關于“通性通法”的思考

☉江蘇省白蒲高級中學 吳志勇

關于“通性通法”的思考

☉江蘇省白蒲高級中學 吳志勇

文1用“通性通法”解出了江蘇卷2008年及2011年最后兩道填空題，得出結論：“淡化特殊技巧，重視通性通法”應成為所有教師的共識.筆者很贊同這一觀點，但對什么是“通性通法”卻有不同意見.本文試通過對幾題的幾種解法進行比較，分析其所用解題思想方法，看看哪種解題的思想方法更具一般性，能稱之為“通性通法”，并對如何進行解題教學提出建議.

（2008年江蘇高考）設函數f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若對于任意x∈［-1，1］，都有f（x）≥0成立，則實數a= _________.

文1中的解法是先求出f（x）在區間［-1，1］上的最小值，令其大于或等于0，從而求得a的值.如下所示.

f′（x）=3ax2-3.當a≤0時f′（x）≤0，所以f（x）min=f（1）= a-2.令a-2≥0，得a≥2，此種情況不成立.當a＞0時，f（x）的得a=4.

解題的思想方法分析：“一切從實際出發，實事求是”，這是辯證唯物主義認識論的基本原理.解數學題同樣也要從“實際”出發，這個“實際”就是題意，解題時必先認真領悟題意，從中尋找解題方法.這可算是最基本的“通性通法”.“若對于任意x∈［-1，1］，都有f（x）≥0成立”，即把［-1，1］中的每一個值代入f（x）=ax3-3x+1（x∈R），都有f（x）≥0，這樣就得到關于a的無數個一元一次不等式，這無數個不等式的解集的交集中的元素就是要求的a的值.一般情況下，此交集可能是空集，可能是一個區間，也可能是一個單元集.由結論可以得出此交集必是一個單元集.

直接求出無數個一元一次不等式的解集的交集是不可能的，這才有了變通的方法，那就是選取有代表性的點代入.這里最有代表性的點就是f（x）的最小值點，這就是文1所推崇的“通性通法”.這一方法學生從高一到高三不知經過了多少次練習，很多學生已經形成了思維定勢，但高考中照樣有很多學生解不出此題，并不像文1中所說的那樣“使他們在考試中立于不敗之地，更能為他們未來的發展奠定良好的基礎”.

對于此題，如不先限制a的范圍，要確定區間［-1，1］上的最小值點是比較麻煩的.事實上文1給出的解法中道理的.由此可見，過度練習“通性通法”，不了解方法的來源與實質，只能機械套用，一旦情形有所變化，學生則可能束手無策.如此題所用的“通性通法”中，如最小值點難以確定或不存在都有可能導致解題失敗.

解決本題的思想方法，其實就是一個生活常識，實際生活中我們經常應用.舉一個例子：警察抓罪犯.警察決不會漫無邊際隨意搜索，一般先根據各種線索確定罪犯所在的范圍，然后在這個范圍內再確定最有可能隱匿的地點，重點搜索.這種思想方法，在各領域、各學科，只要涉及“尋找”的問題，它都可以派上用場，應該是一個“通性通法”.而文1解決此題的方法與此相比則成了“特殊技巧”.用這種思想方法解決本題：要確定a的值，先“搜索”特殊點，以區間的端點代入，得到2≤a≤4，確定搜索范圍，如還想進一步縮小“搜索范圍”，再以區間的二等分點、四等分點代入也是很自然的做法.如果此題這樣做很幸運就抓到“罪犯”了.這種很自然的方法，卻是文1所鄙夷的“特殊技巧”.當然很多情況下，可能經幾次重點“搜索”沒能抓住“罪犯”，但這些工作并沒有白費，而是進一步縮小了“搜索范圍”.罪犯的藏匿點，就是函數f（x）的最小值點，閉區間上連續函數的最小值一定會在區間端點或極值點處取得，因此只要再“搜索”兩個極值點即可，沒有必要考慮函數的單調性，也沒有必要具體確定哪一點是最小值點.

