特征值與特征向量的兩例應用

阮春蕾

(河南科技大學 數學與統計學院，河南 洛陽 471023)

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特征值與特征向量的兩例應用

阮春蕾

(河南科技大學 數學與統計學院，河南 洛陽 471023)

以纖維取向張量及大分子構型張量的兩類矩陣為例，對其特征值與特征向量的應用進行了說明。通過采用特征值與特征向量的信息繪制出取向橢球，直觀地給出纖維及大分子的形變與取向。數值計算結果表明：該方法是有效的。

特征值；特征向量；取向張量；構型張量

0 引言

特征值與特征向量是線性代數理論中的基本概念，是矩陣理論的重要組成部分，它在線性代數和其他科技領域中占據重要地位。對特征值與特征向量的應用研究，將加深學生對相關理論的理解，提高對線性代數課程的興趣。

特征值與特征向量具有多方面的應用。例如，文獻[1]采用特征值與特征向量的相關理論研究了線性微分方程的求解問題。文獻[2]采用方差-協方差矩陣的特征值與特征向量研究了降水對地下水位的影響。文獻[3]采用特征值研究了圓柱殼穩定性問題。文獻[4]采用能量特征向量對滾錐軸承內圈松動問題進行了探討。因此，特征值與特征向量在數學、統計學和工程技術等領域發揮著重要作用。

在力學中，慣量張量、應力張量等的分析都可歸結為求解矩陣特征值與特征向量的問題。本文僅就工程實際中的兩類張量—纖維取向張量和大分子構型張量展開分析，并利用其特征值與特征向量的信息，形象地給出纖維及大分子的可視化顯示。需要指出的是，張量可看成是矩陣的特殊推廣，二維空間中的二階張量對應于一個二階方陣，而三維空間中的二階張量則對應于一個三階方陣。

1 纖維取向張量

纖維取向張量往往在研究纖維增強復合材料力學性能時被用到，它反映的是材料在加工時的纖維取向狀態，直接影響到復合材料的彈性模量、剪切模量及泊松比等。

在材料制備過程中，纖維取向張量滿足下面的運動方程[5]：

(1)

圖1 纖維粒子在流場中的描述

準確預測纖維取向并控制加工過程需要對纖維統計狀態進行可視化顯示。當流體靜止，即沒有外力的情況下，纖維粒子隨機分布，是各向同性的，所有可能的取向組成一個取向球。在流場的作用下，這個取向球會發生變形，形成取向橢球或取向管，如圖1所示。

為了表示纖維在流場中的統計狀態，需采用二階纖維取向張量a2的信息。由表達式可知：a2對稱正定。因此，可采用橢圓或橢球的方法來獲得纖維的取向狀態[5-7]，即：在二維時，通過計算a2對應的二階矩陣獲得其特征值及特征向量。特征向量代表主軸的方向而相應的特征值代表其所在主軸上的長度，從而獲得相應的取向橢圓。在三維情況下，可通過計算a2對應的三階矩陣獲得相應的特征值及特征向量。類似地，可獲得相應的取向橢球。取向橢圓或橢球代表了統計狀態下纖維的取向及其概率。

(2)

這里，由于a2的對稱正定性，采用Jacobi方法[8]來計算a2的特征值與特征向量。Jacobi方法的基本思想是通過引入平面上的旋轉矩陣來實現一系列的正交相似變換，并將原實對稱矩陣化為對角矩陣，進而求出全部的特征值與相應的特征向量。采用C++語言編制程序，迭代終止的條件設為：變換后的對角矩陣中除對角線上的元素外，其他元素中的絕對值的最大值小于10-5。

圖2 不同時刻的纖維粒子取向狀態

圖2為不同時刻的纖維取向狀態。由圖2可知:不同時刻下纖維粒子取向狀態相差很大。在初始時刻，由于未受到流場的作用，纖維粒子的統計狀態為各向同性的取向球，即此時各向取向概率是相等的，纖維粒子隨機分布在流場中。隨著流場的作用，纖維粒子的統計狀態發生變化，逐漸向流動方向傾斜，呈現出取向橢球和取向管，即此時纖維粒子在流動方向上的取向概率要大于其他方向的概率。這與圖1的分析是一致的。采用特征值與特征向量繪制的圖形能更加直觀地反映粒子的統計狀態。

