無限區間上p-Laplacian方程解的存在性

武 晨

(江蘇聯合職業技術學院南京分院，江蘇南京 210019)

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無限區間上p-Laplacian方程解的存在性

武 晨

(江蘇聯合職業技術學院南京分院，江蘇南京 210019)

本文研究無限區間上非線性p-Laplacian方程解的存在性，通過利用Leray-Schauder連續度方法得到解的存在性結果。

Caratheodory函數；p-Laplacian算子；邊值問題

1 提出問題

在本文中，我們研究非線性一維p-Laplacian方程

其中，φp(s)=|s|p-2s,p>2.

f:[0,+∞)×R2→R關于L1[0,+∞)是個Caratheodory函數，p(t)∈C[0,+∞)∩C1(0,+∞)，且對于所有的t≥0恒有p(t)>0成立，α≥0,β≥0，且不同時為0.

為了方便起見，定義如下記號:

2 一些定理和引理

定理2.1 設X是一個Banach空間，T:X→X是全連續算子，如果存在R>0，對于λ∈(0,1)，滿足u=λTu,，都有‖u‖≤R成立，則T有一個不動點.

定理2.2[1]設X是[0,+∞)上所有連續有界泛函組成的空間，且S?X，則S在X中是列緊的當且僅當下面的條件成立：①S是X中的有界集；②S中的所有泛函在[0,+∞)的任意有限子集內都是等度連續的；③S中的所有泛函都是等度收斂的.

引理2.1 如果g∈L1[0,+∞)，則方程p(t)φp(u′(t))′=g(t)對應于邊值問題(2)，且滿足α>0有唯一解：

(3)

引理2.2 如果g∈L1[0,+∞)，則方程p(t)φp(u′(t))′=g(t)對應于邊值問題(2)，且滿足α=0有唯一解:

(4)

引理2.3 如果g∈L1[0,+∞)，則(3)中的u(t)滿足：‖u‖∞≤Aφp-1(‖g‖)1，‖u′‖∞≤Bφp-1(‖g‖)1.

引理2.4 如果g∈L1[0,+∞)，則(4)中的u(t)滿足：‖u‖∞≤|u(0)|+Cφp-1(‖g‖)1，‖u′‖∞≤Bφp-1(‖g‖)1.

定義算子：

(5)

(6)

引理2.5 算子T1,T2:X→X是全連續算子.

證明 為了證明T1是緊算子，只需要證明T1把X中的任何有界集映成相對緊集.設K?X有界，則必存在r>0，使得r=sup{‖u‖:u∈K}.由于f:[0,+∞)×R2→R關于L1[0,+∞)是個Caratheodory函數，從而存在L1可積的函數αr，使得對所有的u∈K和幾乎處處的t∈[0,+∞)都有|f(t,u(t),u′(t))|≤αr(t)成立.

從而對任意的u∈K，有

從而，‖T1u‖≤max{A,B}φp-1(‖αr‖1)，即T1(K)在X中有界.

對任意L1,L2∈[0,+∞),ε>0,存在δ>0,使得對任何子區間[t1,t2]?[L1,L2]，滿足|t2-t1|<δ，都有

|T1u(t2)-T1u(t1)|=

因此，T1(K)在[0,+∞)上的任意有限子集內是等度連續的.

所以T1(K)是等度收斂的,這樣就滿足定理2.2的所有條件.從而根據定理2.2可知，T1(K)是列緊的.由Lebesgue控制收斂定理可得，T1是連續的，所以T1:X→X是全連續算子.同理可得T2:X→X也是全連續算子.

3 主要結論

定理3.1 假設是函數f:[0,+∞)×R2→R是L1-Caratheodory函數，如果存在函數α,β,γ:[0,+∞)→[0,+∞),α,β,γ∈L1[0,+∞)，使得|f(t,z1,z2)|≤α(t)|z1|+β(t)|z2|+γ(t),a.ein[0,+∞);A‖α‖1+B‖β‖1<1成立，其中A,B由本文第一節給出，則當α>0時，邊值問題(1)(2)對任何γ∈L1[0,+∞)至少有一個解.

證明 考慮對于λ∈(0,1)，方程

(p(t)φp(u′(t)))′=λf(t,u(t),u′(t)).a.e.in(0,+∞).

(7)

滿足邊值條件(2)，接下來證明所有滿足邊值問題(2)(7)可能的解都有一個不依賴于λ∈(0,1)的先驗估計.根據引理2.3和(7)，有

‖(p(t)φp(u′(t)))′‖1=λ‖f(t,u(t),u′(t))‖1≤‖α‖1‖u‖∞+‖β‖1‖u′‖∞+‖γ‖1

≤A‖α‖1φp-1(‖p(t)(φpu′))′‖1)+B‖β‖1φp-1(‖p(t)(φpu′))′‖1)+‖γ‖1

滿足邊值問題(2)(7)的解在L1[0,+∞)中都有一個不依賴于λ∈(0,1)的先驗估計，由引理2.3和以上不等式可知

易知邊值問題(1)(2)有解當且僅當算子T1有不動點.T1是全連續的，由上述不等式可知定理2.1的條件成立，可知T1有一個不動點，即是邊值問題(1)(2)的解.

類似地，我們可以得到如下定理.

定理3.2 假設f:[0,+∞)×R2→R是L1-Casratheodory函數，如果存在函數α,β,γ:[0,+∞)→[0,+∞),α,β,γ∈L1[0,+∞)，使得|f(t,z1,z2)|≤α(t)|z1|+β(t)|z2|+γ(t),a.ein[0,+∞);C‖α‖1+B‖β‖1<1成立，其中B，C由本文第一節給出，則當α=0時，邊值問題(1)(2)對任何γ∈L1[0,+∞)至少有一個解.

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The Existence of Solution forp-LaplacianEquation on an Unbounded Domain

WU Chen

(Branch of Nanjing Jiangsu Union Technical Institute, Nanjing Jiangsu 210019, China)

In this paper, we consider the existence of solution forp-Laplacianboundary value problem on an unbounded domain.By usingLeray-SchauderContinuation Principle, we obtain the existence solution for this boundary value problem.

Caratheodoryfunction;p-Laplacianoperator; boundary value problem

2015-07-12

武 晨(1985- )，男，安徽宿州人，江蘇聯合職業技術學院南京分院講師，碩士，從事微分方程研究。

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A

2095-7602(2015)10-0001-04