含時間約束的配送中心選址和能力規劃的魯棒優化

韋憶立，高詠玲

（中央財經大學 商學院，北京 100081）

0 引言

配送中心是企業物流網絡中的重要節點，其選址問題是物流系統中具有戰略意義的投資決策問題。配送中心需要耗費較長的時間建設，期間決策環境的快速變化或是歷史數據的缺乏等因素往往導致參數發生擾動。這種擾動將使傳統的確定環境下的最優解變成次優解或不可行。針對這一情況，學者們如Kouvelis等（1992）和Mulvey等（1995）提出了戰略決策層次的魯棒優化模型，它因能保證最優解對于噪聲數據或是不完全的數據具有一定的免疫能力而備受關注。

魯棒優化模型主要包括絕對魯棒優化、相對魯棒優化和偏差魯棒優化等，采用的決策準則有最小化最大值、設定偏差范圍等。遺憾值模型是相對魯棒優化的一種，它通過限定各情景下目標函數值與最優目標函數值的偏差范圍來保證最優解的穩健性，在設施選址領域應用最廣。在現實中，企業配送網絡的優化不僅需要考慮新建配送中心的情況，還需權衡對現有配送中心的能力調整。在這一領域，Elson（1972）建立了確定性需求環境下的混合整數規劃模型，用于分析新建、擴建和關閉設施的優化問題，Aghezzaf（2005）建立了隨機期望規劃模型，研究了需求不確定環境下倉庫選址和能力規劃的問題，然而隨機規劃難以保證在所有可能的參數擾動下尤其是最壞情況下優化結果帶來的效益都是可接受的。

近年來，我國土地價格的變化、原材料與勞動力成本的增加使得配送中心投資成本的不確定性增強。與此同時，市場競爭的日趨激烈和消費者需求的日益個性化，不僅增加了精確預測配送中心客戶需求的難度，而且對于配送商品的時效性提出了更高的要求。例如電子商務、冷鏈物流、食品和藥品等企業在進行選址決策時，不僅需要考慮投資成本和需求不確定性的影響，還要考慮配送時間的要求。在此背景下，本文對不確定環境下配送中心的位置、數量和規模決策問題進行研究，旨在降低物流網絡的運行成本、有效地響應客戶需求。

1 問題描述和模型的構建

本文采用情景分析法來描述不確定因素，分別用已知概率的情景集合S和S′來描述顧客需求和投資成本的不確定性，情景發生的概率分別用 ps和Ps′表示。

模型采用的假設如下：

（1）配送中心的運營會帶來固定的運營成本，其取值與配送中心的規模無關。配送中心的可變運營成本與其處理的產品數量呈正比。

（2）兩點間的單位運輸成本和運輸時間在各個情景下保持不變。

（3）配送中心規模代表著其處理能力。無論是擴建現有配送中心，還是新建配送中心，都設定了最小的擴建規模，一旦決定擴建，至少要達到該規模，以保證規模經濟效應。可以在最小擴建規模的基礎上進行額外擴建，額外擴建成本與擴建規模成正比例關系，但總建設規模有上限。

（4）僅考慮產品的在途運輸時間，不考慮產品在配送中心的滯留和處理時間。

（5）供求平衡或供大于求，所有的客戶需求都能在一定成本下滿足。

1.1 參數與變量定義

1.1.1 標號與集合

i工廠的標號，i∈M.

j配送中心的標號，j∈N ；N=N′∪N″.

N′是原有配送中心的集合，N″是待建配送中心的集合。

k需求地的標號，k∈Q.

s′投資情景的標號，s′∈S′.

s需求情景的標號，s∈S.

1.1.2 主要參數

CSij產品從工廠i到配送中心 j的單位運費，i∈M ，j∈N.

CDjk產品從配送中心 j到需求地k的單位運費，j∈N ，k∈Q.

TSij產品從工廠i到配送中心 j的運輸時間，i∈M ，j∈N.

TDjk產品從配送中心 j到需求地k的運輸時間，j∈N ，k∈Q.

