高中概念課中數學思想方法教學的案例研究*

☉廣東省廣州市海珠區教育發展中心 王桂芹

高中概念課中數學思想方法教學的案例研究*

☉廣東省廣州市海珠區教育發展中心 王桂芹

一、問題的提出

數學是用概念思維的科學，概念是數學大廈的基石．從教學過程看，概念教學是發現、獲取數學研究對象，認識數學對象的抽象、精致、實踐應用的過程；從學生的認知角度看，概念是學生獲得數學知識的源泉，是提高數學品質和數學能力的基礎和前提．因而，概念教學是整個數學教學成敗的關鍵，是數學教學的重中之重．

數學概念和數學思想方法都屬于數學基礎知識的范疇．數學概念反映了一類事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性，是具體性與抽象性的辯證統一，具有很強的系統性；數學思想方法蘊含在數學知識的體系之中，是隱性的，并沒有明確地揭示和總結．而數學概念的特點決定了數學概念的形成或同化都要經過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工，也即大量概念形成和應用的背后都蘊含著函數、分類、化歸、數形結合、符號化等數學思想方法的運用．因而，概念教學中怎樣進行數學思想方法的教學，運用的是否到位，對學生能否融會貫通地把握概念、運用概念具有關鍵的作用．

《普通高中數學課程標準》也明確指出：要讓學生了解數學概念、結論等產生的背景、應用，體會其中所蘊含的數學思想方法以及它們在后續學習中的作用．然而，在教學實踐中，由于各種原因，部分教師對概念教學的研究和重視不夠，對數學思想方法的教育價值的認識還不夠，還沒有思考、探索、實踐過或只是零星地思考、探索、實踐過數學思想方法在教學中的應用．本文旨在以典型案例談談概念形成教學模式中如何挖掘和應用數學思想與方法．

二、數學概念獲得的形式及數學思想方法的滲透和運用

學生理解和掌握概念的過程是掌握同類事物的共同、關鍵屬性的過程．同類事物的共同、關鍵屬性可以由學生從大量的同類事物的不同例證中發現，這種概念獲得的方式叫概念形成；也可以用定義的方式向學生直接揭示，學生利用已有認知結構中的相關知識理解新概念，這種概念獲得的方式叫概念同化．概念形成和概念同化是兩種基本的概念獲得模式．無論是概念形成還是概念同化，都需要經歷以下幾個環節：（1）從一些具體事例中區分本質屬性和非本質屬性，并將共同的本質屬性歸納、概括形成概念的定義；（2）通過概念的正、反例證，明確概念的內涵與外延；（3）將新、舊概念聯系與分化，形成概念體系；（4）概念的應用．

本文主要論及概念形成教學模式中在環節（1）和（2）中如何挖掘和運用數學思想與方法．

案例1：數系的擴充和復數的引入.

師：同學們，我們已經學習了哪些數集？請同學們按數集產生的先后順序回答．

生：自然數集→整數集→有理數集→實數集．

（教師也隨著學生的回答畫出了這幾個集合之間的包含關系圖）

師：同學們回顧數的產生過程，當初，人們只認識自然數，但在刻畫相反意義的量與進行5－8這樣的計算時，產生了矛盾，怎么辦？

生：創造負數就解決了這個矛盾．

師：數集就由自然數集N擴充到整數集Z.但在計算5÷8時，又遇到了新的矛盾，在整數集Z內不能實施，怎么辦？

生：創造分數，使數集由整數集Z擴充到有理數集Q，也就解決了這個矛盾.

