從命題的視角談“平面向量”的復習

☉江蘇省清浦中學 吳洪生

從命題的視角談“平面向量”的復習

☉江蘇省清浦中學 吳洪生

向量是既有大小又有方向的量.大小反映了向量“數”的特征，方向反映了向量“形”的特征.它兼具“數”與“形”的雙重身份，兼具代數的抽象與嚴謹和幾何的直觀與形象；既是“代數”與“幾何”溝通的紐帶，又能充分體現數形結合思想；也能體現形象思維與邏輯思維的結合.它是中學數學一個重要的知識交匯點，在高考中備受命題者青睞.

一、高考定位

平面向量模塊共考查1個A級考點、4個B級考點、1個C級考點.要深刻理解A、B、C等級的含義，A級未必很容易，C級未必就很難.

（1）平面向量的概念是本模塊第一個最重要、最基礎的概念，是基礎的基礎，也是第一個B級考點，對后續內容的學習與研究至關重要.

（2）平面向量的線性運算與坐標表示作為兩個B級考點，主要考查：向量加法、減法及數乘運算的含義及其幾何意義；向量加法的平行四邊形法則及向量加法、減法的三角形法則；用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.

（3）向量共線與垂直也是B級考點，主要考查：兩個向量共線與垂直的含義；平面向量的平行與垂直的充要條件；向量共線定理及向量共線與垂直的坐標表示.

（4）《考試說明》雖然沒有把平面向量的基本定理作為考點專門列出，但平面向量的基本定理及基本運算，在高考中占居重要地位，時常出現在各地模考與高考試卷中.

（5）平面向量的數量積作為高考8個C級考點之一，應當引起高度的重視.主要考查：平面向量數量積的含義；平面向量的數量積與向量投影的關系；數量積的坐標運算；運用數量積表示兩個向量的夾角等.

（6）《考試說明》雖然只將平面向量的應用列為A級考點，但由于近幾年高考試題加強了對知識性和應用性的考查，常常在知識交匯處命題，考查時常將向量融入三角、平幾、解幾等問題之中，突出向量的工具作用.

二、考點整合

1.平面向量的兩個重要定理

（1）向量共線定理：向量a（a≠0）與b共線當且僅當存在唯一的一個實數λ，使b=λa.

（2）平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，其中e1，e2是一組基底.

（1）零向量模的大小為0，方向是任意的，它與任意非零向量都共線，記為0.

（2）長度等于1個單位長度的向量叫單位向量，與a同向的單位向量為

（3）方向相同或相反的向量叫共線向量（平行向量）.

（4）向量的投影：|b|cos＜a，b＞叫做向量b在向量a方向上的投影.

4.平面向量的幾個重要結論

（1）向量共線的充要條件：O為平面上一點，則A，B， P三點共線的充要條件

5.兩非零向量平行、垂直的充要條件

設a=（x1，y1），b=（x2，y2），則：

（1）若a∥b?a=λb（b≠0）；a∥b?x1y2-x2y1=0；

（2）若a⊥b?a·b=0；a⊥b?x1x2+y1y2=0.

三、命題視角

視角一：平面向量的運算

1.平面向量的線性運算

2.平面向量的坐標運算

例2如圖2，在四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，三角形BCD為正三x，y的值.

圖2

以A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立如圖3所示的直角坐

圖3

說明：對于相對特殊的圖形也經常考慮建系，運用坐標進行有關的運算，這就是通常所說的坐標法.通過建立坐標系，將向量用坐標表示，主要考查向量的坐標運算與坐標法.

方法總結：（1）平面向量的運算主要包括線性運算與坐標運算，不少問題既可用線性運算，也可用坐標運算，解決問題的關鍵是看哪種運算方便.

（2）向量的線性運算，一般是選擇一組基底，若已知某兩向量的模、夾角，往往嘗試以這兩向量為基底，將有關向量用基底線性表示.通常的處理方法是利用“平行四邊形法則”或“三角形法則”合成或分解.

（3）解決向量的坐標運算問題，關鍵是掌握線性運算法則及坐標運算的特點.一般地，已知有向線段兩端點的坐標，應先求出向量的坐標.解題時注意利用向量相等（橫、縱坐標分別相等）建立方程（組）的思想.

視角二：平面向量的數量積

1.平面向量的模

例3（常州市2015屆高三）已知向量a=（1，1），b=（-1，1），設向量c滿足（2a-c）·（3b-c）=0，則|c|的最大值為_________.

解法一：設c=（x，y），則（x-2，y-2）·（x+3，y-3）=0，即（x-2）（x+3）+（y-2）（y-3）=0（表示圓），則|c|的最大值為

說明：|c|的幾何意義為圓上的動點到原點的距離.

解法二：由（2a-c）·（3b-c）=0可得c2-（2a+3b）·c=6a· b=0.所以|c|2-|c·||2a+3b|·cosθ=0.

