如何提高數學課堂教學的品味*

☉上海市七寶中學 文衛(wèi)星

如何提高數學課堂教學的品味*

☉上海市七寶中學 文衛(wèi)星

何為高品味的數學課堂教學？簡言之，就是既有知識發(fā)生、發(fā)展過程，又有能力訓練，同時有機融入數學思想（哲學思想）和文化的數學課堂教學.思想和文化在課堂上的體現就是在知識教學、能力培養(yǎng)的基礎上，用一兩句有文化含量的話語從哲學（理性）層面揭示所學內容的本質，使數學教學無痕地融入育人，把教書育人落到實處.

一、數學育人：發(fā)展思維能力，培養(yǎng)理性精神

數學的育人價值在于以數學知識為載體來發(fā)展學生的思維能力，在數學教學過程中培養(yǎng)理性精神.數學思維（邏輯思維、抽象思維、形象思維）能力就是要把具體的數學知識轉化成智慧，理性（工具理性、價值理性）精神就是在教學過程中養(yǎng)成對真、善、美的追求.

思維能力和工具理性是顯性的，是“物質層面”，是課堂教學的“正面戰(zhàn)場”，是著墨最多的地方；價值理性是隱性的，是“精神層面”，在課堂教學中是“順帶發(fā)揮”，但卻是最具育人價值的地方.“真、美”是數學老師在課堂上津津樂道的，對“善”則見仁見智，甚至避而不談.北京大學王以遒先生對“善”的解釋是：實現“善”，最根本的是要體現“正義”.這是最基本的社會價值信仰的追求.它實際上就是對人與他人、社會和自然相處中權利與義務的對稱性要求的體現.包含兩重意思：（1）人生而有權享用大自然所賜予的各種資源，同時有義務來珍惜和愛護自然；（2）人生而有權享用他人（父母、社會、國家等）所提供的服務，但也有義務服務他人，包括孝順父母、服務社會、效忠國家等.權利和義務、給予和回饋都是互相對等、高度對稱的.這體現互愛、互助、互惠，涵蓋公平、平等、公正、正直等，體現中國傳統儒家觀念和行為準則.這種對等、對稱的關系是數學美、自然美向社會的延伸［1］.

目前的數學教學異化為解題，以致學生負擔過重還沒有掌握數學的精髓——數學思想，沒有養(yǎng)成理性精神.解題教學沒有讓學生體會到學習數學過程中克服困難的樂趣，沒有感悟到數學思想方法中閃爍的智慧，沒有欣賞到數學的形式與內在的美.這樣的數學教學不妨稱為“沒有靈魂的壯漢”.課堂教學套用美術界的俗語是“工筆尚好，寫意不足”.學生對這樣的數學課是既愛又恨，因為分數，“愛”解題，愛得無奈；因為沒魂，恨解題，恨之入骨.

當然，沒有扎實的知識教學與能力訓練，空談數學思想更不行，那是“沒有軀體的幽靈”.處理好兩者之間的關系才能提高課堂教學的品味，這就要在落實“雙基”的基礎上（知識適度）再把握好兩個度：思想高度、文化厚度（筆者簡稱為“三度”）.

二、思想高度：闡明數學思想，彰顯教學智慧

思想高度不能望文生義，以為是高不可攀.其實思想高度是落實在課堂教學的各個環(huán)節(jié)，尤其是數學思想很多是顯性的，無需多解釋學生就能明白，當然，有時需要老師明確點出.

數學教學的形式是教定義、定理、公式和解題，要讓學生理解定義，掌握定理、公式的來龍去脈，確實需要做一定量的題目.但對較靈活問題的考查，僅憑大量訓練是不夠的，需要在數學思想的指導下靈活運用所學知識實現有意義解題.而重視知識的發(fā)生、發(fā)展過程有助于學生掌握相應數學方法、形成數學思想，從而也有利于解題教學，這是一種可持續(xù)的智慧教學.

1.揭示知識生發(fā)展，掌握方法成思想

“生發(fā)展”有兩層含義：一是指學生的發(fā)展，二是指知識的發(fā)生、發(fā)展過程.重視知識的發(fā)生、發(fā)展過程能為后續(xù)學習打下堅實的基礎，在短期內不一定有明顯效果，但有時卻能收到“出其不意”之效.

例1（2014·上海）如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，AB是一條側棱，Pi（i=1、2、…、8）是上底面上其余的八個點，則數為（）.

知識的發(fā)生、發(fā)展過程是形成思想的重要環(huán)節(jié).揭示知識的背景和事物的發(fā)展規(guī)律，學生能感悟到以數學知識為基礎能形成數學思想，其形成過程就是數學方法.

