在軸向壓縮的屈曲破壞，而對于復合材料圓柱殼體水下屈曲破壞研究較少。Chihdar Yang等[3]應用一級剪切變形理論研究了長徑比較大圓柱殼體承受水下均布壓力時的線性屈曲，結果與試驗數據比較一致，誤差在20%左右。Seong-Hwa Hur等[4]應用ACOSwin有限元軟件進行了復合材料圓柱殼體水下非線性屈曲分析，屈曲模態形狀與試驗結果基本相同，計算結果與試驗有15.5%的誤差。Chul-Jin Moon等[5]同樣應用ACOSwin有限元軟件對纖維纏繞復合材料圓柱殼體進行了數值仿真和實驗對比，發現屈曲壓力是殼體的最大承受壓力，殼體屈曲之后直接導致破壞。Tanguy Messager等[6]應用第三剪切變形理論研究了薄壁圓柱殼體的線性屈曲，并通過遺傳算法優化最佳鋪層順序，高繼和[7]則重點論述水下航行體用復合材料的發展。本文針對一定厚度的復合材料圓柱殼體，承受水下均布壓力和軸向載荷時，考慮到試樣的初始幾何缺陷，引入了缺陷系數的概念，進行了非線性屈曲數值分析。

1 非線性屈曲

1.1 非線性屈曲分析介紹

屈曲分析用來求解殼體失穩時的臨界壓力和屈曲模態形狀，包括線性特征值屈曲和非線性屈曲兩大類。圖1是非線性屈曲分析曲線圖，點畫線曲線交叉點處的臨界壓力值是特征值屈曲的計算結果，實線曲線的首個峰值是非線性屈曲的計算結果，可以看出非線性屈曲分析比線性屈曲分析值偏低，虛線曲線是實際的動態響應，非線性屈曲更加符合實際情況，比線性屈曲分析更加準確[8]。屈曲以屈曲載荷為分水嶺分為前屈曲和后屈曲，本文只研究前屈曲。

圖1 非線性屈曲變形曲線Fig. 1 Nonlinear buckling curve

線性特征值屈曲作為屈曲分析的不保守解，可以為非線性屈曲提供參考，當初始缺陷無法可靠估計時，線性屈曲模態形狀可以作為幾何缺陷，通常提取一階模態乘以一個缺陷系數(DF)，線性屈曲壓力還可以作為非線性分析的施加載荷，通過觀察線性屈曲特征值的分布，判斷殼體對幾何缺陷的敏感性[9]。

1.2 一級剪切變性理論

本文基于Reisnner-Mindin[10-12]一級剪切變性理論進行數值分析，描述了圓柱殼體承受水壓時的動力學方程、能量方程和邊界條件，屈曲問題最終應用Ritz[13]方法轉化成求解矩陣特征值的問題。

1.2.1 動力學方程

坐標系的定義如圖2所示，包括x,s,z3個分量，方向分別是圓柱的軸向、切向和徑向，坐標原點位于柱體左端的中徑，3個方向的位移分量分別是u、v、w，可表示為

(1)

式中：u0、v0代表柱體中面的位移;F1、F2是相應的彎曲斜度，根據柱體的幾何尺寸，應變分量可由u0、v0、F1,F2,w表示如下：

(2)

式中：R是柱體的中面半徑，將式(1)代入式(2)可以得到由中面位移和彎曲斜度表示的應變場。

圖2 坐標系及模型尺寸Fig. 2 Coordinates and model dimensions

1.2.2 能量方程

圓柱體置于水下壓力場時，涉及到的能量有總應變能U、水壓所做的功W、由于水壓和中面延伸引起的潛在能量V:

(3)

W=-?pwdxds

(4)

式中：p是承受的水下均布壓力。

(5)

1.2.3Ritz方法

根據Ritz方法，屈曲壓力可以通過總能量的變化為零來得到，即滿足下式：

(6)

模型一端固定，一端允許軸向位移，因此邊界條件如下：x=0處，

u=0,v0=0,w=0,F2=0

(7)

x=L處，

v0=0,w=0,F2=0

(8)

式(3)～(6)構成了屈曲方程，將式(7)、(8)代入屈曲方程求解就可以得到屈曲壓力，以矩陣的形式表達如下：

(Kf-pKg)x=0

(9)