（2011年江蘇高考）設1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數列，a2，a4，a6成公差為1的等差數列，則q的最小值是_________.

文1中解決此題用了兩次轉化，首先將a3，a4，a5，a6，a7轉化為基本量a2和q，得：1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3，再根據問題的指向性“求q的最小值”將這個較長的連續

第二步轉化得到了一個不等式組，通過解不等式組來解決此問題，文1認為這是一個“通性通法”.雖然這樣得出了正確結果，但第二步轉化卻是一個不等價轉換.反之卻不成立.第二步轉化對q的限制條件放寬了，理論上講q的取值范圍可能擴大，因而這里得到正確結果純屬偶然，這其實是一個錯解.如將1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3等價轉換為不等式組，這個不等式組中包含6個不等式，難以求出q的取值范圍，這也是很多考生沒有解出此題的原因.

其實由1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3，只要再用上一個常用的思想方法即可得出正確結果.因為1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3，把這幾個數在數軸上表示出來，從左到右依次為1、a2、q、a2+1、q2、a2+2、q3.要想q最小，這些點應盡量向左移動，因而有a2=1，q3=3，這樣的思想方法與文1中所用的解不等式組的方法相比更具一般性，更應當認為是“通性通法”.

再來分析一下解決最值問題的思想方法.要求一個量的最值，此量必然是一個變量，要想得到它的最值，必須弄清楚它為什么變，找出變化的原因；如何變，找出變化的規律.變化規律可以由函數解析式給出，化為求函數的最值問題.如列一元函數解析式比較困難，也可列二元函數，此時一般還要找出兩元之間的關系，用基本不等式解決.變化規律也可以由動點的軌跡給出.此題中由于AB恒定，△ABC的面積完全取決于點C的位置，搞清點C的軌跡，就可求出△ABC的面積的最值.軌跡法也是解決此類問題的常用方法.解決數學問題，不能只局限于某種“通性通法”，要深入思考每一個可能的解題方法，評判其繁簡優劣，力求找到最簡的解題方法.對于此題，用“軌跡法”應是較好的方法.

高考命題擔負著為高校選拔人才的任務，這幾道江蘇高考題，引入生活中常用的解決問題的方法，很好地考查了學生靈活解決問題的能力.如果只考文1中所指的“通性通法”，學生平時經大量練習，已經形成了相應的技能，能選出合格人才嗎？讀了十幾年書，連生活常識都不會用的人能稱為人才嗎？

文1認為中學生應該掌握的“通性通法”應是：“具有某些規律性和普遍意義的常規解題模式和常用的數學基本方法.”筆者以為：“通性通法”強調的是一個“通”字，然而“通”總有一個通的范圍，沒有放之四海而皆準的方法.把解決某一模式的數學題的方法稱為“通性通法”，教學中又過分強調這樣的“通性通法”，使學生養成辨別模式、套用方法的習慣，這不利于思維能力的培養，無益于提高熟練運用知識和信息的能力，無益于探究創新氛圍的營造，也不可能像文1所說的那樣“使他們在解題時更有底氣，使他們在考試中立于不敗之地，更能為他們未來發展奠定良好基礎”.

在數學教學中，不僅要讓學生會使用“通性通法”，更要了解解題方法的來龍去脈，知道怎樣做，更要理解為什么要這樣做.只有這樣，在情況發生變化時，才不會束手無策，而是能根據新的情況，找出解決問題的方法.其次我們不能僅停留在方法層面，更應挖掘方法背后的思想.方法只能解決特定類型的題目，而思想更具一般性，學習數學所獲得的各種解決問題的思想可應用于以后所從事的各項工作中.

1曹軍.“通性通法”應為解題的首選方法［J］.數學通報，2012（7）.

2張海強.2011年江蘇省高考數學試卷分析與改進意見［J］.數學通報，2011（9）.A