師：好！那么腰長為1的等腰直角三角形的斜邊長在有理數集Q內不存在怎么辦？

生：再創造無理數集！

師：創造無理數集，絕不是我們想象的那么容易！數學史上每一次進步都要經過一個漫長的歷史階段甚至是新、舊兩派勢力的殊死較量，但是數學還是在危機中不斷前進，不斷豐富.公元前5世紀，希臘的數學非常發達，其中畢達哥拉斯學派的研究成果最豐富，該學派學說中最著名的是勾股定理，他們還發現了三角形數（1，3，6，10，…），四邊形數（1，4，9，16，…）等.但由于他們的結論大都是憑著直覺經驗和實測得出的，難免會有錯誤的結論.當時畢達哥拉斯學派經過實測就得出一個錯誤的結論：“宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數的比.”即一切現象都可以用有理數去描述.畢達哥拉斯學派的一個成員希伯索斯通過邏輯推演發現：等腰直角三角形的斜邊長就不能用有理數來描述，這就推翻了畢達哥拉斯學派信奉的信條，也即發現了無理數的存在，但他不僅沒有獲得贊賞，反而因此喪失了生命.相傳當時他和畢氏學派的信徒們在一條船上游玩，當希伯索斯向大家講述他的重大發現后，信徒們認為他的言論違背了至高無上的信條，就把他拋入海中淹死了.

生：感慨萬千！

師：但真理是不可戰勝的，希臘人終于正視了希伯索斯的發現，并進一步證明了等腰直角三角形的斜邊長不能用有理數表示，并嚴格證明了是一個無理數，有理數集Q終于擴充發展到實數集R.所以每一條真理的發現都不是一蹴而就的，都需要時間甚至生命！其中問題是事物發展的根本動力.

師：在實數集內還有什么不能解決的問題？

生：我們見過在實數集內無解的方程，如：x2+1=0.

師：很棒！x2+1=0即x2=-1，顯然在實數集內無法解這個方程，怎么辦？

生：像前面一樣創造一個新數集，在這個新數集中能解實數集中不能解的方程.

師：“像前面一樣”，這里用了什么樣的思維方法？

生：類比.

師：很好！

師：具體一點，怎樣能使方程x2=-1在這個新數集內有解呢？

生：在實數集R外創造一個新數，使它的平方等于-1.

師：太棒了！經過許多數學家的共同努力，創造出一個新數i，并規定i2=-1.這個新數i就叫做虛數單位，除了有i2=-1外，它還能與實數進行四則運算，且滿足原有的運算律.

評析1：教師在引領學生回顧數的發展史的過程中滲透了數學的科學價值、應用價值和文化價值，滲透了數學創新與發現的常用思想方法——類比的數學思想.

師：請大家寫出虛數單位i與實數2進行四則運算的式子.

師：從以上虛數單位i與實數2進行加、減、乘運算的結果可看作：2+i=2+1·i，2-i=2+（-1）·i，2×i=0+2·i，可得出這三個式子可以概括寫成一個什么形式的式子？

生：a+bi？

師：再嚴謹一點，a、b是什么數？i是什么數？

生：a、b是實數？i是剛學過的虛數單位.

生：有點兒困難，分母上的i怎么化呢？

師：推廣到一般，a與bi（a、b∈R）進行四則運算也可寫成a+bi（a、b∈R）的形式嗎？

生：能！

師：所以實數系經過擴充后得到的新數集應該是C=｛a+bi|a、b∈R｝，我們稱它為復數集.

師：在復數集引入的過程中，我們都應用了哪些數學思想方法？

生：歸納的思想

師：怎么歸納的？

生：從特殊到一般.

師：很好！類比、從特殊到一般、歸納概括是數學發現常用的思想方法，在數學學習過程中，同學們要學會用這些思想方法發現問題、解決問題.

評析2：在引入復數集的過程中充分滲透、明確運用了類比、從特殊到一般、抽象與概括的數學思想方法．

案例2：橢圓定義的形成.

師：2007年10月24日，中國第一顆探月衛星“嫦娥一號”在西昌衛星發射中心成功升空，實現了中國人千年的探月之夢．

（師生共同觀察“嫦娥一號”的運行軌道）

師：“嫦娥一號”的運行軌道是圓嗎？

生：不是．

師：那是什么圖形？

生：橢圓．

師：請學生拿出課前準備的硬紙板、細繩、鉛筆來做一個實驗，把細繩的兩端都固定在硬紙板的同一點處，套上鉛筆，拉緊細繩，移動筆尖．

師：這時畫出的軌跡是什么？

生：是一個圓．

師：如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在硬紙板的兩點處，套上鉛筆，拉緊細繩，移動筆尖，同學們觀察，畫出來的軌跡是什么曲線？

生：橢圓.