2 大分子構型張量

在研究聚合物材料制備過程中，往往需要用到大分子構型張量。它反映的是大分子鏈在流場中的取向及形變情況，將直接影響到材料的彈性模量、剪切模量等。

一般而言，熔融狀態下的聚合物材料可看成是懸浮聚合物大分子鏈的牛頓溶劑，而大分子鏈往往采用彈性啞鈴模型來描述，即用彈簧連接兩端各一個啞鈴球的模型。通過受力分析，可得到啞鈴球的運動方程，即Fokker-Planck方程。在假定彈簧彈力滿足Perterlin近似的條件下，可得到FENE-P模型，即[9]

(3)

其中:C為大分子構型張量;λ為分子松弛時間;tr(·)為取跡;b為無量綱化的最大拉伸量。式(3)也被稱為大分子構型張量的運動方程。

微觀尺度上大分子鏈的拉伸與形變受到學者們的廣泛關注。因此，其可視化顯得尤為重要。事實上，當流體靜止時，聚合物大分子隨機分布，是各向同性的，所有可能的構型組成一個構型球。在流場的作用下，這個構型球會發生變形。如果作用力很小，構型球發生彈性形變，變成構型橢球。如果作用力很大，構型橢球將進一步變形，形成構型管，如圖3所示。

圖3 聚合物大分子在流場中的描述

(4)

其中：λ=0.029；b=5；C0=δ；dt=10-4。由式(4)計算獲得不同時刻的C后，再利用其特征值與特征向量作出相應的圖譜。

圖4 不同剪切速率下的大分子取向狀態

這里，由于C的對稱正定性，仍然采用Jacobi方法來計算C的特征值與特征向量，迭代終止的誤差限同例1。圖4為不同剪切速率下的大分子取向狀態。由圖4可知:在剪切速率較小時，大分子鏈發生的形變較小，其統計狀態仍然類似于構型球；而隨著剪切速率的增加，大分子鏈發生的形變逐漸增大，并向流動方向取向，其統計狀態逐漸變為構型橢球與構型管。這與圖3的分析是一致的。采用特征值與特征向量繪制的圖形將大分子的統計狀態清晰地顯示出來。

3 結論

特征值與特征向量在工程中發揮著重要作用。本文僅以力學中的纖維取向張量及大分子構型張量為例，通過其特征值與特征向量的相關信息，給出纖維及大分子的可視化顯示。該方法也有望推廣到更多的工程領域中。

[1] 趙曉花,李靈曉.一個四階非線性微分算子的特征值問題[J].河南科技大學學報:自然科學版,2007,28(4):78-80.

[2] 鄭小菁,劉序儼,韋永祥,等.采用主成分分析方法研究降水對地下水位的影響[J].地震,2008,28(4):91-102.

[3] 楊民獻,張淑芬,王彥生.圓柱殼的屈曲荷載最大化設計[J].河南科技大學學報:自然科學版,2003,24(1):71-74.

[4] 蔡海潮,李孟源,陳春朝,等.滾錐軸承內圈松動的聲發射診斷[J].河南科技大學學報:自然科學版,2007,28(3):14-17.

[5] Advani S G,Tucker C L.The Use of Tensors to Describe and Predict Fiber Orientation in Short Fiber Composites[J].J Rheol,1987,31:751-784.

[6] Ruan C L,Jie O Y.Microstructures of Fiber Suspensions in Complex Geometry[J].E-polymers,2010,10(1):1088-1100.

[7]Ruan C L,Jie O Y,Zhang H P.Numerical Study on Fiber Suspensions in Non-isothermal Viscoelastic Media[J].International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow,2013,23(3):460-478.

[8] 李慶揚,王能超,易大義.數值分析[M].5版.北京:清華大學出版社,2008.

[9] Beris A N,Edwards B J.Thermodynamics of Flowing Systems[M].New York:Oxford University Press,1994.

國家自然科學基金項目(11402078);河南省科技攻關基金項目(122102210198);河南省教育廳科學技術研究重點基金項目(14B110020);河南科技大學青年科學基金項目(2012QN015)

阮春蕾(1983-),女,浙江臨安人,講師,博士,研究方向為偏微分方程數值解.

2014-10-06

1672-6871(2015)06-0087-04

O151.2

A