螺旋探究自然呈現*
——任意角的三角函數的教學設計

☉福建省龍巖第一中學 莊炯林

螺旋探究自然呈現*
——任意角的三角函數的教學設計

☉福建省龍巖第一中學 莊炯林

一、教材分析

本節課的內容是三角函數這一章的基礎，主要通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，借助單位圓去理解任意角的三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，從而得出定義，緊緊扣住三角函數定義這個寶貴的源泉，為接下來課程中自然地導出三角函數線、定義域、符號判斷、同角三角函數關系、多組誘導公式、圖像和性質，并從中體會三角函數在解決具有變化規律的問題中的作用.三角函數定義是學好全章內容的關鍵，如果學生掌握不好，將直接影響到后續內容的學習，由三角函數定義的基礎性和應用的廣泛性決定了本節教材的重點就是定義本身.

二、教學目標

（1）知識與技能：掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；樹立映射觀點，正確理解三角函數是以實數為自變量的函數.

（2）過程與方法：通過單位圓和角的終邊的交點坐標關系，探討任意角的三角函數值的求法，最終得到任意角三角函數的定義.

（3）情感態度與價值觀：利用三角函數的幾何表示，使學生加深對數形結合思想的應用和理解，拓展思維空間.通過學生積極參與知識的“發現”與“形成”的過程，加深對化歸與轉化思想的應用和理解，從中感悟數學概念的嚴謹性與科學性.

三、教學設計

1.創設情境，揭示課題

生活中的數學：唐朝詩人王之渙留給后人的佳作《登鸛雀樓》不僅刻畫了祖國的壯麗山河，而且寫出了登高望遠的襟懷，其中一句“欲窮千里目，更上一層樓”揭示了“只有站得高，才能看得遠”這一生活哲理，成為不朽名句.如果從數學角度推理，以自己為中心要看到千里內（方圓五百千米）的景物，應登多少層樓呢？

設計意圖：從學生現有知識水平和認知能力出發，創設問題情景，讓學生產生認知沖突，利用銳角三角函數的定義解決生活中的數學問題，進行必要的啟發.通過此案例我們知道可以利用三角函數的知識來解決測量學問題，因此解決任意角的三角函數就至關重要.

2.螺旋探究，尋覓新知

教師：銳角的三角函數問題我們可以在直角三角形中解決，現在高中階段我們將角推廣到了任意角，若是大于90°，顯然已經不能在直角三角形中完成，那么問題來了——“任意角的三角函數怎么確定？”

學生1：應該再找一個新定義，來規定任意角的三角函數.

學生2：若能將大于90°的角轉化為（0，90°）內的角，這樣就可以用銳角的三角函數.

教師：兩位同學從不同角度思考，一個是想利用“新知”，一個想利用“舊識”，現在我們對任意角的三角函數還停留在未知中，顯然對角的轉化還未能實現，因此，重新找到一種“新”的三角函數定義就迫在眉睫.為了實現這個定義探究，我們來看以下幾個問題.

教師：學了任意角，那么在任意角這節課中，與之前學的角的認識有何不同？

學生3：角有正角也有負角.

學生4：角的形成是由邊旋轉得到的.

學生5：終邊相同的角可以表示為｛β|β=α+k·360°，k∈Z｝.

學生6：當角放在半徑為1的圓中時，弧長可以表示該弧所對的圓心角的弧度數.

學生7：角的終邊是繞著原點做周而復始的圓周運動.

教師：這些都是任意角特有的“新知”，角的終邊這種周而復始的運動，可以用怎樣的數學式子來表示呢？為了解決這個問題，我們做以下探究，在直角坐標系中畫一個任意角（第一象限角），先取該角為銳角的時候，這樣就可以利用初中所學概念得到數量（角度）與數量（邊的比值）的變化關系，可在終邊上任取一點P（xP，yP），過點P作x軸的垂線交x軸于點M，

如圖1所示，根據三角形的相似性，可得比值的不變性，當r= |OP|=1（引入單位圓的概念：在直角坐標系中，以原點O為圓心，以單位長度為半徑的圓），此時sinα=

圖1

教師：①與②有什么不同？

學生8：除了用邊長的比值表示三角函數外，還可以用坐標或坐標的比值來刻畫三角函數.

教師：此時②中的三個式子是否表示函數關系？若是，可否用高中對函數的定義加以說明；若不是，請說明理由.

教師：學生10很好地從高中學習的函數概念來解釋了這三個式子都是函數，說得非常好！（學生鼓掌）

設計意圖：此處做法雖簡單，但思想重要.為了順利實現推廣，可以構建中間橋梁或公共載體，使之既與初中的定義一致，又能自然地遷移到任意角的情形.由于前一節已經以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生自然能想到仍然以直角坐標系為工具來研究任意角的三角函數.初中以直角三角形邊角關系來定義銳角三角函數，現在要用坐標系來研究，探索的結論既要滿足任意角的情形，又要包容初中銳角三角函數定義.這是一個認識的飛躍，是理解任意角三角函數概念的關鍵之一，也是數學發現的重要思想和方法，屬于策略性知識，能夠形成遷移能力，為學生在以后學習中對某些知識進行推廣拓展奠定了基礎.