方法總結：高考對平面向量的模的考查，常考查的類型有：

（1）把向量放在適當的坐標系中，給有關向量賦予具體坐標求向量的模，如向量a=（x，y），求向量a的模只需利用公式|a|=即可求解.有時需要充分運用代數、幾何、三角等工具.

（2）不把向量放在坐標系中研究，求解此類問題的通常做法是利用向量運算法則及其幾何意義或應用向量的數量積公式，關鍵是會把向量a的模進行如下轉化：|a|=

2.平面向量的夾角

例4（2014年四川卷）平面向量a=（1，2），b=（4，2），c=ma+b（m∈R），且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m= _________.

A．－2B．－1C．－1D．2

解法二：由幾何意義知c為以ma，b為鄰邊的菱形的對角線向量，又|b|=2|a|，故m=2.

方法總結：高考對平面向量夾角的考查.常見類型：

（1）依條件等式，運算求夾角，在此類問題的求解過程中應關注夾角的取值范圍.

（2）依已知圖形求兩向量夾角，此類題求解過程應抓住“兩向量共起點”，便可避開陷阱，順利求解.

（3）兩向量夾角公式其實是平面向量數量積公式的變形和應用.

3.平面向量的數量積

說明：處理向量的數量積的三種常用手法：定義法、基底法和坐標法.本題用定義法最為簡潔，用坐標法也可以得出同上結論，另由兩個直角三角形拼接的平面圖形，計算角的最值，可轉化到直角三角形用兩角和與差的正切來解決，體現了化歸與轉化的思想.

方法總結：高考對平面向量數量積的考查.常見類型：

（1）求解幾何圖形中的數量積問題，通過對向量的分解轉化成已知向量的數量積計算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐標系，把數量積的計算轉化成坐標運算也是一種較為簡捷的方法.

（2）求向量的數量積的公式有兩個：一是定義式a· b=|a|·|b|cosθ；二是坐標式a·b=x1x2+y1y2.

視角三：平面向量的應用

1.平面向量與三角形

例6在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則

解析：由余弦定理AB2=AM2+BM2-2AM·BM· cos∠AMB=52+32-2×5×3cos∠AMB，AC2=AM2+CM2-2AM·CMcos∠AMC=52+32-2×5×3cos∠AMC，∠AMB+∠AMC=180°，兩式子相加為AC2+AB2=2AM2+2CM2=2×

方法總結：平面向量與三角形結合的問題，往往是以向量為載體，去研究三角形的問題，充分利用三角形內角和定理、正余弦定理、面積公式、向量夾角公式、向量平行與垂直的充要條件、向量的數量積等知識.既能考查解三角形的知識與方法，又能考查運用三角公式進行恒等變換的技能.

2.平面向量與三角函數

（2）記f（x）=m·n，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數f（A）的取值范圍.

方法總結：在平面向量與三角函數的綜合問題中，平面向量的知識主要是給出三角函數之間的關系，解題的關鍵還是三角函數問題.一方面用平面向量的語言表述三角函數中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數式之間的關系，利用向量模表述三角函數之間的關系等；另一方面可以利用三角函數的知識解決平面向量問題.在解決此類問題的過程中，只要根據題目的具體要求，在向量和三角函數之間建立起聯系，就可以根據向量或者三角函數的知識解決問題.平面向量和三角函數的圖像和性質相結合的題目，是高考最近幾年出現的熱點題型.此類題目要求在熟練掌握平面向量和三角函數圖像的基礎上要對平面向量和三角函數的性質能夠靈活運用.

3.平面向量與解析幾何

圖4

方法總結：解析幾何中向量知識只是給出幾何量的位置和數量關系，在解題中要善于根據向量知識分析解析幾何中的幾何關系.解析幾何與向量結合，既能考查圓錐曲線的知識與方法，又能考查向量的基本方法.平面向量與解析幾何之間轉化的主要手段是向量的坐標運算.

高考對“平面向量”的考查已在注重基礎和概念的同時，逐漸加強綜合性，以考查學生綜合運用知識的能力.因此，在平面向量的復習教學中，首先，要注重基本概念和基本運算的教學，概念要深刻理解、運算要準確無誤，尤其是向量互相垂直、平行的充要條件和平面向量基本定理、向量共線定理（包括坐標運算），應熟練掌握、運用自如；其次，教學中應把向量與其他知識內容進行融會貫通，將平面幾何、解析幾何、解三角形、三角函數等問題與平面向量融合，充分揭示數學中化歸思想的深刻內涵.由于向量形式具有多樣性、運算具有靈活性，因此，向量問題具有多角度、多層次、多方位的思維空間，從而使向量成為“在知識交匯點處設計試題”的很好載體，成為高考的熱點內容之一.F