關于一元函數可微條件討論

張遠平

（寧夏亙元房地產，寧夏 銀川750021）

微分和導數是微積分中重要的兩個概念，兩者之間有著極為密切的關系，然而，高等數學教材中一元函數的可微性和可導性是等價的[1]，本文通過兩道例題討論了一元函數f（x）在x0處可微與>存在情況，由此給出一元函數在一點處可微的一個特殊結論。

例1[2]設函數f（x）在x=0連續，并且，求證：f′（0）存在，并且f′（0）=A.

把上式加起來得：

由于f（x）在x=0連續，上式兩邊對n→+∞取極限，得：

例2 函數f（x）=|x|，令x0=0,α=1,β=-1.

存在.但f（x）=|x|在x=0處不可微.

定理2 設f（x）在（x0-δ，x0+δ）（δ＞0）內有定義，且f（x）在x0連續，若

把上式加起來得：

由于f（x）在x0連續，上式對n→+∞取極限得：

所以

由定理1可得，f（x）在x0可微.同理可證，當|α|＞|β|時，f（x）在x0可微.所以，當|α|≠|β|時，f（x）在x0可微.

［1］劉士強.數學分析(上冊)[M].南寧:廣西民族出版社,2000,6:106-107.

［2］錢吉林,等.數學分析題解精粹[M].武漢:崇文書局,2003:163.