Tk需求地k對配送時間的限制，k∈Q.

CFj配送中心 j的固定運營成本，j∈N.

CVj配送中心 j的單位可變運營成本，j∈N.

R0相對遺憾限定系數（以下簡稱：遺憾系數），是對實際總成本超過最低總成本的百分比的限制。

1.1.3 決策變量

（1）選址與能力規劃決策變量

1.2 約束條件

1.2.1 能力約束和選址約束

流入或流出配送中心的產品總量必須小于或等于其擴建或關閉后的最終處理能力。

1.2.2 流量約束

1.2.3 配送時間約束

在構造時間約束時，可要求任一“生產地—配送中心—需求地”組合的總運輸時間均滿足配送時間約束。這種處理方法在構建新的配送網絡時能夠較好地滿足時效性的要求，但在本文考慮對現有配送中心的調整的條件下會使求解的總成本急劇增加，而且在決策之前難以保證存在滿足時間要求的可行解。文獻[5]研究單源、p個中轉點的配送系統，用一個0-1變量考慮了從中轉點到需求地的時間約束，本文在此基礎上引入兩個0-1變量，分別表示是否選擇某一“工廠—配送中心”或“配送中心—需求地”供應組合。這兩個組合的總配送時間應滿足需求地的配送時間要求，關系如下：

1.3 目標函數

1.4 魯棒優化模型

1.5 算法設計

本文所建立的模型求解步驟如下：

（4）求解魯棒優化模型Mr。與單個投資情景下的模型Ms相比，模型Mr增加了相對遺憾值約束，其中遺憾系數R0應大于R0LB，否則模型Mr無可行解。

本文所建立的魯棒優化模型可運用優化軟件Lingo求解。

2 算例分析

本文的數值計算實驗將圍繞以下三個方面展開：（1）分析遺憾系數對魯棒優化模型解的影響；（2）分析時間約束對投資決策和成本的影響；（3）測試優化軟件Lingo求解模型的效率。

已知某企業只生產一種產品，目前設有3個大型工廠，經過配送中心中轉，向5個需求地供應產品。該企業已有3個配送中心，還將在7個備選地選擇若干地建設新的配送中心。配送中心的投資成本分為下降、正常和上漲三種情況。顧客需求分為蕭條、正常、繁榮三種情況。需求數據和投資成本數據如表1和表2所示。

表1 各需求情景下的需求 （單位：萬元）

配送中心的處理能力和運營成本數據如表3所示，單位運費和運輸時間數據如表4和表5所示。

2.1 遺憾系數對魯棒解的影響

最優總成本R*和最大相對遺憾值ξ*隨R0的變化情況如圖1所示。R0較小時，ξ*較小而R*較大；隨著R0的增大，R*迅速降低，但ξ*也迅速上升，這表明中長期決策后最壞情況發生帶來的損失較大。R0增大到一定程度后，相對遺憾值約束成為冗余，最優總成本保持不變，其值等于一般隨機優化中的最優目標函數值。由此可見，遺憾系數取較小值時，模型的魯棒性較好，不確定情況下實際總成本對最優總成本的最大偏離程度不會太大，但是為了保持這一性能需要支付更高的成本。

表2 各投資情景下的投資成本

表3 配送中心的處理能力和運營成本 （單位：萬件）

表4 單位運費 （單位：元/件）

表5 運輸時間 （單位：小時）

綜上所述，遺憾系數R0控制了魯棒模型的魯棒性，較小的R0可保持較高的魯棒性，但需要付出較高的成本，決策時要根據需要進行權衡，選擇合適的遺憾系數，使模型的魯棒性能和總成本都在可接受的范圍內。