式中：Kf是剛度矩陣，Kg是應力剛度矩陣，x是特征向量。

2 算例驗證

針對文獻 [4]中的有限元模型，本文利用大型通用有限元軟件ANSYS中的弧長法進行非線性屈曲計算，通過多次計算，設置了合適的網格尺寸，大大提高了精度。

為了施加恰當的幾何缺陷，需要對缺陷系數(DF)進行可靠的估計,缺陷系數等于制造誤差(MT)與一階線性特征值屈曲最大節點位移(MD)的比值，文獻[4]中制造誤差是0.17 mm，最大節點位移是1.035 mm。

(10)

表1是網格的相關性驗證，可以看出網格尺寸對于計算結果有較大的影響，當網格尺寸過大時，計算精度會降低，達不到分析的目的，當網格尺寸過小時，對計算機的要求特別高，而且計算時間會很長。當網格尺寸在逐漸減小時，相對誤差變化平緩，計算結果趨于一個穩定值0.57 MPa，考慮到計算時間，本文中選擇15 mm作為計算的網格尺寸。

表1 網格相關性驗證

圖3是建立的有限元模型及邊界條件，坐標系位于模型的A端，X軸與模型旋轉軸重合，模型沿著圓柱周向是2.52 mm厚的復合材料，復合材料選用Carbon/Epoxy，鋪層順序是[0/90]12T，左端A敞開，右端B是13 mm后的碳鋼端蓋，A端沿著圓柱外徑施加固定約束，B端沿著圓柱外徑只允許軸向位移，周向和右端施加均布壓力載荷來模擬水下壓力場。

圖4是有限元模型位移最大節點(節點號1078)的壓力-位移變化曲線，包括X方向位移(UX)、Y方向位移(UY)和總位移(SUM)跟隨壓力的變化曲線。從圖中可以看出，X方向位移隨壓力的變化程度要大于Y方向的，但3條曲線的變化趨勢基本相同，在0.57MPa曲線達到峰值，隨后壓力的變化帶來位移的急劇改變，表明圓柱殼體已經發生屈曲現象。文獻 [4]中CTM1試樣的試驗殼體屈曲壓力是0.55MPa，本文中ANSYS計算的屈曲壓力是0.577MPa，相對誤差是5%，遠遠小于文獻[4]中利用ACOSwin計算的誤差值(15.5%)，與試驗結果十分吻合。

圖3 有限元模型及邊界條件Fig. 3 Finite element model and boundary conditions

圖4 節點1078壓力-位移曲線Fig. 4 Pressure vs. displacement curve of node 1078

圖5 屈曲模態形狀Fig. 5 Buckling mode shape

屈曲模態形狀是驗證計算是否正確的很重要的一個指標，只有屈曲波形較好地與試驗屈曲波形重合才能證明計算的正確[5]。圖5是屈曲分析的屈曲模態形狀，其中，周向有4個波，軸向有一個長波，與文獻 [4]中Marc非線性分析的波形十分相似，盡管波形的曲率與長度與試驗略有差異，但是波形基本相同，較好地預測了圓柱殼體屈曲模態形狀。復合材料的抗拉能力遠遠大于其抗壓能力，圖5中模型中部凹陷部分纖維承受的是壓應力，其應力和應變也是最大的，1078號節點就位于這個位置。

3 材料對殼體屈曲的影響

為了顯示復合材料殼體相對于傳統殼體的優越性和選擇一個更適合于水下的復合材料，對比了不同材料殼體屈曲行為。嚴酷的水下環境要求殼體材料能夠以承受高的外部壓力、具有良好的耐腐蝕性、高的比強度、良好的吸聲性能、良好的制造性能、較長的使用壽命、合理的材料費用，如果有防火要求，還得考慮材料對于溫度的敏感性[14]。因此，本文選擇了滿足以上條件的傳統材料鋁合金和3種復合材料Carbon/Epoxy[4]、Boron/Epoxy[15]、Glass/Epoxy[6]，材料的機械性能如表2所示。

表2 材料彈性性能

薄壁殼體的失效主要是兩方面，一個是殼體的屈曲，另一個是材料的破壞[16-17]，大量研究表明屈曲破壞是復合材料圓柱殼體的主要破壞形式[18]，所以本文只研究圓柱殼體的屈曲行為。

