數列求和：山不過來，我過去

☉江蘇省南京市大廠高級中學 余建國

數列求和：山不過來，我過去

☉江蘇省南京市大廠高級中學 余建國

“山不過來，我過去”是《古蘭經》中的一個經典故事.故事寓意：這個世界本來就沒有移山之術，唯一可以將山移過來的方法就是——山不過來，我過去.在平時的教學工作中，每個老師都會遇到“移山”一樣的教學難點，但囿于多年教學形成的固有思維模式，多數老師總是沿著固有模式一屆又一屆地教學下去，難點仍然是難點，收效甚微.與其一廂情愿地繼續(xù)“喚山”，不如主動“走過去”.關于數列求和方法中的錯位相減法，我校數學教研組就此開展了“我過去”式的一次校本教研，活動給筆者留下了很多需要反思的東西，在此與讀者一起分享.

一、效果不好已成心結

錯位相減法是對一類特殊數列的求和方法，即如果數列｛an｝滿足：an＝bn·cn，其中｛bn｝與｛cn｝一個是等差數列，另一個是等比數列，那么求數列｛an｝的前n項和Sn，就可以用錯位相減法.例如，課本（蘇教版必修5）上就有習題：求和：Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1.每年的高考題中，此法常派上用場，也正因為如此，無論在新課教學，還是在高考復習中，學生和老師都非常重視這個方法.

平心而論，發(fā)現這個方法很困難，但學會這個方法很容易：列和式，記為①→乘以q，記為②并錯位寫→兩式相減，即①－②→化簡，解題步驟清晰，一成不變，幾乎就是一個解題“程序”了.然而，多年的教學經歷表明，學生解此類題的正確率并不高，我們以數和為例，困難體現在這樣幾個方面：一是學生自己“偷工減料”，和式中的項寫得太少，兩式相減后根本就觀察不出規(guī)律；二是兩式相減后，常把②式中的最后一項三是減后求和時，第一項能否帶上一起求和，直接影響到求和的項數是n－1還是n；四是最困難的一點，求和后的化簡.

筆者在一所中等偏下層次生源的學校任教，學生對于錯位相減法好學卻用不好的現象屆屆發(fā)生，苦無良策，“把方法教會了，能不能算對是你自己的事，”有時也就這樣安慰自己.

二、年輕教師請纓嘗試

果不其然，年輕的程老師第一輪高中教學也感受到同樣的教學困惑，因為教的是平行班，這種感受更強烈.高三復習又到了錯位相減——數列求和，程老師向教研組長毛遂自薦，“我來上一節(jié)研究課，試試這類數列不用錯位相減，而用裂項求和，看看效果如何？”在集體備課期間，程老師在自己的班級教學“數列求和（高三復習課）”，全組老師聽課、觀摩.

五分鐘后，所有學生做好了前兩題，大部分學生做到了第（3）題.通過提問反饋，學生對所用方法、適用類型非常清楚，如第（1）題用裂項相消法，第（2）題用分組求和法，第（3）題用錯位相減法，這也是高考所要求掌握的三種方法.但不出意料，第（3）題的答案五花八門，僅用n＝1就可以否定幾乎所有已得到的答案.

師：第（3）題我們先放一放，請同學們看講義上的問題1.

第二環(huán)節(jié)：引入裂項

問題1：在數列｛an｝中，數列｛an｝的前n項和Sn.

學生一看到減號，立即嘗試累加相消.

師：怎么樣？這個題好做吧.

眾生低頭稱是.忽然有學生驚呼：“這就是剛才錯位相減的那道題.”

師：同學們，大家討論一下，通過問題1的求解，你發(fā)現什么問題？

學生反饋兩點：第一，這個方法對所有能用錯位相減求和的數列都適用嗎？第二，如果是，這類數列怎么裂項呢？

第三環(huán)節(jié)：模仿裂項

師：老師也不知道是否通用（顯然，老師是在“賣關子”），要不我們再來一題如何？

問題2：在數列｛an｝中，若an＝n·2n-1，你能否將它分裂成一個新數列的相鄰兩項差的形式？如果能，你就順便求一下數列｛an｝的前n項和Sn.

學生躍躍欲試.五分鐘后，有學生示意做好了.程老師用實物投影儀展示了學生的解題.

生：因為an＝n·2n-1＝（n－1）·2n－（n－2）·2n-1，所以Sn＝a1＋ a2＋a3＋…＋an＝［0·21－（－1）·20）］＋（1·22－0·21）＋（2·23－1·22）＋…＋［（n－1）·2n－（n－2）·2n-1］＝（n－1）·2n－（－1）·20＝（n－1）· 2n＋1.

師：同學們可以先用n＝1初步驗證他的結果的準確性（得到肯定），那么請問你是怎么想到這么裂項的呢？

生：模仿前面一題.應該有2n，2n-1這樣的項，前面再湊湊系數，因為一定是“兩個一次式相減”.

師：你能說得再詳細點嗎？我還沒聽明白（真能“裝”）.

生：因為兩項相減嘛，前一項的“系數”比后一項的“系數”多個倍數2，但差的結果是等差數列通項，即一次多項式，所以，前后兩個“系數”都是一次式，湊湊就出來了.

師：這下老師聽明白了.你的意思是：設an＝n·2n-1＝

（an＋b）·2n－［a（n－1）＋b］·2n-1＝2n-1［2（an＋b）－a（n－1）－b］＝（an＋a＋b）·2n-1，由“對應項系數相等”，

全班響起來了熱烈的掌聲.