2.解題瞻前又顧后，等價轉化有講究

“瞻前又顧后”是指解題前對尋找解題方法的分析，即向學生講清楚“是怎樣想到的”，以及解題后的歸納總結，可以是解題方法的總結，可以是一類問題的推廣，也可以是有感而發(fā)的即席議論、點評等.

例2已知函數f（x）=|lgx|，a、b＞0，f（a）=f（b），則

從已知出發(fā)“山窮水盡”時要“迷途知返”，再從結論出發(fā)看如何利用已知條件得到中間結論，架設溝通兩者的橋梁，讓“天塹變通途”，進而“柳暗花明”.解題前的分析和解題后的總結是形成數學思想的有效手段.

3.教學更上一層樓，哲學指導不能丟

“沒有數學，我們無法看穿哲學的深度；沒有哲學，人們也無法看穿數學的深度；而若沒有這兩者，人們就什么也看不透.”（德莫林思）筆者的理解是：數學與哲學都強調邏輯與思辨，自古淵源深厚，同出一門.數學的內容具體、豐富，可以為哲學提供有力的論據；而哲學規(guī)律揭示了事物的本質，可以為數學提供方法論的指導，使我們看問題的眼界更開闊，從更高的觀點分析和解決問題，加深對數學本質的理解和認識，加快對數學的基本思想和方法的掌握.

（1）一般與特殊的關系.

一般情形成立，特殊情況一定成立，反之不然，但有時可以從特殊情況分析一般結論，再給出證明.解答客觀題時特殊值法是常用方法之一，而某些較難的解答題也可以通過特殊值法投石問路.

例3數列｛an｝滿足an+1+（-1）nan=2n-1，且a1=2，Sn是｛an｝的前n項和.

（1）求a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8；

（2）求an；

（3）求Sn.

分析：（1）為（2）做鋪墊，由此可歸納出：a4k-3=2，a4k-2= 8k-5，a4k-1=0，a4k=8k-3，再用數學歸納法證明，然后分段表達（這里略），求出an之后再求Sn就很方便了.

這就是華羅庚先生所說的“退到最原始而不失重要的地方”.本質上是“一般性寓于特殊性之中”這一哲學原理在數學教學中的運用.

（2）展示數學的統一美.

數學美是吸引學生的一個重要方面，教學中應該注意指導學生欣賞和發(fā)現數學美，比如利用向量中的不等式m·n≤|m|·|n|和|m±n|≤|m|+|n|可以方便地解涉及函數、不等式、幾何等的最值問題.這些問題看似與向量無關，不用向量方法每個問題的解都有一定難度，而用向量法則相對比較容易，讓學生感到“數學真是不可思議”，體會到數學的奇異美.一個公式把零散的數學知識用邏輯的鏈條串聯起來，形成完整的知識體系，就像一串美麗的珍珠，令人賞心悅目，體現了數學世界的和諧統一.

（3）防止以偏概全.

解題教學通常是在一定的思想方法指導下，在分析時要講清“來龍”，總結時要指出“去脈”，在總結規(guī)律時，同時要對這種方法的局限性做出點評，以防學生不分青紅皂白套題型.

比如在運用公式|m±n|≤|m|+|n|解題時，要特別強調等號成立的條件，這在解題設向量時就要考慮到，否則就有可能犯錯誤.

哲學思想對數學教學的指導是多方面的，相信同行們在教學實踐中有很多體會.

三、文化厚度：深刻理解數學，營造文化氛圍

數學文化是緊密聯系所學內容，調動學生學習興趣，幫助學生理解、記憶所學知識，有利于能力形成的生動活潑的教學形式，是提高學生的思想境界和文化修養(yǎng)的一條有效途徑.

文化厚度是說數學課應該有一定的文化含量.數學知識是文化知識的一部分，數學文化并不神秘，幽默與風趣的語言、一個智慧的比喻、一個典故、和諧的師生關系都散發(fā)著數學文化的芳香.數學文化是把數學知識轉化為智慧的催化劑.

1.透徹理解教材，展示數學文化

中學數學中有些定義、公理源于生活，運用學生生活中隨時能見的例子開展教學，學生會覺得數學“很有意思”，既能調動學生的學習積極性，又能加深對所學知識的理解.

比如“不在同一條直線上的三點確定一個平面”教學中，一手扶著門的一邊并慢慢移動，同時問學生：門的另一邊上有2或3個鉸鏈為什么不能把門固定，而把門鎖上（故意發(fā)出撞擊聲）即可固定？學生發(fā)現鉸鏈是在一條直線上，而鎖不在鉸鏈所在的直線上，因此可以認為不在一條直線上的三點確定一個平面，也可以認為一條直線和這條直線外的一點確定一個平面.