（教師用多媒體演示畫橢圓的過程）

師：圓的定義是：平面內到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的點的軌跡，類比圓的定義，觀察橢圓的形成過程，筆尖表示動點，硬紙板上固定的兩點是定點，筆尖即動點在形成橢圓過程中，什么因素在變？什么因素不變？

生：筆尖在動，筆尖到兩定點的距離分別在變.

師：好！什么不變？

生：筆尖到兩定點的距離之和始終不變.

師：太好了！在這里你運用了什么數學思想方法？

生：數形結合！

師：數在哪里？形在哪里？

生：我把那些變與不變的因素看成數，筆尖畫出的橢圓看成形．

師：好！還運用了什么數學思想方法？

（生迷惑，搖頭）

師：你用硬紙板、細繩、鉛筆做了一個實驗，你的結論是不是通過實驗觀察出來的？

生：是.

師：實驗與觀察也是一種重要的數學思想方法．

師：同學們能不能類比圓的定義給橢圓下一個定義？

生：平面內到兩定點的距離之和等于定值的點的軌跡叫做橢圓.

師：很好！但是我們感覺橢圓比圓復雜一些，好像不那么簡單，觀察實驗，如果筆尖到兩定點的距離恰巧等于繩長，筆尖的運動軌跡如何？

生：兩定點之間的線段.

師：如果筆尖到兩定點的距離小于繩長，筆尖的運動軌跡如何？

生：無軌跡呀！

師：好！那么怎么完善橢圓的定義？

生：平面內到兩定點的距離之和大于兩定點之間的距離且等于定值的點的軌跡叫做橢圓.

師：上面橢圓定義的敘述好像有點兒拗口，如果我們把這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，數學中要想把定義說的簡潔、準確，就要引入符號表述，要引入符號表示其中的哪些重要要素？

生：焦點，動點！

師：我們用F1、F2分別表示兩個焦點，定值用常數來表述，怎么敘述？

生：平面內與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數且這個常數大于兩定點之間的距離|F1F2|的點的軌跡叫做橢圓.

師：我修正、補充一下：平面內與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.

生：老師說的確實更簡潔、更完善！

師：在數學中引入符號可以使表述更加簡潔、深刻，也是把一般問題數學化的必經之路，這就是符號化的思想．

師：回顧一下，在橢圓定義的形成過程中運用了哪些數學思想方法？

生：實驗與觀察、概括與抽象、數形結合、符號化.

師：在討論平面內的動點到兩定點的距離之和等于、大于、小于定值時的軌跡時，還運用了什么數學思想方法？

生：分類討論？

師：很好！

評析3：本案例在實驗的基礎上，通過教師適時的引導，生生、師生間的交流互動，使學生通過觀察、分析、反思、糾正，不斷完善、形成了橢圓的概念．教學過程滲透、明確運用了實驗與觀察、概括與抽象、數形結合、分類與討論以及符號化的數學思想方法．