圖1 最優總成本和最大相對遺憾值隨遺憾系數的變化情況

2.2 時間約束對投資決策和成本的影響

為檢驗時間約束對于求解結果的影響，分析在無時間約束、寬松的時間約束、嚴格的時間約束三種情況下投資決策和最優成本的變化。各個需求點對配送時間的要求如表6所示。

表6 配送時間要求 （單位：小時）

表7顯示了三種類型的時間約束對應的選址和能力規劃決策以及各部分成本的情況。在無時間約束和寬松的時間約束下選址和能力規劃的決策結果相同，投資成本相同。但加入時間約束后，舍棄了不能滿足配送時間要求的路線，取而代之的是成本更高的路線，導致運輸成本有所提高，從而總成本提高。

當采用嚴格的時間約束時，與無時間約束和寬松的時間約束的求解結果相比，選址和能力規劃的決策結果發生了改變，投資成本、配送中心運營成本以及運輸成本都有所增加，導致總成本進一步提高。

表7 時間約束對投資決策和成本的影響 （單位：萬元）

上述三種不同程度的時間約束及其優化結果反映了配送成本、投資成本、配送中心運營成本與配送時間之間的效益悖反。企業可利用此類情景分析來量化滿足配送時間所需的投資，為解決配送時間和成本之間的權衡問題提供決策依據。

2.3 運算效率分析

運用優化軟件Lingo 11求解本文所建立的模型并對運算效率進行分析。以3個投資情景和3個需求情景為基礎，比較有時間約束和無時間約束情況下Lingo 11的程序的求解時間。求解時間由單個投資情景下最優值求解時間、遺憾系數下限的求解時間和魯棒優化模型的求解時間組成。

求解時間隨著配送中心數量的增加而遞增，且耗時增速越來越快，如圖2所示。無時間約束情況下總求解時間比有時間約束情況下的總求解時間少，且耗時增加的速度也比有時間約束情況下慢。這是因為時間約束采用大量0-1整數變量來選擇特定的“工廠—配送中心”或“配送中心—需求地”線路組合，隨著網絡中節點數量增大，0-1變量數量呈指數級增長，從而增加運用Lingo求解的難度。

圖2 Lingo優化程序的求解時間

經過測試，在無時間約束的情況下，Lingo能很好地滿足運算需要，大規模算例也能在較短的時間內求得全局最優解。在有時間約束的情況下，在5個工廠、40個配送中心（其中待選配送中心30個）、10個需求地的情況下，總求解時間不超過3分鐘。這已經能夠較好地滿足企業的決策需要。

3 結束語

經濟環境的日趨復雜使得物流網絡設計所面臨的源自投資成本和市場需求的不確定性大幅增加。選址戰略的實施能否取得預期的效果在很大程度上取決于能否有效地應對這些不確定性。在這一背景下，本文建立了配送中心的選址和能力規劃的魯棒優化模型，運用相對遺憾值約束來保證在這些不確定因素的擾動下優化結果仍在決策者接受的范圍之內。該模型不僅考慮了新建配送中心和對現有配送中心的能力調整，還反映了各需求點對配送時間的要求，為實現降低成本兼顧客戶服務水平提供了輔助決策支持。算例分析揭示了保證求解結果的魯棒性的代價，探討了配送時間約束的影響。雖然本文驗證了運用Lingo求解所建立的魯棒優化模型的可行性和適用性，但在如何求解更大規模的設施選址和能力規劃的魯棒優化問題以及將選址決策與庫存決策相結合等方面仍有待于進一步研究。

[1]Kouvelis P,Kurawarwala A A,Gutiérrez G J.Algorithms for Robust Single and Multiple Period Layout Planning for Manufacturing Systems[J].European Journal of Operational Research,1992,63(2).

[2]Mulvey J M,Vanderbei R J,Zenios S A,Robust Optimization of Large-Scale Systems[J].Operations Research,1995,43(2).

[3]田俊峰，楊梅，岳勁峰.具有遺憾值約束的魯棒供應鏈網絡設計模型研究[J].管理工程學報，2012，26(1).

[4]李延暉，馬士華，劉黎明.基于時間約束的配送系統模型及一種啟發式算法[J].系統工程，2003，21（7）.

[5]李延暉，馬士華.基于時間約束的單源/p個中轉點配送系統的MINLP模型[J].中國管理科學，2004，12（6）.