立體幾何中的好多定理可以通過教室和長方體模型來發(fā)現.想達到這一點，首先教師對教材要有深刻的理解，才能在教學中把握得當，讓學生由感性到理性經歷定理的發(fā)現過程，再用符號表達并給予證明.

2.升華思想方法，課堂寓教于樂

在數學思想上作適當引申.比如，數形結合的本質是借助圖形來研究數量關系或者利用數量關系來研究圖形的性質，是一種重要的數學思想方法.它可以使抽象問題具體化，復雜問題簡單化.可引申為從兩個不同角度看待同一問題，相互之間優(yōu)勢互補，也可以認為是一種多元文化.

（1）轉化與化歸——沒有條件創(chuàng)造條件.

轉化的思想是將直接求解不易解決的問題轉化為與之等價的問題來解答，這是“發(fā)揮主觀能動性，沒有條件創(chuàng)造條件”這樣一句哲學話語的最佳使用時機，要求學生不輕易說不會，而要說試試.解題前講這些話能激發(fā)學生的斗志，面對困難問題躍躍欲試，在解題之后講能勉勵學生，啟迪智慧，使其發(fā)奮有為，勇往直前.

（2）函數與方程——各具優(yōu)勢和諧統一.

方程的根就是函數的零點，根據需要，有時從數的角度考慮，選擇用方程，有時從形的角度考慮，選擇用函數，在不同的角度下相互轉化，和諧統一.總結為：“函數方程是兄弟，此隱彼顯兩相依，根據需要選主元，難題也會變容易”，很受學生歡迎.

（3）分類討論——從量變到質變.

對于分類討論，學生普遍感到困難，難就難在分類標準不好確定，其實，當變量在某一范圍內時，整體保持相應的性質不會發(fā)生質的變化，而越過這個范圍就會發(fā)生質的變化，以分段函數為例，就是在各個區(qū)間內對應相應的解析式.總結為：“分類標準怎么定，量變放行質變停，把握節(jié)點規(guī)范寫，攻堅克難你能行”，既指明分類討論的一般方法，又能激勵學生.［2］

（4）幽默風趣——智慧的總結.

幽默與風趣是智慧的象征，數學教師應不乏這種智慧．

選擇參數時，常稱為“無中生有”；把求軌跡的范圍稱為“打假”，而把范圍沒求對稱為“假打”；針對學生不習慣動手演算的情況，提出“該出手時就出手”；“一國兩制”是分段函數思想在治國方面的具體應用，這些風趣的語言能收到良好的教學效果．

形體語言有它獨特的作用．如在比較底數大于1（或大于0小于1）的指數函數的圖像關系時，筆者緊貼講臺，以講臺邊線為x軸，自身為y軸，兩臂水平放置為直線y＝1，當a越大（或越小）時圖像越靠近y軸，只要把兩臂演示成指數曲線向身體靠近．

凡此種種，對教師來說也就是一句話，學生卻有可能對某個問題有更深入的理解，視野就可能更寬一點兒，眼界就可能更高一點兒，也能使課堂有更多的樂趣.

3.感悟數學精髓，引領學生審美

“世界本不缺少美，缺少的是發(fā)現美的眼睛”，數學教學何嘗不是這樣！

（1）苦中求樂，樂在其中.

苦和樂，不同人會有不同的理解，同一件事，喜歡的人再苦也不覺得苦，而不喜歡的人可能覺得很苦.學習數學并不能讓所有學生喜歡，但可以引導學生苦中求樂，樂在其中.

在一次教學中，有一題經過討論學生理清思路后認為會做，為了減少“會而不對”現象，教師要求學生在課堂上做，一位學生說：“老師，會做就不用再算下去了吧.”因為運算相對枯燥，為了活躍氣氛，教師說：“你們做題，我給你們講‘故事’：我小時候看電影大都是戰(zhàn)爭片，只要聽到沖鋒號一響，畫面上就是八路軍、解放軍奮勇向前，一會兒，電影結束，我們勝利.”然后評論道：“當年沖鋒陷陣是民族英雄，今天快速準確解出數學題將是未來國之棟梁.”逗得學生一樂，氣氛活躍，精神倍增.也有學生說很有哲理.

學好數學無疑要吃苦，但要讓學生認識到這是對意志、耐心、韌性等精神品質的磨礪.

（2）面對困難，堅韌不拔.

學生在學習、生活中難免會有磕磕碰碰，教育學生正確對待挫折是教師義不容辭的責任.

