計算機專業離散數學教學研究

張劍妹，郭詠梅，趙秀梅

（長治學院 計算機系，山西 長治 046011）

1 引言

作為計算機專業的專業基礎課[1-3]，離散數學是學生后續學習和工作的理論基礎。對該課程的學習有利于提高學生的抽象思維、邏輯思維和計算思維能力，培養學生分析問題和解決問題的能力。但由于離散數學內容廣、概念多、邏輯性與理論性強、高度抽象等特點，應用型本科院校計算機專業的學生將其列為最不感興趣的課程之一。基于學生相對較弱的學習能力和追求實用的心理，教師必須突破原有的“定義-定理-證明”的教學模式，創造一種突出專業應用背景的更容易被學生接受的教學方法，以激發學生的學習興趣，提高離散數學的教學效率。

2 課程定位與教學內容

長期以來，離散數學課程一直被作為一門純數學課程講解，始終未能擺脫“定義-定理-證明”的教學模式。課程定位和教學內容以定義的講解和定理的證明為主，與專業應用背景相脫節，與應用型人才培養目標不相符。于是，應用型本科院校的教師開始思考學生應該學習離散數學的哪些內容，如何提高學生學習離散數學的興趣，如何讓離散數學成為提高學生的抽象思維和邏輯思維能力、培養學生用數學方法分析問題和解決問題能力的工具等一系列的問題。

按照《高等學校計算機科學與技術專業核心課程教學實施方案》[4]，應用型本科院校計算機專業的離散數學教學內容分為三個層次：核心知識單元、推薦知識單元和可選知識單元。核心知識單元包括數理邏輯、集合、關系、函數和圖論初步；推薦知識單元包括證明技術和特殊的圖；可選知識單元包括代數系統、基本計數和初等數論。在長治學院計算機專業的離散數學教學中，把核心知識單元作為主要內容進行詳細講解，對推薦知識單元中特殊圖（包括歐拉圖、哈密爾頓圖、平面圖和二部圖）的定義和判定定理做詳細講解，對其典型應用作了引導性講解。證明技術中的邏輯演算法是數理邏輯的重點內容，其他的證明方法融入到核心知識單元的集合、關系、圖與樹等相關章節中進行講解。例如，在“集合代數”中應用多種方法證明集合恒等式及相關概念，在該章“典型例題”的講解中又對所用證明方法進行了總結復習，以便學生熟練地掌握常用的證明技術。對推薦知識單元的內容進行了精心選擇，基本計數中的包含容斥原理應用于集合中元素的計數已在“集合代數”中進行了詳細講解，代數系統的基本概念部分做了詳細講解，對半群、群、環、域、格等幾種特殊代數系統的概念做了簡要講解，其他相關內容引導有余力的學生自學。

3 離散數學教學的改進思路與措施

3.1 利用簡潔的語言，把復雜定義簡單化

教學語言的簡單化是指以簡單易懂的語言把晦澀難懂的知識闡述明白。在離散數學中有很多用數學公式和數學語言給出的形式化定義，應用型本科院校的計算機專業學生理解這樣的定義非常困難。為此，在離散數學教學中，我們通常將定義的內涵用簡單的教學語言表達出來，以求達到通俗易懂的效果。例如，離散數學中關系閉包的定義是這樣闡述的：“設R是非空集合A上的關系，R的自反閉包（對稱閉包或傳遞閉包）是A上的關系R',且R'滿足以下條件：①R'是自反的（對稱的或傳遞的）；②R?R'；③對A上的任何包含R的自反關系（對稱或傳遞關系）R''都有R'?R''。”在教學中我們通過三個條件內涵的簡單闡述，引導學生得出這樣一個概括性的定義，即“R的自反閉包（對稱閉包或傳遞閉包）R'是A上的、包含R的、最小的自反關系（對稱關系或傳遞關系）”。又比如，離散數學中對圖同構的定義是：“設兩個無向圖G1=,G2=，如果存在雙射函數θ:V1→V2，使得對于任意的e=(vi,vj)∈E1當且僅當e'=(θ(vi),θ(vj))∈E2，并且e與e'的重數相同，則稱G1與G2是同構的，記作G1≌G2。”課堂教學中，我們用一個具體的圖同構例子得出如下的圖同構定義，即“如果兩個圖同構，這兩個圖實際上一個圖的兩種不同表現形式。”用這種簡單通俗的語言概括出來的定義，也許不太準確，但卻大大減輕了學生理解的難度，還可以借機教會學生使用公式描述概念的方法。

3.2 用計算機專業學生的思維教離散數學中的證明

應用型本科院校計算機專業學生的抽象思維能力較差，數學基礎薄弱，這一點決定了他們不喜歡也不容易理解復雜的數學證明。在離散數學課中有大量的公式和定理需要證明，因此，如何用計算機專業學生習慣的、容易接受的方法教離散數學證明是一個頗具有挑戰性的問題。文獻[5]給出了幾種利用計算機專業學生的知識背景教授數學證明的方法，筆者通過仔細研讀、探索和補充，將其應用于離散數學的教學實踐中，取得較好的教學效果。

（1）利用真值表進行數學證明是最容易被計算機專業學生所接受的。在離散數學教學中，我們將真值表應用于等值式的證明中。例如，量詞否定等值式﹁?xP(x)??x﹁P(x)的證明過程可用表1給出的真值表證明。

