反例在可測函數中的應用

張安玲

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

反例在可測函數中的應用

張安玲

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

可測函數中的概念、定理很多，而且各個概念、定理之間的關系非常緊密、復雜，使得學習這部分內容變得更加抽象，難以理解透徹。通過構造和引入反例，可以深入淺出，有效準確地理解可測函數中的一些概念之間的關系，更加重視定理的條件和結論，能夠進一步深入理解和掌握所學知識點。

反例；可測函數；收斂

在數學分析課程中，所研究的函數基本上是連續函數，許多情形還要求是可導的.實變函數論所研究的是可測函數，可測函數是從測度的觀點來研究函數[1]，它包含很多不連續的函數，可測函數比連續函數寬泛的多.

反例是數學中一種重要的思維方式，它是用來說明某個命題不成立的例子.恰當的運用反例可以換一個角度抓住概念的本質，從而更好的理解知識[2].

理解可測函數對于全面掌握實變函數是至關重要的.而可測函數與連續函數之間的關系，葉果洛夫定理、魯津定理、勒貝格定理的條件與結論，處處收斂、幾乎處處收斂、一致收斂、依測度收斂之間的關系等都是可測函數這部分內容的重點，它們之間的關系非常復雜.在學習過程中，用恰當的反例可以有效的說明這幾種收斂之間的關系.另外，反例也可用來強調使用定理的條件.因此利用反例不僅可以進一步糾正某些錯誤的認識，也能引起對條件和結論的重視.

1 可測函數

1.1 非可測的函數

定義[1]設f(x)是定義在可測集E?Rn的實函數.如果對于任何有限實數a，E[f＞a]都是可測集，則稱f(x)為定義在E上的可測函數.

我們知道，許多函數都是可測函數，可測函數是連續函數的推廣，但是，并不是所有的函數都是可測函數.

例 取Rn中的一個不可測集E，則E的特征函數為Rn上的不可測函數。

注：上例中的特征函數XE(x)并不是一個簡單函數，因為E是不可測集.從而不能按照簡單函數是可測函數的方法判斷該函數可測.

（2）可測函數與連續函數的關系

我們知道，定義在可測集E?Rn的連續函數都是可測函數，反之成立嗎？通過引入反例來說明.

例 著名的Dirichlet函數[3]，

分析：對任意有限實數a，

故Dx是可測函數.但是Dirichlet函數是典型的不連續函數.從而得到可測函數不一定是連續函數.

還有在[0,1)上的黎曼函數，

它也是一個典型的可測非連續函數.

（3）絕對值可測與函數可測的關系

若f(x)是可測，則|f(x)|也可測；但反之若|f(x)|可測，f(x)不一定可測.

例 設E為[0,1]上的可測集，令

顯然|f(x)|=x，而|f(x)|在[0,1]上是連續函數，故|f (x)|在[0,1]上勒貝格可測，但f(x)在[0,1]上非可測.

所以f(x)在[0，1]上不可測.

（4）可測函數的運算

若f(x)，g(x)在E上可測，則f(x)+g(x)，f(x)g(x)均在E上可測.但反之不真.

例在Rn中取不可測集E，令

f(x)+g(x)=0,f(x)g(x)=-1,x∈Rn.顯然f(x)+g(x),f(x)g(x)都是R上的連續函數，所以可測.而f(x)，g(x),均為Rn上的不可測函數.

（5）對任意實數a，集合E f=a[ ]恒可測，但f(x)不一定可測.

若f(x)在E上是可測函數，則對任意實數a，集合E f=a[ ]都是可測集，但反之不真。即對任意實數a，集合E f=a[ ]恒可測，但f(x)不一定可測。

例 在(0,+∞)中取不可測集A，在R1上定義

則?x∈R1，集合R1[f=a]至多包含兩點，從而為有限集，所以是可測集.但因為集合R1[f＞0]I(0,+∞)不可測，所以f(x)為不可測函數.

（6）連續函數與可測函數的復合函數未必可測

若f(x)是R1上的可測函數，g(x)為R1上的連續函數，則復合函數g(f(x))是可測函數.但是，復合函數f(g(x))未必是可測函數，從而兩個可測函數的復合函數不一定是可測函數[4].

例 設φ為[0,1]上的Cantor函數，其中φ的定義如下[4]：

于是φ在[0,1]中的Cantor余集上有了定義，它在這上面是單調不減的.

在Cantor集上給φ補充定義，先令 φ(0)=0，對于其他x∈C，其中C為Cantor集，令

φ在[0,1]上單調不減，并且它在[0,1]上連續.

則h(x):[0,1]→[0,1]為嚴格遞增的連續函數，取W?h (C)為不可測集，則M=h-1(W)?C可測，使h(M)=W不可測.令g(x)=h-1(x)，從而M=g(W)可測，則g(x)連續且嚴格遞增.令f(x)為M的特征函數，則f(x)為可測函數.記E=[0,1]，則由不可測，知f(g(x))為不可測函數.

2 葉果洛夫定理

（1）葉果洛夫定理中，m(E)＜∞的條件不可少

該定理表明，凡是滿足定理假設的幾乎處處收斂的可測函數列，即使不一致收斂，也是“基本上”一致收斂的.

注：此定理中，m(E)＜∞的條件不可少.

例 取E=(0,+∞)，則m(E)=∞.作E上的函數列：

（2）葉果洛夫定理的結論不能加強為m(EEδ)=0

葉果洛夫定理中，對任意δ＞0，存在子集Eδ?E，使｝在Eδ上一致收斂，且m(EEδ)＜δ。其中m (EEδ)＜δ不能改為m(EEδ)=0.

例 設E=(0,1)，在E上定義

3 幾乎處處收斂但不依測度收斂的可測函數列

定理（勒貝格Lebesgue）設

（1）mE＜∞；

該定理表明，在mE＜∞這個條件下，幾乎處處收斂的幾乎處處有限可測函數列是依測度收斂的.當mE=∞時，這種蘊含關系就不成立.

例取E=(0,+∞］，則mE=∞.作E上的函數列：

4 結論

通過引入反例，可測函數中諸多復雜關系得以明晰化，幾種收斂的互相蘊含關系更明朗化，對葉果洛夫定理、勒貝格定理的條件和結論加深了印象.恰當引用反例，對理解可測函數這部分內容起到了事半功倍的效果.

［1］程其襄,張奠宙,魏國強,等.實變函數與泛函分析基礎［M］.北京：高等教育出版,2010.

［2］劉京鑫.反例在實變函數中的運用［J］.高等數學研究,2009,12(4):117-121.

［3］李景廉.函數在實變函數中的應用［J］.佛山科學技術學院學報,1999,17(3):67-70.

［4］程慶,馮遠征.實變函數中的反例［M］.鄭州:河南大學出版社,1989.

Zhang An-ling

（Department of Mathematics,Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011）

There are a lot of concepts,theorems in measurable function,and the relationship between each concept,theorem is very close and complex.So this section becomes more abstract and difficult to understand.By constructing and introducing counterexamples,the relations between some concepts in the measurable function can be easily understood,and the conditions and conclusion of theorem are more valued.As a result,the learned knowledge can be further mastered.

counterexample;measurable function;convergence

O174.1

A

1673-2015（2015）02-0060-03

（責任編輯 趙巨濤）

山西省高等學校科技項目(2013158)。

2014—11—06

張安玲（1980—）女，山西長子人，講師，碩士，主要從事最優化理論與方法，智能優化算法方向研究。