3.類比舊知，呈現概念

教師：若終邊在其他象限呢？發現直角三角形不見了，用邊的比值無法定義三角函數，但不管終邊在哪一象限，其終邊上的點（與單位圓的交點）仍然存在.也就是說，當α是銳角時，此定義與初中定義相同（指出對邊、鄰邊、斜邊所在）；當α不是銳角時，也能夠找出三角函數，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點P（x，y），從而就必然能夠算出三角函數值.

綜上分析，可得任意角的三角函數定義：

如圖2，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么：

①y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y；

②x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x；

圖2

教師：任意角三角函數是繼必修1學了指數函數、對數函數、冪函數后的又一初等函數，其中定義域是什么？

學生11：sinα=y與cosα=x中的任意角α都有坐標與之對應，其定義域應為R，不能落在y軸上得其定

設計意圖：學生對初中函數理解較膚淺，這里在學生思維的最近發展區進一步研究初中學過的銳角三角函數，在思維上遞進一個層次，扣準高中函數概念的內涵，突出變量之間的依賴關系或對應關系，這是從函數知識演繹到三角函數知識的主要依據，是準確理解三角函數概念的關鍵，也是在認知上把三角函數知識納入函數知識結構的關鍵.這樣做能夠使學生有效地增強函數觀念.

教師：你能對初中的三角函數概念與高中的三角函數概念做一個差異比較嗎？

圖3

學生12：兩種表示都是函數關系式，不同之處，高中的三角函數是將任意角放在單位圓中，用終邊與單位圓的交點坐標來定義三角函數；初中的三角函數是將銳角放在直角三角形中，用邊的比值來得到三角函數，高中的定義是初中的推廣.

教師：很好！用坐標刻畫是它們最大的不同，所以今后要得到任意角的三角函數，實質就是確定終邊與單位圓的交點坐標.

設計意圖：做一個小結，將初中的定義與高中的新規做個比較，讓學生更深刻理解任意角的三角函數值是由終邊上的點的坐標來確定.

4.學以致用，鞏固深化

例1求下列三角函數值：

變式：如果角α的正弦值sinα=-1，你能寫出其中一個角嗎？

解答過程略.

例2不求值，確定下列三角函數值的符號：

解答過程略.

變式1：已知角α的終邊過點P（-3，-4），求角α的正弦值、余弦值、正切值.

解答過程略.

變式2：已知角α的終邊過點P（-3a，-4a），a≠0，求角α的正弦值、余弦值、正切值.（留課后思考題）

設計意圖：為了學以致用，也為了加強新定義的理解，幫助學生鞏固三角函數的本質特征，設計例題及適量的變式，通過課堂積極主動的練習活動進行思維訓練，把“培養學生分析解決問題的能力”貫穿于課堂教學始終.其中，例1，在理解定義的基礎上，初現概念的掌握；例2，可以歸納出角所在的象限與三角函數值的符號關系，讓學生進一步深化三角函數與終邊上點的坐標的關聯；例3，體現定義理解的細節，按定義，若用坐標表示三角函數須是終邊與單位圓的交點，但是，若非單位圓上的點時，又如何合理轉化？進一步揭示與定義不符時的處理方法.

5.歸納整理，強化認知

通過本節課的學習，談談對三角函數有哪些新的認識？在認知過程中有哪些體會？

（學生回答，教師整理）

（1）三個目標：利用單位圓與角α終邊的交點來定義任意角的三角函數；利用角α終邊上點在直角坐標系中的位置，來確定三角函數的定義域；利用角α終邊上的點在直角坐標系的象限來確定三角函數值的符號.

（2）兩個思想：數形結合思想、化歸與轉化思想.

（3）一個方法：類比法.

設計意圖：遺忘的規律是先快后慢，回顧再現是記憶的重要途徑，在課堂內及時總結識記主要內容是上策.此處以問題形式讓學生自己歸納識記本節課的主要內容，抓住要害，人人參與，及時建構知識網絡，優化知識結構，培養認知能力.

四、教學反思

1.基于知識特征的教學反思

對于已有概念形成的背景中，如何能在樸實無華的情形下將新概念解釋清楚，是本節的一個重點及難點.教學過程中，老師的角色始終是一個主導者，通過一個又一個的問題將學生引入課堂深處，整節課的展開又以學生為主體，有獨立思考，也有小組討論，讓學生積極參與，課堂變成了學生真正自我探索的天地.學生在理解、把握數學知識的過程中，不僅僅是形式上的記憶數學知識，更重要的是領會以數學知識為載體的數學思想方法等.把握數學知識、思想、方法的來龍去脈.從初中的三角函數定義到高中任意角的三角函數定義，通過設計問題串，引領學生追溯知識本源，類比知識差異，讓學生在知識發生過程中進行“碰撞思考”，實現“再定義”，形象概括出任意角的三角函數定義.

2.基于認知方法的教學反思

本節課通過多媒體信息技術展示課例，并通過課例逐步引入課題，讓學生感受到數學來源于生活，數學應用于生活，激發同學們學習的樂趣.教學中注意用新課程理念處理教材，采用學生自主探索、思想碰撞、師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程.通過問題的螺旋式探究，體驗“數學是過程的思想”，改變課程實施過程中死記硬背、機械訓練的現狀，倡導學生主動參與，樂于探究，勤于動腦，培養學生處理信息的能力、獲得新知識的能力、分析與解決問題的能力.F

*本文為全國教育信息技術研究“十二五”規劃2014年度立項課題“信息化環境下高中課堂高效教學模式研究”（課題立項號：143032270）的研究成果之一.