表1 ﹁?xP(x)??x﹁P(x)真值表

（2）在計算機科學中，圖是一個非常重要的工具，如果能將某些數學證明用圖示的方法表示出來，一定能取得良好的教學效果。如，在集合恒等式中德.摩根律～(A∪B)=～A∩～B的證明可以用圖1所示的文氏圖表示出來，其中，圖1a中陰影部分為(A∪B)，圖1b中十字交叉部分為～A∩～B，通過這個文氏圖，學生很容易理解該恒等式的真正內涵，也便于學生接受和記憶。

（3）計算機專業的學生非常熟悉算法這個概念，并且很多學生熱衷于寫算法和編程序，他們認為只要學會了寫算法和程序就等于學會了計算機。鑒于學生的這種心理，筆者試圖將算法用到了離散數學的證明中。如在證明主范式的存在性定理時，首先概括出求取主析取范式的算法步驟，然后再證明算法的正確性和完備性，最后，建議有余力的學生課后編程實現這個算法。通過這種方法，不僅解決了范式存在性定理的證明問題，同時也將離散數學和計算機科學結合起來，使學生認識到離散數學確實是計算機科學的基礎，從而激發了學生的主動性。

3.3 使用計算機語言把離散數學和計算機科學聯系起來

應用型本科院校計算機專業學生更注重專業技能的獲得，他們對理論課的學習興趣較弱。在他們心目中，只有計算機語言和程序才是計算機科學（這種觀念在低年級學生中尤為普遍）。借鑒文獻[6]的思想，離散數學課堂教學中，我們力求用計算機語言把離散數學和計算機科學聯系起來。例如，在講解關系運算和集合運算時，引入了關系數據庫和SQL查詢語言，針對學生管理數據庫中的學生表S和課程表C設計了如下例子，要求學生用連接運算和集合運算完成，并鼓勵學生在課外上機驗證，以激發學生的學習興趣。

例1．完成下列SQL查詢。

①查詢物理系和計算機系的所有學生的姓名；

②查詢既選修C1和C3課程的學生的姓名；

③查詢選修C1但不選修C3課程的學生的姓名；

④查詢沒有選修C2和C3課程的學生的姓名；這些查詢實例有助于學生很好的理解邏輯運算和集合運算之間的關系。如①的兩種SQL查詢語句分別如下：

I.SELECT S.SNAME FROM S WHERE DEP=“物理系”and DEP=“計算機系”

II.SELECT S.SNAME FROM S WHERE DEP=“物理系”

UNION SELECT S.SNAME FROM S WHERE DEP=“計算機系”

例2.顯示下列SQL語句的執行結果，分析該結果的正確性及其原因。

SELECT S.SNAME,C.CNAME FROM S,C

該例子的查詢結果是表S和表C的笛卡爾積，無論學生與課程之間是否有選課關系，都會將學生名和課程名聯接起來。

通過引入這些教學實例，不僅使學生理解了關系的定義和關系運算的內涵，而且讓學生看到了離散數學在計算機科學中的應用，從而激發了學生的學習興趣，調動學生學習的積極性。

3.4 引入實踐教學環節，讓學生理解離散數學在計算機科學中的應用

鑒于我校應用型人才培養目標，適當增加與計算機應用密切相關的實踐學時，對學生較感興趣或應用性較強的內容增課外開放性實驗項目，以實驗小組的形式延續課堂教學內容。在離散數學實踐教學中作了如下嘗試。

（1）通過布置課外開放性實驗項目延伸課堂教學內容，揭示離散數學與計算機科學的關系，從而激發學生的學習積極性和主動性。

（2）通過網絡課程教學平臺延伸課堂教學內容。有限的課堂教學學時不足以讓學生充分理解離散數學中較深較難的知識點，老師也不可能把離散數學的應用實例全部搬到課堂教學中。為此，課題組開發了離散數學學習網站，通過學習網站，學生不僅可以復習課堂教學的重點難點，進行在線測試，還可以通過知識拓展模塊了解離散數學各知識點的應用，自行設計并完成相應的研究性實驗項目，從而激發學生的學習興趣。

4 結束語

幾年的教學實踐表明，以上教學方法對激發學生的學習興趣、提高學生學習的積極性和主動性、增強教學效果是非常有效的。文中提到的教學實例僅是我們用于教學實踐中的一部分，限于篇幅，不能一一列舉。但是對離散數學教學方法的研究剛剛開始，還需要在教學實踐中進行不斷的研究和充實，以使其更好地服務于應用型本科院校計算機專業人才的培養。

［1］The Joint IEEE Computer Society/ACM Task Force on Computing Curricula Computing Curricula 2001 Computer Science［DB/OL］.http://WWW.acm.org/education/curric_vols/cc2001.pdf，2001.

［2］ACM/IEEE-CSJoint Task Force on Computing Curricula.2013.Computer Science Curricula2013［DB/OL］.ACM Press and IEEE Computer Society Press.DOI:http://dx.doi.org/10.1145/2534860.

［3］中國計算機科學與技術學科教程2002研究組.中國計算機科學與技術學科教程2002［M］.北京：清華大學出版社，2002.

［4］教育部高等學校計算機科學與技術教學指導委員會.高等學校計算機科學與技術專業核心課程教學實施方案［M］.北京:高等教育出版社，2009.

［5］Hongbiao Zeng,Keyu Jiang.Teaching Mathematical Proofs to CS Major Students in the Class of Discrete Mathematics［J］.Journal of Computing Sciencesin Colleges,2010,25(5):326-332.

［6］Anja Remshagen.Making Discrete Mathematics Relevant［C］.In:Proceedings of the 48th Annual Southeast Regional Conference,2010.