圓柱殼體的幾何尺寸L(長度)×d(中徑)=600mm×300mm。圖6是不同材料圓柱殼體屈曲壓力-鋪層厚度的變化曲線，從圖中可以看出隨著鋪層厚度的增加屈曲壓力顯著增大，Boron/Epoxy圓柱殼體的屈曲壓力最大，Glass/Epoxy圓柱殼體的屈曲壓力最小，鋁合金與Carbon/Epoxy圓柱殼體屈曲壓力居中且相近，在厚度是0.19mm之前Carbon/Epoxy圓柱殼體屈曲壓力大于鋁合金圓柱殼體屈曲壓力，在0.19mm之后Carbon/Epoxy圓柱殼體屈曲壓力小于鋁合金圓柱殼體屈曲壓力。然而鋁合金圓柱殼體在屈曲之前就發生了材料的失效,所以其實際屈曲壓力是低于計算結果的。Glass/Epoxy圓柱殼體的屈曲壓力-鋪層厚度曲線近似為線性變化，其他3條曲線近似為指數變化。

圖6 不同材料殼體屈曲壓力-鋪層厚度曲線Fig. 6 Buckling pressure vs. ply thickness curves of different materials shells

3種復合材料的基體都是Epoxy，不同的是纖維的材料，為了便于分析列出3種纖維性能[19]對比，如表3所示。

表3 纖維性能對比

從4種材料的屈曲曲線可以看出，Boron/Epoxy屈曲壓力最大，是最適宜的水下耐壓殼體材料，然而Boron/Epoxy價格很高，而且密度(2.11 g/cm3)較大，對于只要求提高屈曲壓力的情況下適用；Glass/Epoxy屈曲壓力最小，價格較低，密度(1.85 g/cm3)比Boron/Epoxy小，對于屈曲壓力要求不高追求性價比的情況下適用；鋁合金屈曲壓力介于Carbon/Epoxy與Glass/Epoxy之間，但密度(2.77 g/cm3)很大，復雜殼體的加工工藝復雜，對于減重要求不高結構不復雜的情況下適用；Carbon/Epoxy屈曲壓力較大，密度(1.32 g/cm3)最小，比強度高，價格適中，對于減重要求高追求綜合性能的情況下適用。

圖7是鋪層厚度是0.105 mm時4種材料的屈曲模態形狀對比圖，波形各不相同，鋁合金殼體周向有5個波，其他3種復合材料殼體周向有4個波，但波形的分布位置和大小各不相同。

復合材料圓柱殼體承受水壓時，根據能量法計算其壓縮強度如式(11)所示[20]，主要受到基體的剪切模量和纖維體積分數的影響，當壓力達到一定值時就會引起纖維的微觀屈曲使基體產生剪切變形，然后發生殼體整體發生變形，此時纖維主要受到拉伸作用，Boron纖維的拉伸模量最大，所以其抵抗變形能力就越強，Boron/Epoxy圓柱殼體的耐壓能力就越好。

(11)

式中：Gm是基體的剪切模量，Vf是纖維的體積分數，β是修正系數。

圖7 不同材料殼體屈曲模態形狀Fig. 7 Buckling mode shapes of different materials' shells

4 結構對殼體屈曲的影響

帶肋骨各向同性材料圓柱殼體的屈曲研究已經很成熟，而帶肋骨復合材料圓柱殼體的屈曲研究較少，因此，本文中研究了不同的結構包括無肋骨、矩形肋骨、T形肋骨、L形肋骨等殼體屈曲的影響，材料統一選擇Carbon/Epoxy。

TanguyMessager[21]指出圓柱殼體肋骨的周向加強對于提高其承受水壓的能力起主要作用，軸向的加強基本不起作用，所以本文中研究的肋骨都是周向肋骨。

圖8 殼體截面圖及肋骨尺寸Fig. 8 Cross-sectional view of shell & ribs dimensions

圖8是圓柱殼體截面圖及肋骨尺寸，矩形、T形和L形3種肋骨的截面積都是36mm2，分布位置相同，沿著軸向等間距分布，肋骨分布間距是100mm，共有五根肋骨，圓柱殼體的幾何尺寸L×d=600mm×300mm，圓柱殼體鋪層厚度是0.15mm，鋪層順序是[0/90]10T，殼厚3mm。