第四環(huán)節(jié)：形成方法

師：通過剛才的練習，我們可以肯定這個方法對所有能用錯位相減求和的數列都適用；而如何裂項也有其內在規(guī)律.只要多加練習，必能悟出方法.先對數列

師：這個方法同學們學得很快，我們用高考真題練練手.

例1（2014全國卷文科第17題）已知｛an｝是遞增的等差數列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根.

（1）求｛an｝的通項公式；

數列｛an｝的通項公式為a老師課堂上做了統(tǒng)計，五分鐘之內做對的有7人；又過了3分鐘，做對的增加到22人，已達到60%的正確率，這對一個平行班（該班幾乎沒有所謂的“指標”）來說相當可觀了.后面學生越做越順.

三、評評議議道理更明

課后，教研組長陳老師召集全組老師一起來評評議議這節(jié)課.

程老師自己先發(fā)言：我在一本雜志上看到這種方法，［1］原文作者也認為錯位相減法雖然容易學會，但計算比較繁，正確率不高，所以自己就嘗試向學生介紹這種求和方法，畢竟學生有“裂項相消”的方法基礎，只要教會他們這類數列裂項的方法，就可以簡化運算，從而提高正確率.自己覺得，這節(jié)課學生還是能消化吸收的，預計作業(yè)的正確率會提高.

資深教師雷老師：不學習要落后啊！我是第一次看到這個方法，不僅是個好方法，經過程老師的精心設計，這節(jié)課更是“潤物細無聲”.他首先讓學生嘗到甜頭——順利地解決問題1，當學生發(fā)現它就是前面絕大部分同學做錯的基礎訓練第（3）題時，立即來了興致：什么方法如此神奇？學生自然而然地產生探究的需求.其次，他并沒有和盤托出這個方法的一切奧妙，而是“裝一裝”——“我也不知道是否通用”，“你說得再詳細點，我還沒聽明白”等，把課堂的時間和空間還給學生，將教學的節(jié)奏慢下來，學生悟一悟，老師聽一聽，從而讓學生想明白、說明白、做明白.最后，也是他最令我稱道的是對這節(jié)課的要求把握得很好.這個方法肯定能總結成一個公式，但對于一個平行班，能學會這個方法就行，不需要記住這個公式.

青年骨干姚老師：我見過這個方法，而且還可以進一步地探究：如果數列｛an｝滿足：an=bn·cn，其中｛bn｝是n的二次多項式，｛cn｝是等比數列，那么求數列｛an｝的前n項和Sn，就可以用裂項法.舉個例子，如an=n2·2n，設bn=（an2+bn+ c）·2n，由an=bn-bn-1，得n2·2n=（an2+bn+c）·2n-［a（n-1）2+b（n-1）

不過，對于高考來說，bn是n的二次多項式的情形肯定用不上了.與錯位相減法比較，錯位相減法難在后面的化簡，這里的裂項法難在前面的裂項，方法各有千秋，但對“系數”是一次式的情形，裂項法占優(yōu).

筆者的發(fā)言：程老師大膽探索教學方法變革的勇氣可嘉，在高三數學復習課教學中，任何有針對性、有層次性、有效益的教學方法都值得嘗試.個人認為，學生習得的任何數學方法都與他們的認知發(fā)展過程相關，錯位相減法怎么出來的？那還是高一必修課學習等比數列時推導其前n項和Sn公式的“副產品”，如果不講錯位相減而直接訓練這樣的“裂項相消”，好像也說不通、理不順.用錯位相減法求和為什么正確率不高，關鍵還是學生的運算求解能力不強，當遇到前面那個“等差數列系數”復雜點，或者后面那個“等比數列公比”是略微復雜點時，錯誤率就上去了.

……

教研組長陳老師：我建議，下屆教高一時，用兩個同層次班級做個對比，用數據說話.

雖然文1喊出“讓錯位相減法‘退出’數列求和的舞臺”，不免有“博眼球”之嫌，但是程老師通過自己的學習，再精心設計本節(jié)課的教學，非常準確地把握住教學要求，取得了預期的教學效益，值得全組老師借鑒.在高三數學復習乃至整個數學教學過程中，如何提高學生的運算求解能力，一直是所有老師孜孜以求的目標，但不少老師都在原地“喚山”，山是喚不來的，而年青的程老師自己走了過去，他所做的嘗試給了我們不少的啟示.首先，要有不斷研究、終身學習的觀念，死抱著錯位相減法一成不變，學生算不對就怨天尤人是不負責任的.其次，在碰到教學中的“死結”時要勇于變革、嘗試，退一步海闊天空，重新去研究課本.仔細研讀，筆者發(fā)現，其實這不正是“裂項相消”嗎？所以說，錯位相減與這種裂項相消本質是一樣的.再次，正如弗賴登塔爾所說：“首先，知識和能力，如果是通過自己的活動獲得的，就比別人強加的要掌握得更好，也更具有實用性.第二，發(fā)現是一件令人愉快的事，所以通過再創(chuàng)造進行學習是有促動力的.第三，它促進了將數學作為一種人類的活動來體驗的觀念的形成.”［2］將錯位相減改造為裂項相消，這樣的教學活動也必須精心設計，把發(fā)現的機會留給學生，充分發(fā)揮學生的主體性，這樣學生習得的方法才牢靠.

1.陳世明.讓錯位相減法“退出”數列求和的舞臺［J］.中學數學研究（上），2014（7）.

2.［荷］弗賴登塔爾，箸.數學教育再探——在中國的講學［M］.劉意竹，楊剛，譯.上海：上海教育出版社，1999.

3.俞登超.關于數列｛nxn｝（x≠0，x≠1）的前n項求和方法的再思考［J］.中學數學（上），2010（3）.F