三、高中概念課中數學思想方法教學的內容與原則

1．高中概念課中數學思想方法教學的內容

（1）將教材概念課中隱含的數學思想方法挖掘出來，使其顯性化．

（2）在教學活動中充分地、明確地滲透和運用數學思想方法，使學生能從數學思想方法的高度把握概念，理解數學，用數學思想方法的策略分析問題、解決問題．

2．高中概念課中數學思想方法教學的基本原則

（1）有意識及同步性原則．

首先，數學基礎知識是指數學中的明確知識即概念、性質、法則、公式、公理、定理及由其內容反映出的隱含知識即數學思想方法，由此，數學思想方法納入了“基礎知識”的范疇．一方面，數學思想方法不能離開數學的明確知識而獨立存在．另一方面，在數學明確知識的掌握中，只有掌握了數學思想方法才能真正達到融會貫通．因此，要讓學生扎實掌握“基礎知識”，必須有意識地進行數學思想方法的教學．其次，在長期的教學實踐活動中，人們總結了大量行之有效的數學思想方法，并且已經成為人們從事數學研究與學習的一般規則，但是這些“規則”卻不能離開數學實踐而獨立存在，也不可能自發產生，只有它們被有意識地整合到具體的數學實踐活動中去才能真正地發揮作用，即數學思想方法這種隱含的知識必須有意識與明確知識的教學同步進行，否則將失去數學思想方法教學的有效時機，學生能力的錘練與提高也將無從談起．

（2）滲透性與明確性相結合的原則．

在明確知識教學中，通過精心設計學習情境與教學過程，有意識地引導學生領會蘊含在其中的數學思想，使他們在潛移默化中達到理解和掌握．如在案例1中，教師自然地滲透、運用了類比、特殊與一般、歸納與概括等數學思想方法．但是從數學思想方法教學的整個過程來看，只有長期、反復、不明確的滲透會影響學生對數學思想方法的認識從感性到理性的飛躍，會妨礙學生有意識地去掌握和領會，因而，很多情況下要通過不同的教學策略，如告知學生，提問學生，引導學生反思、總結等，明確數學思想方法在教學實踐中的運用．在以上兩個案例中的很多環節，都將隱性的數學思想方法加以明確化，從而讓學生熟知重要的思想方法的專業名詞，在應用中感知名詞所代表的內涵與方法，進而在提出問題、解決問題中從大腦中選擇、提取數學思想方法的有關信息，讓學生既會用又能表達出用的什么思想、什么方法，既能意會又能言傳，這不僅非常有利于學生對“基礎知識”的掌握，也能真正提高學生的數學思維品質．

滲透性和明確性是數學思想方法教學辯證的兩個方面，滲透是基礎，沒有滲透就談不上明確的效果，明確的效果也會大打折扣，而明確為學生熟練掌握、靈活運用數學思想方法并且轉化為能力插上了翅膀．

（3）長期性和反復性原則．

數學思想方法的獲得并不是學生對所學知識的簡單認同，這是一個復雜的理解過程，是一個內在的、主動的參與過程．在這個過程中，學生自己的直接感受、個體體驗的積累是非常重要的．學生對數學思想方法的領會和掌握只能遵循從個別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級的認識規律．因此，數學思想方法的教學必須遵守長期性和反復性的原則．如在以上案例2中體現了數形結合的思想方法，學生一般也都知道“數形結合思想”，但是不少學生知道這個思想后，卻不能實現自如的數形轉換，這需要教師結合具體的教學內容，有意識地安排和教學，使學生在長期的教學活動中反復地實踐和應用，直到實現了完全個性化的理解才能達到“數形結合”思想方法的應用自如．

（4）系統性原則．

一方面，數學思想方法是有層次性的，從最低層次的“解題術”到最高層次的數學觀念，是一個由高到低，由解決問題的具體方法到認識世界的哲學思想的內涵豐富的系統．另一方面，一種數學思想方法，概括了一類數學方法，串聯了一些具體數學知識，也形成了自身的體系．因此數學思想方法的教學與明確知識的教學一樣，必須形成具有一定結構的系統，才能更好地為學生理解和掌握，更好地發揮其整體功能．

總之，數學思想方法的教學應以貫徹滲透性原則為主線，結合落實明確性、長期性和反復性、系統性的原則，它們相互聯系，相輔相成，共同構成數學思想方法教學的原則思想．

1.曹才翰，章建躍．數學教育心理學［M］．北京：北京師范大學出版社，2007.A

*本文系廣州市教育科學“十二五”規劃第一批面上一般課題“高中數學思想方法教學的案例研究”（課題批準號：11C022）的研究成果之一．