圖9 不同肋骨殼體壓力-位移曲線Fig. 9 Buckling pressure vs. displacement curves of shells with different ribs

圖10 不同肋骨殼體屈曲模態形狀Fig. 10 Buckling mode shapes of shells with different ribs

圖11 不同肋骨殼體壓力-位移曲線Fig. 11 Pressure vs. displacement curves of shells with different ribs

圖9是3種肋骨圓柱殼體的壓力-位移曲線，觀察4條曲線峰值點對應的Y坐標值，可以得到T形、L形、矩形和無肋骨殼體的屈曲壓力分別是3.28、3.24、2.28和0.99MPa，可見肋骨大大增強了殼體的耐壓能力，且不同形式的肋骨對殼體的增強能力是不同的。圖10是不同肋骨殼體屈曲模態波形圖，其中無肋骨殼體有4個周向波，帶肋骨殼體有3個周向波，T形和L形肋骨殼體屈曲模態波形是相同的，但它們與矩形肋骨殼體的波形分布不同。

由于3種肋骨的截面積相同，分布位置也相同，而3種肋骨殼體的屈曲壓力卻不同，本文得出以下結論：T形肋骨的剛度>L形肋骨的剛度>矩形肋骨的剛度。為了驗證以上的結論，本文對比了3種肋骨在水下的壓力-位移曲線圖，如圖11所示，可以看出，T形肋骨屈曲壓力>L形肋骨屈曲壓力>矩形肋骨屈曲壓力，與結論相符。

5 結論

本文對圓柱復合材料殼體進行了非線性屈曲分析，對比了不同材料殼體之間、不同結構殼體之間的屈曲行為，得出以下結論：

1)引入恰當的初始幾何缺陷，對復合材料殼體進行非線性屈曲數值分析，其結果與實驗數據具有較好的一致性。

2)水下復合材料殼體耐壓時，首先引起纖維的微觀屈曲使基體產生剪切變形，然后發生殼體整體發生變形，纖維受到拉伸，其拉伸模量對殼體屈曲壓力的影響較大，意味著水下復合材料應該選擇拉伸模量較高的纖維。

3)相對于其他形式的肋骨，T形肋骨的耐壓能力更好，其對復合材料殼體的整體剛度有較大增強，提高了殼體的屈曲壓力，說明肋骨的形狀對于殼體整體的剛度有較大影響，有必要對肋骨形狀和尺寸進行優化設計以提高殼體的剛度。

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Nonlinear numerical buckling analysis of composite underwater cylindrical shell

PAN Guang, LU Jiangfeng, SHEN Kechun

(College of Marine Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

In order to solve low accuracy in underwater composite simulation, the nonlinear numerical analysis method was used to study underwater buckling behaviors of a composite cylindrical shell. The results show that the simulation and an experiment are consistent with each other, which validates the effectiveness of the model and the method. The underwater nonlinear buckling behaviors of an underwater shell made of four kinds of materials , including aluminum, carbon/epoxy, boron/epoxy and glass/epoxy, were contrasted. The results show that the tensile modulus of fibers have great impact on the pressure capacity of the cylindrical shell. Carbon/epoxy is an ideal material for cylindrical shells subjected to hydrostatic pressure.Finally, the underwater nonlinear buckling behaviors of stiffened composite cylindrical underwater shells with different shaped ribs, such as rectanglar, T-shaped, and L-shaped ribs, were studied. The results show that the T-shaped ribs are best for improving the buckling pressure of cylindrical shells. The results of this paper have an important reference value and guidance function for underwater application and study of composite materials.

composites; cylindrical shell; nonlinear buckling analysis; defect factor; arc-length method; finite element analysis; rib

2014-12-18.

時間：2015-07-28.

國家自然科學基金資助項目(51279165,51479170).

潘光(1969-), 男,教授,博士； 魯江鋒(1984-), 男,碩士研究生.

魯江鋒, E-mail：windf.23@gmail.com.

10.3969/jheu.201412056

TB332

A

1006-7043(2015)09-1159-06

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.U.20150728.1414.005.html