在“極限”第一課時的小結中，把極限過程中的“逼近”思想概括為“極限精神”：“明知不可企及，你卻鍥而不舍，歷經各種磨難，終近理想彼岸.你的堅韌精神，世人代代相傳，每逢攻堅關頭，高呼挑戰(zhàn)極限！”

這種根據教學內容提煉的含有一些哲理的話語，使學生在掌握知識、獲取能力的基礎上，提高思想境界和文化修養(yǎng).

（3）詩意課堂，引領審美.

理性的數學教學引導學生對真理的追求，詩意的數學教學引發(fā)學生對美的渴望，并在學習過程中得以展示.薛嬌寫道：也許，極限就是一條路，一條有盡頭卻走不到盡頭的路.

它是最最珍貴的對美的感悟，感悟難以達到盡頭，極限亦是如此.

這是一種何其華美的意境！原來美到極致竟是極限.望著這深邃的恒久之美，筆者久久沉默.數學的美總是那樣的精準與和諧，完美而沒有斧鑿之痕.

這或許就是“桃李不言，下自成蹊”吧！愿數學課中多些詩歌、多些笑聲、多些歡樂，但更要多些對數學本質的理解……

4.注重數學育人，提高教學品味

數學課的育人要有數學特色，融入正確的價值觀、人生觀、世界觀于教學之中，讓學生在愉悅的環(huán)境中無痕地接受教育.比如，在概率習題課中有下面一例.

在一次廟會上，有一項摸獎活動，規(guī)則如下：布袋內放20個乒乓球，其中10分球10個，5分球10個，顧客免費摸獎，從袋內摸出10個球，按其累計分值給獎．

攤主設置10個檔次的獎勵，價值從2800元到1元，只是摸75分者，按出廠價購買一瓶洗發(fā)露30元（每瓶成本10元）．

計算各等獎獲獎概率，如果每天有100人摸獎，請估計攤主的盈虧情況.

運用概率知識計算出攤主需付獎金約為156元，收入687.4元，凈賺：687.4-156=531.4（元）.

此例教育學生面對社會上的一些現象，要用數學方法加以辨析.于是，總結道：

花言巧語不可聽/看似餡餅實陷阱/辨別真?zhèn)慰繑祵W/于己為民你能行.

作業(yè)是讓學生計算“雙色球”彩票的獲獎概率僅為6.7%，講評時問學生：昨天的摸獎與買彩票的性質是一樣的，雙色球的獲獎機會比抽獎的機會還要小的多，卻有那么多人買，為什么？

同學們認為買彩票很大程度上是一種奉獻，于是總結道：

買彩其實是奉獻/大獎誘惑存一念/中獎與否都有樂/心閑氣定不為錢.［3］

這種密切聯系實際，讓學生在愉悅之中接受教育的方式是值得稱道的.

5.修煉教學功力，平時多讀“閑書”

《新民晚報》2014年10月11日以“文化太差畫不出好畫”為題評全國美展國畫作品，評論家有句話是“現在的畫家畫不出好畫，是因為文化水平太差，這是一個整體的缺陷.”無獨有偶，畫家范曾2014年11月3日在《人民日報》撰文指出“學養(yǎng)不足是今天藝術家的普遍頑疣”.

這說明“功夫在畫外”.同樣要教好數學，只懂數學是不夠的，課堂中教學例題的選取、方法的運用以及由此引發(fā)的帶有育人意義的點評，甚至于教學風格的形成，都是由教師的專業(yè)功底、教學思想和文化修養(yǎng)決定的，這就要求數學教師要多讀書，尤其是文史哲方面的書，擴大知識面，在課堂上才能信手拈來，游刃有余.

現在不少展示課從數學角度看可稱為好課，若能再融入一定的思想和文化元素則更有品味.至此，筆者憧憬的中學數學教學愿景是：

講思維，求理性，數學育人不能忘；傳思想，授文化，寓教于樂美名揚！

1．王義遒.從130和50年前的兩場爭論說到數學文化［J］.數學教育學報，2014，23（6）.

2．文衛(wèi)星.挑戰(zhàn)高考數學壓軸題（第5版）［M］.上海：華東師范大學出版社，2014.

3．文衛(wèi)星.寓教于樂：走向課堂教學的“三度”［J］.教育研究與評論，2014（5）.A

*本文根據2014年11月3日在江蘇省天一中學舉辦的第十一次全國“聚焦課堂·生長課堂”教學活動中的同名講座修改而成，也是上海市教委重點項目《高中數學教學中的“微型育人”研究》的階段性成果.